1. ŻYROSKOPOWE MOMENTY SIŁ (rs 1ab) Mamy do czynienia z obracającym się ciałem o dostatecznie dużym momencie pędu !K, na które działamy parą sił !F, wytwarzając moment siły M. Zgodnie z II zasadą dynamiki w małym odstępie czasu delta t następuje przyrost delta !K. Ponieważ przyrost delta !K jest mały i prostopadły względem !K, to moment pędu po czasie delta t równy !K+delta !K jest praktycznie co do wielkości taki sam jak !K tylko odwrócony o kąt delta fi=delta K/K. Oznacza to, że oś obrotu ciała wykonała obrót o kąt delta fi w płaszczyźnie xy, chociaż działający moment siły dąży do obrotu osi ciała w płaszczyźnie yz. Prędkość kątowa !OMEGA tego obrotu nazwanego precesją wynosi: (r1a). Kierunek i zwrot na rys. Ostatecznie zależności: !M=!OMEGA x !K. Efekt ten wynika z elementarnych praw dynamiki. Przykład: bąk dziecinny, stabilizacja jazdy na rowerze, stabilizatory na statkach, żyrokompasy itp.
2. OPIS RUCHU DWÓCH ODDZIAŁYWUJĄCYCH CIAŁ. (rs 2b). Dwa ciała o masach M i m oddziaływują na siebie siłą zależną od ich względnego położenia !r. Na masę m działa siła -!F(!r). Różniczkowe równania ruchu mają postać: (r2a). Otrzym. ukł. równań wzajemnie uwikłanych, gdyż: !r=!rm-!rM; (r2b). Różniczkojąc równanie otrzymujemy: (M+m)*!v[0]=M*!v[M]+m*!v[m]; !v[0]-prędkość środka masy, !v[M], !v[m]-prędkości ciał. Masa całego układu razy !v[0] jest pędem całego układu. Pęd ten jest stały. Położenia obu mas względem środka masy są określone wzorami: (r2c); mi=M*m/(M+m) jest masą zredukowaną układu, czyli: !r[m]'=(mi/m)*!r; !r[M]=(mi/M)*!r. Suma pędów względem O' jest równa zero. (r2d) i tak samo dla M. Możemy więc zapisać, że: (r2e) przy czym położenie !r masy mi względem O' odpowiada położeniu masy m względem M.
3. ODDZIAŁYWANIA POTENCJALNE. Podstawowe oddziaływania mają własności: 1. Siła oddziaływania F między dwoma ciałami jest funkcją ich wzajemnej odległości !r (!-wektor), co opisuje: !F=!F(!r) i !F(!r)=0 gdy r dąży do nieskończoności; 2. Praca sił po drodze zamkniętej wynosi 0. (rs 3a) Własność ta wynika z tego, że praca delta L wykonana przy przesuwaniu ciała od dowolnego punktu 1 do dowolnego punktu 2 nie zależy od drogi przesuwania lecz od położenia tych punktów. Praca wykonana przez siłę oddziaływania jest wykonana kosztem energii oddziaływania. Wynika stąd wniosek, że każdemu wzajemnemu położeniu ciał odpowiada jednoznacznie określona energia oddziaływania U. Takiego rodzaju energię nazywa się potencjalną, a samo oddziaływanie potencjalnym lub zachowawczym.
4. POTENCJALNE POLA SIŁ. Założenia: jedno z dwóch ciał oddziaływujących jest nieruchome w początku układu współrzędnych, rozpatrujemy ciało drugie. Jeżeli przesunie się ono z punktu 1 o mały odcinek dd l do położenia 2, to siła oddziaływania (pole sił) wykona pracę: dd L=!F*!dd l=Fl*dd l=U(1)-U(2)=-dd U, przy czym dd U to różnica energii potencj. oddziaływ. między położeniami ciała w punktach 2 i 1, a Fl to składowa siła oddziaływania w kierunku przesunięcia !dd l. Więc związek między Fl i energią oddziaływ. Fl=-dU/dl. Jeżeli więc znamy energię potencjalną oddziaływań U(r) w każdym punkcie pola to za pomocą wzorów możemy określić siłę. Jeżeli energia potencjalna oddziaływania zmierza do zera, gdy ciała oddalają się od siebie do nieskończoności, można określić związek między wartością energii w dowolnym punkcie pola i siłą oddziaływania. Przy przesuwaniu ciała od położenia !R do nieskoń. siły pola wykonują pracę równą wartości energii potencjalnej w miejscu !R. (r4a) Ponieważ wektor siły można zapisać jako sumę składowych w postaci: !F=Fx*!i+Fy*!j+Fz*!k, gdzie !i,!j,!k są wektorami jednostkowymi wzdłuż osi x,y,z, mamy: (r4b) i (r4c). Nadzwyczaj użyteczne jest modelowanie oddział. potencj. za pomocą linii sił i powierzchni ekwipotencjalnych (rs 4a). Linie sił są liniami takimi, że wektor siły w każdym punkcie pola jest styczny do linii siły przechodzącej przez dany punkt, natomiast gęstość linii jest proporcjonalna do wartości siły. Powierzchnie prostopadłe do linii sił są powierzch. ekwipoten. (tzn. stałego potencjału), ponieważ przy przesuwaniu ciał w kierunku prostopadłym do siły nie jest wykonywana praca przez siły oddziaływań, a więc nie zmienia się energia potencjalna oddziaływ. Wzrost siły jest więc w kierunku malenia energii potencjal.. Najważniej. oddziaływania potencjalne to grawitacyjne i kulombowskie oddziaływ. od mas (ładunków) punktowych lub kulistych. Siła oddziaływ. grawitac.: !F= -G*(M*m*r!)/(2*r). Jedna z mas, np. M jest w początku układu współrzędnych a druga m, na którą działa siła, jest w miejscu !r wyrażenie !r/r określa kierunek działania siły (radialny). Znak (-) uwzględnia Energię oddziaływania grawitacyjnego U(r)=-(G*M*m)/r. Siła oddziaływ. elektrostatycz. !F=Q*q/(4*PI*epsilon[0]*r)*(!r/r). Energia oddziaływ. elektrostatycz. U(r)=Q*q/(4*PI*epsilon[0]*r).
