Pojęcie funkcji pierwotnej
Definicja:
Niech dana będzie funkcja f: DႮR. Funkcją pierwotną funkcji f nazywamy funkcję F: DႮR taką, że:
კ F ` ( x ) = f ( x )
X D
Twierdzenie:
Jeżeli funkcje F: DႮR i G: DႮR są funkcjami pierwotnymi funkcji f: DႮR to istnieje takie CR że zachodzi:
G(x) = F(x) + C
Twierdzenie:
Funkcje pierwotne funkcji f(x) różnią się co najwyżej o stałą
Zapis: G(x) = F(x) + C oznacza rodzinę funkcji f.
CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI
Twierdzenie: ြ o całkowaniu przez części ှ
Jeżeli funkcje f i g mają w przedziale D ciągłe pochodne f' i g' to zachodzi wzór:
CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE
Metoda całkowania przez podstawienie, zwana jest także metodą całkowania przez zmianę zmiennej.
Twierdzenie:ြ pierwsze o całkowaniu przez podstawienie t = h(x) ှ
Jeżeli:
1. Funkcja h(x) jest różniczkowalna w przedziale D i przekształca go na przedział T
2. Funkcja g(t) ma w przedziale T funkcję pierwotną G(t)
3. f(x) = g[h(x)] w przedziale D
to:
CAŁKA OZNACZONA
1.
Definicja:
Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale ြa,bှ i F jej funkcją pierwotną.
Liczbę F(b) - F(a) nazywamy całką oznaczoną funkcji f na przedziale ြa,bှ i
oznaczamy:
Liczby a i b nazywamy odpowiednio dolną i górną granicą całkowania.
Twierdzenie:
1.
2.
3. Jeżeli aြ cြ b, to:
Geometryczne zastosowanie całki oznaczonej.
Twierdzenie:
Niech y = f(x) będzie funkcją ciągłą na przedziale ြa,bှ wtedy:
1. Objętość bryły obrotowej powstałej poprzez obrót obszaru ograniczonego łukiem krzywej
y = f(x), prostymi x = a i x = b oraz osią OX dookoła tej osi wyraża się wzorem:
2. Pole powierzchni bocznej:
3. Długość łuku krzywej:
Całka niewłaściwa pierwszego rodzaju.
Funkcja podcałkowa f(x) nie jest ograniczona w otoczeniu punktu x = b, wówczas całkę określamy następująco:
, a < β < b,
jeśli ta granica istnieje.
Funkcja podcałkowa f(x) nie jest ograniczona w otoczeniu punktu x = a, wówczas całkę określamy następująco:
, a < α < b,
jeśli ta granica istnieje.
Jeżeli natomiast funkcja podcałkowa f(x) nie jest ograniczona w pewnym otoczeniu punktu x = c, gdzie a < c < b, to całkę określamy następująco:
Całka niewłaściwa drugiego rodzaju.
Funkcja f(x) jest określona i ciągła w przedziale
, wówczas całkę funkcji f(x) w przedziale
określamy następująco:
Jeżeli granica po prawej stronie nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa nie istnieje.
Jeżeli niewłaściwość występuje na lewym końcu przedziału całkowania
, to całkę określamy następująco:
Przyjmijmy także określenie:
,
gdzie A jest dowolną liczbą.
Jeżeli istnieją skończone granice określające całki niewłaściwe pierwszego i drugiego rodzaju, to całki te nazywamy zbieżnymi. W przeciwnym razie nazywamy je rozbieżnymi.
Mnożenie macierz przez macierz- mnożenie macierzy nie jest przemienne, ilość kolumn pierwszej musi być równa ilości wierszy drugiej (Schemat Falka)
schemat Falka:
A
B AB
Element cij macierzy C = AB otrzymujemy na przecieciu linii wyznaczonych
przez i-ty wiersz macierzy A i j-ta kolumne macierzy B.
Postać bazowa macierzy (macierz bazowa) dla macierzy A
gdzie Ik jest macierzą jednostkową stopnia k, zaś O1 i O2 są macierzami zerowymi.
Przekształceniami elementarnymi danej macierzy A=[aij]m x n nazywamy następujące działania na wierszach lub kolumnach macierzy: T1 - polega na pomnożeniu wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny przez liczbę α0, ≠T2 - polega na zamianie miejscami dwóch dowolnie wybranych wierszy lub kolumn, T3 -polega na dodaniu do wszystkich elementów wybranego wiersza lub kolumny odpowiadających im elementów innego wiersza lub kolumny pomnożonych przez liczbę α0.
monotoniczność funkcji - jeżeli w danym przedziale pochodna funkcji poza skończoną liczbą punktów przyjmuje wartości dodatnie, to funkcja w tym przedziale jest rosnąca, z kolei jeżeli w danym przedziale pochodna funkcji poza skończoną liczbą punktów przyjmuje wartości ujemne, to funkcja w tym przedziale jest malejąca, podobnie, jeśli pochodna w przedziale przyjmuje wartości nieujemne, funkcja jest w przedziale niemalejąca, a jeśli niedodatnie - nierosnąca
calka oznaczona
Całkowanie przez części. Jeżeli
są funkcjami zmiennej
mającymi ciągłą pochodną to
.
Całkowanie przez podstawienie. Jeżeli
jest funkcją ciągłą,
funkcją rosnącą w przedziale
, a
funkcją ciągłą w przedziale
, to zachodzi