Pojęcie funkcji pierwotne1, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka


Pojęcie funkcji pierwotnej

 

Definicja:

Niech dana będzie funkcja f: DႮR. Funkcją pierwotną funkcji f nazywamy funkcję F: DႮR taką, że:

0x01 graphic
F ` ( x ) = f ( x )

X D

Twierdzenie:

Jeżeli funkcje F: DႮR i G: DႮR są funkcjami pierwotnymi funkcji f: DႮR to istnieje takie C჎R że zachodzi:

G(x) = F(x) + C

Twierdzenie:

Funkcje pierwotne funkcji f(x) różnią się co najwyżej o stałą

Zapis: G(x) = F(x) + C oznacza rodzinę funkcji f.

CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI

 

Twierdzenie: ြ o całkowaniu przez części ှ

Jeżeli funkcje f i g mają w przedziale D ciągłe pochodne f' i g' to zachodzi wzór: 0x01 graphic

CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE

 

Metoda całkowania przez podstawienie, zwana jest także metodą całkowania przez zmianę zmiennej.

Twierdzenie:ြ pierwsze o całkowaniu przez podstawienie t = h(x) ှ

Jeżeli:

1. Funkcja h(x) jest różniczkowalna w przedziale D i przekształca go na przedział T

2. Funkcja g(t) ma w przedziale T funkcję pierwotną G(t)

3. f(x) = g[h(x)] w przedziale D

to:

0x01 graphic

CAŁKA OZNACZONA

1.

Definicja:

Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale ြa,bှ i F jej funkcją pierwotną.

Liczbę F(b) - F(a) nazywamy całką oznaczoną funkcji f na przedziale ြa,bှ i

oznaczamy:

0x01 graphic

Liczby a i b nazywamy odpowiednio dolną i górną granicą całkowania.

Twierdzenie:

1.0x01 graphic

2.0x01 graphic

3. Jeżeli aြ cြ b, to: 0x01 graphic

Geometryczne zastosowanie całki oznaczonej.

Twierdzenie:

Niech y = f(x) będzie funkcją ciągłą na przedziale ြa,bှ wtedy:

  1. 1.      Objętość bryły obrotowej powstałej poprzez obrót obszaru ograniczonego łukiem krzywej

y = f(x), prostymi x = a i x = b oraz osią OX dookoła tej osi wyraża się wzorem:

0x01 graphic

  1. 2.      Pole powierzchni bocznej:

0x01 graphic

  1. 3.      Długość łuku krzywej:

0x01 graphic

Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju.

    1. Funkcja podcałkowa f(x) nie jest ograniczona w otoczeniu punktu x = b, wówczas całkę określamy następująco:

0x01 graphic
, a < β < b,

jeśli ta granica istnieje.

    1. Funkcja podcałkowa f(x) nie jest ograniczona w otoczeniu punktu x = a, wówczas całkę określamy następująco:

0x01 graphic
, a < α < b,

jeśli ta granica istnieje.

    1. Jeżeli natomiast funkcja podcałkowa f(x) nie jest ograniczona w pewnym otoczeniu punktu x = c, gdzie a < c < b, to całkę określamy następująco:

0x01 graphic

  1. Całka niewłaściwa drugiego rodzaju.

Funkcja f(x) jest określona i ciągła w przedziale 0x01 graphic
, wówczas całkę funkcji f(x) w przedziale 0x01 graphic
określamy następująco:

0x01 graphic

Jeżeli granica po prawej stronie nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa nie istnieje.

    1. Jeżeli niewłaściwość występuje na lewym końcu przedziału całkowania 0x01 graphic
      , to całkę określamy następująco:

0x01 graphic

    1. Przyjmijmy także określenie:

0x01 graphic
,

gdzie A jest dowolną liczbą.

Jeżeli istnieją skończone granice określające całki niewłaściwe pierwszego i drugiego rodzaju, to całki te nazywamy zbieżnymi. W przeciwnym razie nazywamy je rozbieżnymi.

Mnożenie macierz przez macierz- mnożenie macierzy nie jest przemienne, ilość kolumn pierwszej musi być równa ilości wierszy drugiej (Schemat Falka)

schemat Falka:

A

B AB

Element cij macierzy C = AB otrzymujemy na przecieciu linii wyznaczonych

przez i-ty wiersz macierzy A i j-ta kolumne macierzy B.

Postać bazowa macierzy (macierz bazowa) dla macierzy A

gdzie Ik jest macierzą jednostkową stopnia k, zaś O1 i O2 są macierzami zerowymi.

Przekształceniami elementarnymi danej macierzy A=[aij]m x n nazywamy następujące działania na wierszach lub kolumnach macierzy: T1 - polega na pomnożeniu wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny przez liczbę α0, ≠T2 - polega na zamianie miejscami dwóch dowolnie wybranych wierszy lub kolumn, T3 -polega na dodaniu do wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny odpowiadających im elementów innego wiersza lub kolumny pomnożonych przez liczbę α0.

monotoniczność funkcji - jeżeli w danym przedziale pochodna funkcji poza skończoną liczbą punktów przyjmuje wartości dodatnie, to funkcja w tym przedziale jest rosnąca, z kolei jeżeli w danym przedziale pochodna funkcji poza skończoną liczbą punktów przyjmuje wartości ujemne, to funkcja w tym przedziale jest malejąca, podobnie, jeśli pochodna w przedziale przyjmuje wartości nieujemne, funkcja jest w przedziale niemalejąca, a jeśli niedodatnie - nierosnąca

calka oznaczona

Całkowanie przez części. Jeżeli 0x01 graphic
są funkcjami zmiennej 0x01 graphic
mającymi ciągłą pochodną to 0x01 graphic
.

Całkowanie przez podstawienie. Jeżeli 0x01 graphic
jest funkcją ciągłą, 0x01 graphic
funkcją rosnącą w przedziale 0x01 graphic
, a 0x01 graphic
funkcją ciągłą w przedziale 0x01 graphic
, to zachodzi



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Pojęcie funkcji pierwotnej, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
Wzór funkcji y, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
Logarytmy i funkcja potegowa, szkola technikum, matma, mata, matematyka
Funkcja, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
Ciągłość funkcji, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
Funkcja pierwotna, A) STUDIA INŻYNIERSKIE, Matematyka, matematyka
matematyka, Pojęcie funkcji, Pojęcie funkcji
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
Granica funkcji, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
Wzór funkcji y, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
czynn nauczanie objetosc graniastoslupa, Szkoła, Matematyka
RACHUNEK CAŁKOWY. CAŁKA OZNACZONA I JEJ ZASTOSOWANIA, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
geometria, szkoła, matematyka, sprawdziany
MatFinUb W6, szkoła, matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Korzystając ze wzoru Taylora, SZKOŁA, Matematyka, Matematyka
MatFinUb W3, szkoła, matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
funkcja kwadratowa, Technikum, Matematyka

więcej podobnych podstron