5. ZASADA WZGLĘDNOŚCI GALILEUSZA We wszystkich ukł. odniesienia poruszających się względem siebie ruchem jednost. nazwanych ukł. inercjalnymi zjawiska przyrodnicze przebiegają tak samo. Ponieważ zjawiska fiz. opisuje fizyka za pomocą określonych praw, muszą one mieć taką postać, aby przy przejściu z jednego inerc. ukł. odnies. do drugiego miały taką samą postać. Własność tę nazywamy zasadą niezmienniczości praw fizyki względem dowolnego układu inerc. odniesienia.. Przy konkretnym przekształceniu określanego prawa fizycznego z jednego inercjalnego układu odniesienia do drugiego nieodzowne jest posługiwanie się grupą zależności między czasem i współrzędnymi w obu układach, zwanych transformacją. Rozważam dwa inercjalne prostokątne układy odniesienia x,y,z i x',y',z' takie, że układ primowany porusza się w kierunku dodatnich x względem układu nieprimowanego i odpowiednie osie są do siebie równoległe.(rs 5a) Założenia: czas zaczęto mierzyć w obu układach od momentu, gdy początki układów O i O' mijały się i czasy oraz odległości mierzy się w obu układach identycznymi miarami. Wtedy dowolne zdarzenie zanotowane przez obserwatora w układzie O jako zaistniałe w momencie czasu t i miejscu x,y,z zostanie zanotowane przez obserwatora w układzie O' jako zaistniałe w momencie czasu i we współrzędnych: t'=t; x'=x-vt; y'=y; z'=z. Jest to tzw. transformacja Galileusza (przykład: niezmienniczość względem transformacji Galileusza prawa zachowania pędu 2 zderzających się ciał o masach m1 i m2, poruszających się wzdłuż osi x. W układzie O mamy m1*/x1p+m2*/x2p=m1*/x1k+m2*/x2k, gdzie p i k-stany przed i po zderzeniu, gdzie /x-skrótowy zapis pochodnej współrzędnej x wzgl. czasu, a więc v w kierunku osi x. (/x-z kreską u góry). Ponieważ /x=dx/dt=d(x'+v*t)/dt=d(x'+v*t')/dt'=dx'/dt'+v=/x'+v, więc m1*/x'1p+m2*/x'2p = m1*/x'1k+m2*/x'2k - równoważnośc prawa zachowania pędu w układach O i O'). Niezmiennicze względem transformacji Galileusza są też niektóre wielkości dotyczące zjawisk lub zdarzeń np. siła, temperatura, zmiana energii itp. a także odstęp czasu delta t między dwoma zdarzeniami: delta t=t2-t1=t2'-t1'=delta t' oraz kwadrat odległości przestrzennej: delta R^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2=(x2'-x1')^2+..=delta R^2)2)
6. TRANSFORMACJCĄ LORENTZA-EINSTEINA Przyjmując warunki z (rs.6a) ma ona postać: (r6a). Wnioski wynikające z transformacji L-E wykraczały poza pojęcia mechaniki klasycznej. W roku 1905 Albert Einstein sformułował szczególną teorię względności (STW). Głównym jej założeniem zasada względości Galileusza rozciągnięta na zjawisko ruchu promienia świetlnego w próżni: we wszystkich układach inercjalnych prędkość światła w próżni jest ta sama. Jeżeli dwaj obserwatorzy poruszający się względem siebie obserwują ruch tego samego promienia i obaj stwierdzają, że biegnie on z tą samą prędkością, to kinematyka opisująca związki między czasem i przestrzenią w ruchu ciał musi być inna od poznanej w ramach mechaniki klasycznej.
7. CZASOPRZESTRZENNE ODLEGŁOŚCI ZDARZEŃ. Przykład: obserwator znajdujący się w środku jadącego wagonu (ukł. O') zapala latarkę i obserwuje bieg promienia w kierunku jazdy i przeciwnym. Stwierdzi on, że promienie równocześnie dotrą do ścian wagonu (rys). Wg obserwatora w układzie O promienie poruszają się z jednakową prędkością w obie strony, ale przednia ściana ucieka, podczas gdy tylna porusza się naprzciw promieniowi. Dlatego do tylnej ściany promień dotrze wcześniej. Zdarzenia jednoczesne dla jednego obserwatora nie są jednoczesne dla drugiego. Ponieważ pomiar czasy jest ściśle związany z pojęciem jednoczesności, wartości czasu danego zjawiska, mierzone przez dwu poruszających się względem siebie obserwatorów, są różne. A więc czas biegnie inaczej w różnych układach inercjalnych. Fakt ten i dalsze rozważania pozwalają zrozumieć kinematyczne zagadnienia STW. (rs 7a) Niech obserwatorzy O i O' obserwują bieg promieni latarki zapalonej w momencie czasu t1 w miejscu x1,y1,z1 w O i odpowiednich t1',x1',y1',z1' według O'. W chwili czasu t2 czoło fali jest powierzchnią kulistą, której dowolny punkt o współrzędnych x2,y2,z2 spełnia równanie:(7a). To samo w O': (jak 7a tylko wszystko primowane). Tak więc odległość czasoprzestrzenna dd s dwu zdarzeń (wcześniej t1,x1,y1,z1 i później t2,x2,y2,z2) określa równanie: dd s=c^2*(t2-t1)^2-[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2]. Zatem OCZ dotyczących ruchu promienia świetlnego jest we wszystkich układach inercjalnych taka sama, równa 0. Enstein postulował, że odległość czasoprzestrzenna dwu zdarzeń jest pojęciem ważnym dla dowolnych zjawisk i jest ona wielkością niezmienniczą, tzn. delta s^2=delta s'^2. Jest to drugie istotne założenie w podstawach STW. Wg transformacji Galileusza niezmiennicze są osobno odległości czasowe i przestrzenne, a wg STW dopiero ich kombinacja w formie odległości czasoprzestrzennej jest niezmiennicza.
10. SIŁY BEZWŁADNOŚCI
Rozpatrując ruch ciał w ukł. nieinercjalnych (tzn. poruszających się ruchem zmiennym) dochodzimy do wniosku, że możemy stosować zasady dynamiki Newtona dla ukł. inercjalnych pod warunkiem wprowadzenia pozornych sił tzw. sił bezwładności. (rs 10a) O\i - ukł. inercjalny O\n - ukł. nieinercjalny Rozpatrując ruch ciała poruszającego się bez tarcia w ukł. O\n, na które nie działają siły zewnętrzne stwierdzamy, że według obserwatora w ukł. O\i ciało nie zmienia swego ruchu i przysp. ciała !a[i]=0, według obserwatora w O\n porusza się ono z przysp. !a[n]= - !a[n]. Ogólnie: w ukł. nieinercjalnym oprócz sił przyłożonych bezpośrednio do ciała o masie m działa na nie dodatkowa siła (siła bezwładności) określona równaniem !F[b] = -m*!a[u] Ukł. nieinercjalne poruszające się ruchem prostoliniowym nie wymagają głębszych wyjaśnień. (uwaga: oznaczenie /i to indeks dolny) Rozważmy nieinercjalny ukł. O\n obracający się z prędkością kątową |'om' względem ukł. inercjalnego O\i. Środki obu ukł. pokrywają się, a wektor prędkości kątowej obrotu jest zgodny z osią z\i. Niech będzie dany wektor |r. Jeżeli szybkość zmian tego wektora w ukł. O\i oznaczymy przez (d|r/dt)\i a w O\n (d|r/dt)\n to związek między nimi jest następujący (d|r/dt)\i=(d|r/dt)\n+|'om' x |r (1)Jeżeli |r będzie wektorem położenia ciała to (d|r/dt)\i=|v\i (prędkość ciała w O\i), a (d|r/dt)\n=|v\n (prędkość ciała w O\n) czyli |v\i=|v\n+|'om' x |r Stosując wzór (1) do wektora |v\i mamy (d|v\i/dt)\i=(d|v\i/dt)\n+|'om' x |r=(d|v\n/dt)\n+|'om' x |v\n+|'om' x (|'om' x |r) ale (d|v\i/dt)\i=|a\i i (d|v\n/dt)\n=a\n czyli |a\i=|a\n+2*|'om' x |v\n+|'om' x (|'om' x |r) gdzie a\i i a\n są przyspieszeniami ciała w O\i i O\n. Korzystając z zależności |a\i=|a\n+|a\u możemy wyznaczyć przyspieszenie ukł. O\n |a\u=2*|'om' x |v+|'om' x (|'om' x |r) Stąd wzór na siłę bezwładności w ukł. obracającym się |F\b=-m*|a\u=-2*m*|'om x |v-m*|'om' x (|'om' x |r) Pierwszy składnik nazywany jest siłą Coriolisa, drugi siłą odśrodkową.
8,. WAŻNIEJSZE ZALEŻNOŚCI KINEMATYCZNE.
Uwzględniając zasadę niezmienniczości OCZ i prędkości światła można wyprowadzić różne zależności kinematyczne. Można przede wszystkim otrzymać wzory na transformację L-E, a z niej wynikają dwa ważne efekty-relatywistyczne zmiany czasów i odległości. Efekt relatywistycznej zmiany czasów możemy rozważyć korzystając jedynie z zasady niezmienniczości OCZ. Obserwujemy dwa układy: primowany O' i nieprimowany O. (rs 8a) Obserwator w układzie O' obserwuje zjawisko na obiekcie spoczywającym względem niego w miejscu o wsp. x1'. Obserwator w układzie O odnotuje (z zas. niezmienniczości OCZ !) dd s^2 = c^2*tau^2-(x[2]-x[1])^2. Współrzędno y,z można pominąć ponieważ nie ulegają one zmianie. Możemy też zauważyć, że (x[2]-x[1])/(t[2]-t[1])=v, gdzie v jest prędkościąobiektu względem ukłaadu O. Ostatecznie otrzymujemy: tau=tau[0]/sqrt(1-(v/c)^2); tau[0]=t[2]'-t[1]'; tau=t[2]-t[1]. Jest to efekt relatywistycznego wydłużenia czasu, tau0 jest czasem własnym zjawiska czyli czasem notowanym w układzie, względem którego obiekt pozostaje w spoczynku. W układzie, względem którego obiekt porusza się, notowany czas jest dłuższy. (rs 8b) Relatyw. zmianę długości przedyskutuję na podstawie transformacji L-E. W układzie O' spoczywa obiekt którego długość jest równa l[0]=x[2]'-x[1]'. obiekt ten porusza się względem nieprimowanego z prędkością v. Aby zmierzyć długość obiektu w tym układzie potrzebujemy dwóch obserwatorów, którzy w tym samym czasie odnotują współrzędne końca i początku obiektu:(r8a). długość obiektu mierzoną w układzie, w którym obiekt spoczywa jest długością własną obiektu. Z innych zależności można otrzymać wzory na dodawanie prędkości: (r8b); x-wzdłużna, y,z-prostopadłe. Przy dodawaniu prędkości nie można otrzymać prędkości większej od c.
9. WAŻNIEJSZE ZALEŻNOŚCI DYNAMICZNE WG STW. Poprawnie sformułowane prawa kinematyki dla prędkości bliskich prędkości światła nie pozwalają automatycznie otrzymać odpowiednich zależności dynamicznych. W mechanice relatywistycznej wyraźnie uwidacznia sięwaga pojęcia pędu p ciała. Jego określenie pozostajetakie jak w mechanice klasycznejtj. !p=m*!v. gdzie m jest masa ciała, a !v jego prędkością. Ale masa ciała zależy od prędkości wg zależności m = m[0]/ (sqrt(1-(v/c)^2)). gdzie m[0] jest masą ciała w spoczynku. Masa ciała jest miarą całkowitej energii E ciała zgodnie z zależnością: E=mc^2. Ponieważ różnica między energią całkowitą ciała i energią ciała w spoczynku E[0] jest energią kinetyczna E[k]. (r9a). Gdy v<<c można wyrażenie przybliżyć do E[k] = mv^2. Pojęcie siły w mech. relat. jest bardziej złożone. Siła jest to iloraz pędu dd!p i czasu ddt, w którym ów przyrost nastąpił, tj. (r9b). Okazuje się, że jeżeli ciało jest już w ruchu, to przyspieszenie ciała !a nie jest równoległe do działajaćej siły na ciało z wyjątkiem przypadków: (r9c). Dlatego mówi się nawet o masie poprzecznej ciała i masie podłużnej, oczywiście tylko w sensie równań (r9c). Transformacja składowych siły : dla szczególnego przypadku, gdy ciało w ukł. O' chwilowo spoczywa, tzn. ukł. O' porusza się razem z ciałem. Wtedy (r9d).
11. Masa bezwładna i grawitacyjna. Wprowadzone przez Newtona w zasadach dynamiki pojęcie masy jest miarą bezwładności ciała. Newton odkrył również drugą własność ciał - wzajemne działanie na siebie siłami grawitacyjnymi. Przez analogię do odziaływań elektrycznych należałoby mówić o ładunkach grawitacyjnych ciał. Chociaż doświadczenie wskazuje, że miarą ładunku grawitacyjnego ciała może być jego masa to bezwładność ciała i zjawisko grawitacji są zupełnie różnymi własnościami. W związku z tym wyróżniono pojęcie masy bezwładnej i masy grawitacyjnej oraz zaczęto podejmować próby wyznaczenia ewentualnej różnicy lub tożsamości tych wielkości (poprzez wykrycie różnic w ruchu ciał wykonanych z różnych substancji pod działaniem grawitacji Ziemi). Siła grawitacji F\g jest proporcjonalna do masy grawitacyjnej jm\g ciała. F[g]=G*(M*m[g])/(r^2) G - stała grawitacji M - masa Ziemi r - odległość ciała od środka Ziemi. Z drugiej zasady dynalmiki mamy a=F[g]/m[b]=((G*M)/r^2)*(m[g]/m[b]) czyli, że przyspiesznie ciała zależy od stosunku masy bezwładnej i grawitacyjnej. Doświadczenia wykazały równoważność masy grawitacyjnej i bezwładnej
12. Konsekwencje róznoważności masy bezwładnej i grawitacyjnej. Doświadczenia wykazały równoważność masy grawitacyjnej i bezwładnej (co stało się punktem wyjścia ogólnej teorii względności Eisteina). Jeżeli masa grawitacyjna i bezwładna są tym samym to oznacza, że obserwator w zamkniętej kabinie żadnymi eksperymentami fizycznymi nie może ustalić czy ciężość ciał w kabinie pochodzi od pola grawitacyjnego dużej masy czy też od siły bezwładności spowodowanej ruchem przyspieszonym kabiny. Fakt ten nazywamy lokalną równoważnością sił grawitacji i bezwładności. Dopiero badanie tych sił w dużym obszarze pozwoliłoby ustalić ich charakter poprzez określenie charakterystyki przestrzennej (różnej w przypadku pola grawitacyjnego i nieinercjalnego ukł. odniesienia).
13. PROCESY ODWRACALNE I NIEODWRACALNE, ENTROPIA. Ruch, wzajemne oddziaływania, zderzenia cząstek, molekuł czy atomów jest równie prawdopodobny puszczony w obie strony (gdy go sfilmujemy). (rs 1.29a). OPIS RYSUNKU. (wzbudzona cząstka). Zjawiska przebiegające równouprawnie w jednym i drugim kierunku, nazywamy odwracalnymi. Można o nich mówić, że sa niezmiennicze względem odwrócenia (inwersji) czasu. Zjawiskami odwracalnymi są oddziaływanai między molekułami, atomami, cząstkami - procesy w ukł. mikroskopowych. W ukł. makroskopowych przebieg jest odmienny, od razu widać fałsz. Procesy nieodwracalne. Kierunek biegu procesów nieodwracalnych wyznacza kierunek upływu czasu. Każdy proces makroskopowy - nieodwracalny jest sumą ogromnej ilości procesów mikroskopowych - odwracalnych. Istotą procesów nieodwracalnych jest przechodzenie ukł. od stanów o mniejszym nieuporządkowaniu do stanów o większym nieuporządkowaniu. Jeżeli przez OMEGE oznaczymy liczbę stanów kwantowych ukł. odpowiadających danemu stanowi makroskopowemu ukł, to wielkość ta może być miarą nieuporządkowania. W praktyce miarą nieuporządk. jest S=k*ln(OMEGA). gdzie k jest stałą Boltzmana. W ukł. odizolowanych kierunek procesów jest taki, że entropia rośnie aż osiągnie wartość maksymalną. Stan z maksymalną entropią stanem równowagi termodynamicznej i odpowiada mu zanik ukierunkowanych procesów w ukł. Jeżeli ukł. jest sumą dwu podukładów A i B, to OMEGA=OMEGA[A]*OMEGA{B}, a więc S=S[A]+S[B] - całkowita entropia ukł. jest sumą entropii składowych części układu.
14. .ZASADA EKWIPARTYCJI ENERGII. (ni - v z wężykiem)
Równanie stanu gazu doskonałego: n-liczba moli gazu, N-liczba molekuł pv=NkT=N/N[A]*R*T =m/mi*R*T=nRT, v-objętość, R=N[A]k, gdzie k to stała Rydberga. Sformułowaniu tego równania towarzyszył rozwój kinetyczno-molekularnej teorii gazu doskonałego wg, której gaz jest zbiorem punktów materialnych- molekuł poruszających się chaotycznie, zderzających się między sobą i ściankami naczynia sprężyście. Ciśnienie gazu na ściankę jest wynikiem zmiany pędu dużej liczby molekuł odbijających się od ścianki : p=(2/3)*N*E[k] (N-gęstość molekuł). Molekuły poruszają się z różnymi prędkościami,. Aby podwyższyć o jeden stopień temperaturę jednego mola gazu doskonałego bez zmiany objętości to należy dostarczyć energię 3/2kN[A]=3/2R (C[v]=3/2R) i ta wielkość powinna być ciepłem molowym przy stałej objętości; warunek ten jest spełniony przez gazy jednoatomowe (dwuatomowe C[v]=5/2R) . Te spostrzeżenia to podstawy sformułowania zasady ekwipartycji energii. Traktowanie molekuł jako punktów materialnych jest możliwe tylko w przypadku molekuł jednoatomowych. Jej położenie określają trzy niezależne współrzędne i odpowiadają im trzy niezależne sposoby ruchu translacyjnego zwane stopniami swobody molekuły. Z każdym z tych stopni związana jest energia ruchu cieplnego mv[x]^2/2=mv[y]^2/2=mv[z]^2/2=(1/3)mv^2/2=(1/2)kT. W gazie rzeczywistym po pewnej ilości zderzeń energie ruchu chaotycznego molekuł wyrównują się. Na jeden stopień oscylacji przypada średnia energia ruchu cieplnego kT (Energia ruchu cieplnego rozdziela się równomiernie w ilości 1/2KT na wszystkie niezależne sposoby magazynowania energii). Energia całkowita E=(i[t]/2+i[r]/2+i[osc]/2)kT ,(i[t],i[r],i[osc]- stopnie swobody). Ogółnie zasada ekwipartycji energii w ciele będącym w stanie równowagi termodynamicznej każdemu klasycznemu stopniowi swobody cząstki odpowiada energia średnio równa kT/2, T-temperatura ciała; stopień swobody nazywamy klasycznym jeżeli odpowiadający mu ruch podlega prawom mechaniki klasycznej.
16. DRGANIA SWOBODNE WYMUSZONE. Jeżeli na ciało o masie M działa siła sprężysta !F=k*!r, gdzie k jest stała sprężystości siły, !r - wychyleniem ciała z położ. równ, ciało wykonuje drgania harm. proste z częstotl. kątową om[0]=(k/M)^(1/2). Drgania z dodatkową siłą tarcia !T=-f*!v. f - współczyn. tarcia. Rozważamy tylko ruch w jednym wymarze (wzdłuż osi x). Z II zas. dyn. mamy : (r15a). Po lewej - iloczyn masy i przyspieszenia, po prawej suma sił działających na ciało. Można to równanie przekstałcić do (r15b). gdzie (Γ=f/M) jest stałą tłumieni drgań, a om[0]=sqrt(k/M) częstot. kątową drgań własnych. Rozwiązując równanie otrzymuje się zależność położenia ciała x od czasu t: (r15c). Wielkości x[0] i FI mogą przybierać dowolne waartości, z tym, że ich konkretne wartości są wyznaczone przez wychylenie i prędkość w danym momencie ruchu. Przypadek Γ/2=om[0] nazwya się krytycznym tłumienie. Wtedy ciało wytrącone z równowagi wraca do stanu równowagi bez drgań, ale w czasie najkrótszym. (rs 15a). Ważną wielkością układu drgającego jest jego całkowita energia E. (r15d). (rs 15b). Szybkość strat energi ukł. drgającego jest równa : dE/dt= (-1/tał)*E. gdzie tał=1/Γ - średni czas życia. Współczynnik dobroci: (r15e). T - okres drgań. Jeżeli na układ drgający działa zew. siła harm.F[0]sin(om*t) to w mamy równanie: (r16a). W rozwiązaniu równania oprócz (r15c) występuje także x=x[0]* sin(om*t+FI). przy czym (r16b). Amplituda drgań wymuszonych x[0] zależy od częstotl. kątowej om siły wymuszającej i ma charakter zależności rezonans, a mianowicie (r16c), amplituda drgań ma wartość maksym. Wtedy też praca wykonywana przez siłę zew. nad ukł. oraz moc dostarczana do ukł. przez siłe wymusz. są maksym. W dowolnym momencie czasu moc siły wymuszającej jest równa Fdx/dt. (r16d) (rs 16a).
17. REZONATORY. Gdy dla obwodu elektrycznego z rys (rs 17a) napiszemy prawo Kirchoffa - to otrzymamy równanie (r17a) będące różniczkowm równaniem drgań tłumionych swobodnych. gdzie Γ=R/L, om[0]^2=1/(L*C). Ladunek na okładkach kondensatora, natężnie prądu w obwodzie, napięcie zmieniają się w czasie zgodnie z drganiami tłumionymi. Inny rezonator: ukł. mechaniczne w postaci jednorodnejgo sprężystego ośrodka (drgająca struna, kamerton). Są to ukł. o stałych rozłożonych - każdy element objętości ukł. reprezentuje sobą masę, sprężystość i tarcie. Drgania rezonatora sa właściwie falą stojącą. Atom, molrkuła gdy są wzbudzone ze stanu podstawowego do stanu wzbudzonego , są opisywanie funkcjami odpowiadającymi drganiom własnym tłumionym. Funkcja własna atomu lub molekuły określona jest wzorem (r17b) - rozwiązanie różniczkowego równania drgań tłumionych swobodnych. Identycznie jest w przypadku wzbudonego jądra.
19. RÓWNANIE FALI i RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE FALI Fala - przekazywanie zaburzeń z dowolnego miejsca w ośrodku sprężystym do sąsiednich obszarów niezaburzonych. Za kierunek rozchodzenia się fali i współrzędna położenia w ośrodku przyjęto oś X, wielkość wytrąceń cząstek z położenia równowagi oznaczono przez PSI. Kształt fali w t=0 można określić pewną funkcją f(x). Fala przemieszcza się w ośrodkach z określoną prędkością v. W dowolnym momencie czasu równanie fali ma postać: PSI=f(x-vt). Równaważnym równaniem (opisującym tę samą falę) jest równanie: PSI=g*[t-(x/v)], gdzie g jest odwróconą funkcją f. (rs 19a) Fale harmoniczne można zapisać równaniem (r19a), gdzie k jest wektorem falowym Kierunek i zwrot wektora falowego odpowiada kierunkowi i zwrotowi rozchodzącej się fali. W układzie trójwymiarowym w miejscu kx byłoby !k*!r, gdzie !r jest wektorem położenia. Natomiast omega=(2*Pi*v)/lambda= 2*Pi*_v =(2*Pi)/T (_v częstotliwość T okres fali), jest nazywana prędkością kątową fali lub częstotoliwością kątową. v=omega/k
RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE FALI (r19b) Dany związek opisuje dynamikę ruchu falowego i dlatego nazywany jest różniczkowym równaniem ruchu falowego. Rozważając przykład fali sprężystej podłużnej w pręcie możemy zapisać dwa równania. Pierwsze to II zasada dynamiki dla pewnego odcinka dx. (r19c) - wypadkowa siła działająca na odcinek dx pręta (rs 19b) Drugie równanie to wzór na rozciąganieo dPSI odcinka o długości dx pod wpływem siły F (dPSI / dx)=F/SE gdzie E moduł Younga materiału. Przekształcając te równania otrzymujemy: %rS*(d^2)%P/(dt^2)=dF/dx i (d^2)%P/(dx^2)=(1/(S*E))*(dF/dx) z kolei z tych równań otrzymujemy równanie różniczkowe, którego rozw. jest fala:(r19e) Stała FI/E jest odwrotnościa prędkości fali. Otrzymując równanie fali tego typu możemy powiedzieć, że jeżeli otrzyma się takie równanie to jest to ruch falowy.
20. ENERGIA FALI.
Z ruchem fali związany jest transport energii mimo, że nie ma wypadkowegoWYPADKOWEGO transportu masy. Stąd dla charakterys. fali pod względem ilości transport. energii jet jedną z istotniejszych. Rozważmy wycinek dds powierzchni czoła fali w momencie czasu t, biegnącej w kierunku x. W ośrodku po lewej stronie czoła fali cząsteczki drgają. (r20a) Z ruchem tym związana jest energia drgań. Pojęcie gęstości energii drgań: E[ro]. Jest to energia drgań przypadająca na jednostkę objętości ośrodka. Miarą ilości energii transportowanej prze falę jest natężenie I fali, które jest stosunkiem energii ddE, przeniesionej przez powierzchnię dds prostopadłą do kierunku biegu fali w czasie ddt do tej powierzchni i czasu. Energię ddE definiuje się ddE=dds*ddx*E[ro]. ddx odcinek, o który przesunie się czoło fali ddx=v*ddt. Stąd natężenie I wynosi: I=ddE(dds,ddt)/(dds*ddt)=E[ro]*v E[ro] wyraża się analogicznie jak energia drgań harmonicznych (r20a) . Wtedy natężenie fali harmoni. wynosi (r20b), z - oporność falowa ośrodka z=ro*v, U[0 - amplituda prędkości drgań U[0]=omega*A. Ważną wielkościa charakteryzującą źródło fali jest jego moc M, czyli szybkość emisji energii w czasie Natężenie fali w odległości r od źródła jest równe mocy tego źródła do powierzchni prze którą fala przechodzi. I=M/ ((r^2)*ddOMEGA) ddOMEGA - kąt bryłowy. Gdy źródło fali jest punktowe lub kuliste : emituje falę izotropowo ddOMEGA=4*PI W ośrodkach rzeczywistych energia fali w pewnym stopniu jest pochłaniana i zamieniana na ciepło. Ubytek natężenia fali przy przejściu drogi dx wyniesie dI= -alfa*I*dx, po przekształceni I=I[0]*exp(-alfa*x), alfa - współczyn. pochłaniania fali w ośrodku wprostproporcjon. do kwadratu częstotliw. i odwrotności gęstości ośrodka.
18. drgańiA sprzęŻone i normalne. (rs 18a) Wahadła 1 i 2 sprzężone ze sobą oddziaływaniem sprężystym, którego wsp. sprężystości jest k. Oznaczająć przez PSI[1] i PSI[2] wychylenia mas wahadeł z położenia równowagi można napisac równanie ruchu (r18a). Pierwsze wyrazy po prawej stronie są quasi-sprężystymi siłami dziłającymi na masy wahadeł wychylone z położeń równowagi. Drugie składniki są siłami sprężyny. Dodając i odejmując równ. stronami można napisać 2 równ. niezależne juz od siebie (r18b). Rozwiązaniami są drgania harmon. o cześtotl. : om[I]^2=g/l. i om[II]^2=g/l+2k/M. i dalej (r18c). gdzie A[I],A[II], PSI[I],PSI[II]. W przypadku ukł. drgań sprzężonych drgania pojedyńczych elem. są na ogół złożone - nie są to drgania z jedną częstotliwością, i są ze zmienną amplitudą. Można za to wyróżnić tzw. drgania normalne układu (r18c). Liczba drgań normalnych jest równa liczbie sprzężonych oscylatorów. Drgania normalne są niezależnymi sposobami drgań układu. Dowolne drganie układu jest superpozycją drgań normalnych. W określonych warunkach układ może drgać tylko według jednego drgania normalnego. Kryształ jest przykładem wieloelementowego ukł. drgań sprzężonych. Modelem jedonwymiarowym. Może być łańcuch kulek (atomów) połączonych sprężynkami. W krysztale każdy atom ma trzy niezależne sposoby dragń dlatego liczba normalnych drgań jest równa potrojonej liczbie atomów, w krysztale.
21. NAKŁADANIE SIĘ FAL (om - omega) Jeżeli w ośrodku rozchodzą się dwie lub więcej fal to wypadkowe drgania cząstek ośrodka (a więc i fala wypadkowa) są sumą geometryczną składowych fal. Zatem w ruchu falowym obowiązuje fala superpozycji. Rozważając przypadek superpozycji dwu fal harmonicznych poruszających się w tym samym kierunku, o wektorach falowych k i k+ddk niewiele się od siebie różniących oraz częstotliwościach om i om +dd om, to w wyniku złożenia tych fal otrzymujemy wypadkową falę (r21a). Wypadkowa fala ma długoścć i częstotliwośc taką samą co fale składowe, tylko amplituda jest zmienna. Obwiednia amplitudy ma sama charakter fali poruszającej się z prędkościa ddom / ddk. Prędkość tę nazywamy grupową i wyrażamy ją wzorem v[g]=ddom /ddk. Transport energii w fali złożonej jest związany z prędkością grupową poruszania się jakby paczek falowych. Natomiast prędkość v=om/k nazywana prędkością fazową nie ma w przypadku fali złożonej istotnego znaczenia. (rs 21a) (r21b). Wzór ten można uzyskać przekształcając wzór na prędkość grupową. Ośrodki w których prędkość fazowa jest długości fali nazywane są dyspersyjnymi.
22. PACZKA FALOWA Każda fala rzeczywista w ścisłym sensie nie jest falą harmoniczną, bowiem jest skończona w czasie i w przestrzeni, a funkcja harmoniczna jest określona dla argumentu +/-nieskończoność. (rs 22a) Fala skończoną w czasie i przestrzeni to paczka falowa. Porusza się ona z prędkościa grupową. Każda fala rzeczywista będąca paczką falową jest superpozycją fal harmonicznych, można to zapisać zależnściami: (r22a) i (r22b) , gdzie c(k), c(%o) gęstości widmowe amplitud, a PSI przesunięcia fazowe poszczególnych fal. Widma fal harmon. składających się na paczkę falową są bardzo różne w zależności od kształtu paczki falowej. W przypadku danej fali (z rs 22a) możemy mówić o średniej długości fali lambda[0] lub okresie T[0], czy częstotliwości omega[0], ale w takim sensie, że fala ta jest superpozycją fal harmonicznych o wektorach falowych z zakresu (k[0]-ddk/2) do (k[0]+ddk/2), lub częstotliwościach z zakresu (omega[0]-ddomega/2) do (omega[0]+ddomega/2). Czyli że na te fale składa się pewne widmo fal harmonicznych. Wielkości ddk i ddomega charakteryzują szerokość widma.{rs 22b} Długość fali jest tym dokładniej określona, im więcej dlugości fal mieści się w całej fali. Ilościowo możemy zapisać to tak: (r22c) gdzie ddlambda/lambda[0] to względna rozmycie długości fali. Uwzględniając , że w sensie rachunku różniczkowego (r22d), mamy ddk*ddx=2*Pi. Podobnie otzrymujemy (r22e). Związki te mają charakter orientacyjny i porawnie należałoby zapisać (r22f).
23. ANALIZA FOURIEROWSKA ( WIDMOWA ) FAL Jeśli mamy dowolną funkcję (falę) określoną w czasie, np. jak na (rs.23a), to można ją wyrazić jako sumę nieskończonego szeregu funkcji (fal) harmon. o częstotliw. będących wielokrotnościami (harmon.) częstotliw. podstawowej (do cholery wzorów - 23abc), gdzie t[0] jest dowolnym momentem czasu. Jeżeli okres czasu powtarzania T[1] będzie się zwiększać do niesk., otrzymamy przebieg odpowiadający paczce falowej. Wtedy odległośc na skali częstotliwości między kolejnymi skłądnikami sumy szeregów maleje do zera i sumę tę należy zastąpić całką. Mamy wtedy: (r23def). Powyższy wzór można też zapisać (r23g) Całkowita energia fali jest wprost proporcjonalna do całki [-oo] do [+oo] PSI^2 dt Spełniony jest związek (r23h) odzwierciedlający fakt, że całk. energia paczki falowej jest sumą energii fal, harmon. sklądających sie na tą paczkę. Każda fala harmon. jest drganiem, którego energia jest wprost proporcjonalna do kwadratu widmowej gęstości amplitudy c(omega)
24. INTERFERENCJA FAL OD ŹRÓDEŁ PUNKTOWYCH. Siatka interferencyjan - n źródeł punktowych ułożonych w równomiernych odległościach d w lini prostej (rs 24a). Maksymalne wzmocnienie zajdzie w tych kierunkach, dla których różnica dróg falowych między dwoma źródłami jest wielokrotnością lambda. Dlatego musi być spełniony warunek d*sin(FI[n])=n*lambda. (n=1,2,..). Rozważając interferencję dla innych kątów zakłąda się, że FI <<1 rad a dds różnica dróg między kolejnymi źródłami oraz ddd różnica dróg fal między skrajnymi źródłami (r24a). Odpowiadające im różnice faz to (r24b). Różnice faz kolejnych źródeł w stosunku do źródła pierwszego możemy przedstawić na wykresie kołowym (rs 24b} (r24c) Wartość kąta ddFI[1], przy którym następuje pierwsze zupełne wygaszenie dFI=lambda/(N*d). Następne wygaszenia następją dla kątów FI równych 2dFI, 3dFI aż dla kąta dFI[1]=N*dFI będziemy mieć pierwsze maksimum interferencyjne. Wzór dla charakterystyki kierunkowej ma postać (r24d) W przypadku złożenia bez interferencji wypadkowe natężenie jest równe N*I[0]. W przypadku interferencji wypadkowa amplituda jest sumą amplitud i jest wprost proporcjonalna do iloczynu N*sqrt(I[0]), natomiast wypadkowe natężenie jest fali jest równe N^2*I[0]..
25. ZASADA HUYGHENSA (UGIĘCIE FALI NA OBIEKTACH) Zas. Każdy punkt, do którego dojdzie front fali można traktować jako punktowe źródło nowej fali, wypadkowy front fali w chwilę pożniej można uważać wynik nałożenia (interferencji fal od owych źródeł. Tak więc ów otwor należy traktować jako płaskiekołowe źródló fali. Fala rozchodząca się za otworem jest określona charakterystyką kierunkową. Zjawisko to nazywa,y ugięciem (dyfrakcją) fali. Podobnie ma się rzecz z otworami o innych kształtach. Gdyby na drodze płaskiej fali ustawić przesłonę w kształcie krążka o średnicy D to fala też się ugnie. Kształt ugiętej fali winien być taki, że złożona z falą ugiętą na otworze winna tworzyć falę jakby żadnej przeszkody nie było , czyli falę płaską. Musi to być złożenie z uwzględnieniem faz, więc fale ugięte na dopełniających się przeszkodach są jakby falami dopełniejającymi się. Za pomocą zasady Huyghensa można łatwo przewidywać kształt fali i jej rozchodzenie się. Przykładem mogą być konstrukje geometryczne wyjaśniające zasady obicia i załamania.
28. CHARAKTERYSTYKI KIERUNKOWE NADAJNIKÓW I ODBIORNIKÓW
Rozważając źródło spójne w kształcie odcinka o szerokości D. (rs 28a} d->0, N->niesk., (N-1)d=D. Wtedy w kierunku FI=0 jest maksymalne wzmocnienie interferencyjne, a w kierunku wg wzoru dFI=lambda/D pierwsze zupełne wygaszenie. Kolejne wygaszenia będą występowały dla kątów równych wielokrotności kąta ddFI. Pomiędzy minimami będą maksyma. Wysokośc i-tego małego maksimum będzie wynosić 1/(2*i+1)^2. Tak więc pierwsze boczne maksimum dyfrakcyjne ma natężenie około 1/9 natężenia środkowej wiązki, drugie 1/25. Wzór opisujący charakterystykę kierunkową ma postać: (r28a) (rs 28b) Jeżeli źródło ma kształt koła o średnicy D to mamy do czynienia z układem dwuwymiarowym, wtedy zalżności ilościowe mają postać: (r28b) Szereg ten jest funkcją Bessla. áródło w kształcie kołą to głośnik, przykładem jest punktowe źródło w ognisku zwierciadła parabolicznego. Jeżeli źródło punktowe Z umieści się w ognisku zwierciadła parabolicznego to promienie odbite od powierzchni tworzą wiązkę równoległa, a drogi promieni są takie same po dotarciu do płaszczyzny S prostopadłej do osi zwierciadła. Powierzchnia S jest spójnym źródłem fali o kształcie koła. Odbiorniki (detektory) punktowe fal mają (niektóre) charakterystykę czułości izotropową. Jeżeli złoży się takie odbiorniki w układ o geometrii siatki interferencyjnej a sygnały od nich będzie się sumować z uwzględnieniem fazy to charakterystyka kierunkowa takiego systemu jets identyczna jak układu nadawczego. Można ogólnie powiedzieć, że charakterystyki kierunkowe nadajnika i odbiornika o tej samej geometrii są identyczne.
29. OPÓR FALOWY OŚRODKA. z=ro*v jest nazywane operem falowym ośrodka. W przypadku fali biegnącej w kierunku przeciwnym do kierunku osi współrzędnych x p=-z*U. Pojęcie oporu falowego ośrodka odnosi się nie tylko do fal mechanicznych. W przypadku fal elektromagnetycznych odpowiednikiem fali prędkości jest fala natężeń pola magnetycznego a fali ciśnień jest fala pola elektrostatycznego. Opór falowy ośrodka dla fali elektromagnetycznej jest równy (r29a) , gdzie mi i epsilon są względnymi przenikalnościami odpowiednio magnetyczną i elektryczną ośrodka, a mi[0] i epsilon[0] bezwzględnymi przenikalnościami próżni. Opór falowy dla próżni dla fali elektromagnetycznej jest równy 377 OMÓW. Natężenie wynosi I=U*p=U*U*z=((p*p)/z). Dla fali harmonicznej można wyliczyć wartości średnie w okresie (r29b) są skutecznymi wartościami prędkości drgań i ciśnienia w fali.
30. FALA NA GRANICY DWU OŚRODKÓW Gdy fala pada na granicę między dwoma osrodkami to w części się odbija a w części przechodzi do drugiego ośrodka, przy czym następuje tzw. załamanie fali określone zależnością (sin(alfa)/sin(beta))=v!1/v!2. Gdy fala pada prostopadle na granicę między ośrodkami, to z zasady zachowania energii I=I[o]+I[p], I[o] natężenie fali odbitej, I[p] natężenie fali przechodzącej, I - natężenie fali padającej. W ośrodku o oporności falowej z[1], z[2] opór falowy ośrodka do którego fala wchodzi. Z ciągłości amplitudy wychyleń, prędkości i ciśnień na granicy dwóch ośrodków (na granicy wypadkowe wycyleń i prędkości cząstek oraz ciśnienia muszą być takie same w obu ośrodkach) mamy: (1) PSI+PSI[o]=PSI[p], (2) u+u[o]=u[p], (3) p+p[o]=p[p]. Indeksy o i p dotyczą fali odbitej i przecodzącej. Ponieważ prędkości drgań są wprost proporcjonalne do iloczynów wychyleń i u, a ta ostatnia jest taka sama w obu ośrodkach (zawsze przy przejsciu omega1= omega2, natomiast jeżeli v[1]<>v[2] to lambda[1]<> omega[2] ) więc równania (1) i (2) są sobie równoważne. Ponieważ p=z[1]*omega*A, p[0]= -z[1]*omega*A[0], p[p]=z[2]*omega*A[p], to z (1) i (3) : (r30abc) gdzie R jest współczynn. odbicia amplitudy. Tak więc los fali na granicy dwóch ośrodków zależy od względnej wartości ich oporności falowych. W przypadku gdy z[1]=z[2], mamy do czynienia z dopasowaniem ośrodków. Fala w całości przechodzi do ośrodka drugiego, dgy opory falowe różnią się, fala w części odbija się, a w części przechodzi. Przy czym gdy z[1]>z[2], R>0 , tzn faza fali odbitej jest zgodna z fazą fali padającej w miejscu odbicia amplituda drgań jest sumą fali padającej i odbitej. W przciwnym wypadku, tzn gdy z[1]<z[2] (ośrodek od którego fala odbija się ma gęstośc większą w stosunku do ośrodka w którym fala się porusza) i R<0 faza fali odbitej jest przeciwna do fazy fali padającej, wypadkowe drgania cząstek ośrodka są różnicą amplitudy fali padającej i odbitej. Gdy dodatkowo z[1] i z[2] bardzo się różnią, to odbicie jest całkowite. Wtedy na granicy występują drgania maksymalne (strzałek) lub zerowe (węzły). Dopasowanie falowe ośrodków lub przeciwnie niedopasowanie jest zawsze istotnym warunkiem skutecznego wykorzystania zjawisk falowych. W przypadku źródeł fal dąży się do dopasowania oporu falowego źródła i ośrodka, w którym fala ma się rozchodzić, aby fala była skutecznie emitowana do ośrodka. Jednak np. w radiolokacji (radary) , defetkoskopii ultradźwiękowej pożądana jest wyraźna różnica między oporem falowym ośrodka i obiektu mającego być wykrytym. Dwa ośrodki o dowolnie różniących się oporach falowych można dopasować, jeżeli opór między nimi będzie się zmieniać w sposób ciągły wg zależności wykładniczej.
31. FALA STOJĄCA Jeżeli fala całkowicie odbije się na granicy dwóch ośrodków, to w wyniku interferencji fali padającej PSI i odbitej PSI[0] otrzymamy fale stojącą. (r31a). Fala stojąca nie jest już właściwie falą, bowiem funkcja opisująca drgania ośrodka nie jest funkcją argumentu (k*x- omega*t). Są to właściwie stacjonarne dragania w czasie (czynnik (sin(omega*t)), ale amplituda drgań jest funkcją położenia (czynnik 2*A*cos(k*x)). Jeżeli opór falowy ośrodka, w którym fala pada jest większy od oporu falowego, do którego fala wchodzi to na granicy powsatnie strzałka: (rs 31a - teraz a) w przeciwnym wypadku powstanie węzeł : (teraz rs b). Jeżeli ośrodek , w którym fala jets stojąca jest ograniczony z obu stron zapewniającymi całkowite odbicie to fala stojąca jest ograniczona z dwu ston. Takie układy nazywamy rezonatorami: (teraz rs c) W rezonatorze mogą być fale stojące tylko takie, których długości fal lambda[n] są dopasowane do wymiarów rezonatora L. Dla jednowymiarowych drgań n*(l[n]/2)=L , gdzie n jest naturalne. A więc i dozwolone częstości dgrań rezonatora tworzą dyskretny ciąg (r31b) . W ogólnym przypadku rezonator jets obiektem trójwymiarowym i taki sam charakter ma fale stojące.
32. NatęŻenie i potencjaŁ pola elektrycznego. Na umieszczony w polu elektrycznym ładunek q działa siła !F. Tę własność pola opisuje wektor natężenia pola elektr. zdefiniowany następująco !E=!F/q Inną wielkością opisującą pole elektryczne jest potencjał. Różnicę potencjałów elektr. określamy jako V[A]-V[B] = W[AB]/q gdzie Wab-praca wykonana przy przesunięciu ładunku q z punktu A do B. Zazwyczaj jako punkt A przyjmowany jest pkt. w nieskończon. i potencjał w tym punkcie V[a] przyjmowany jest za równy zeru. Pozwala to na określenie potencjału elektr. w konkretnym punkcie. V=W/q gdzie W-praca wykonana aby przenieść ładunek q z nieskończo. do danego punktu. (r32a). Zjawiskiem indukcji elektrostat. nazywamy zjawisko rozdziału ładunków elektrycznych w przewodnikach. Indukcyjne wartości pola elektr. opisuje wektor indukcji !D pola elektr. Definicja tego wektora wiąże się z wielkością indukowanego ładunku D[n]='ddq[ind]/ddS=sigma\ind gdzie D[n]-składowa normalna wektora indukcji do płytki o powierzchni ddS na której indukuje się ładunek ddq[ind], sigma[ind]-gęstość powierzchniowa ładunku na pow. dd'S Chociaż wektory |E i |D są zdefiniowane niezależnie od siebie to doświadczalnie określono związek między nimi jako !D=epsilon[0]*|E gdzie epsilon[0]-bezwzgl. przenikalność dielektryczna próżni.
33. Prawo Gaussa Jeżeli dowolny ładunek Q zamknięty wewnątrz przewodzącej powierzchni dowolnego kształtu to całkowity ładunek zaindukowany przez pole elktr. (wytworzone przez Q) na zewnątrz tej powierzchni jest równy ładunkowi Q. Ponieważ zaindukowany ładunek q[ind] jest równy sumie ładunków ddq[ind] zaindukowanych na małych kawałkach ddS całej powierzchni a z kolei ddq[ind]=D[n]*'ddS możemy zapisać (r33a) (r33b) (rs33a). Weźmy przykładowo ładunek punktowy Q. Wytwarza on pole kulisto-symetryczne. Jeżeli więc jako powierzchnię Gaussa S weźmiemy powierzchnie kulistą o promieniu r ze środkiem w środku ładunku to składowa D[n]=!|D| i jest taka na całej powierzchni, czyli z prawa Gaussa (r33c) skąd D=Q/(4'Pi'*r^2), a z D=epsilon[0]*E : E=Q/(4'Pi'*epsilon[0]*r^2)
34. Energia pola elektretcznego. Dla obliczenia energii potencjalnej dwóch ładunków Q i q, usuwamy ładunek q do nieskończoności. Potencjał wytworzony przez Q w punkcie, w którym znajdował się q wynosi V=Q/(4'Pi'*epsilon[0]*r) Do przeniesienia q z nieskończoności do pierwotnego położenia w odległości r potrzebna jest (z def. potencjału) praca W=V*q. Łącząc oba równania i pamiętając, że praca W jest równa potencjalnej energii elektrycznej U układu Q+q mamy U=(Q*q)/(4'Pi'*'epsilon[0]*r)
35. Dipol elektryczny Dipolem elektr. |p określamy ukł. dwu równych przeciwnego znaku ładunków q oddalonych od siebie o |l. |p=q*|l Jeżeli rozważymy siły działające na dipol elektr. w polu elektr. jednorodnym to zauważamy, że działa na niego moment siły M=F*l*sin(FI')=E*p*sin(FI') (rs35a) zapisując wektorowo |M=|p x |E Moment siły M usiłuje ustawić dipol zgodnie ze zwrotem pola elektr. Towarzyszy temu wykonanie pracy ddL przez pole elektr. (r35a). Praca ta odbywa się kosztem energii potencjalnej U dipola w polu ddL= -ddU czyli (r35b). Przyjmując, że U(fi=PI/2)=0 wzór na energię potencjalną dipola elektr. w polu elektr. U= -|p*|E Jak widać w przypadku jednorodnego pola wypadkowa siła działająca na dipol jest równa zeru. W polu niejednorodnym mając swobodę ruchów dipol ustawia się wzdłuż linii pola elektr. Dipol wytwarza swoje własne pole. Potencjał w punkcie P odległym o r od środka dipola można określić jako sumę.(r35c). Dla |!r|>>|!l| V(!r)=(!p[e]*!r) / (4'Pi*epsilon[0]*r^3) (rs 35b)
37. POLE ELEKTRYCZNE W SUBSTANCJI
W polu elektrycznym cząsteczki lub atomy substancji polaryzują się bądź pod wpływem zewnętrznego pola elektrycznego indukując dipole elektryczne, bądż trwałe dipole molekuł ustawiają się zgodnie z zewnętrznym polem. Na powierzchniach dielektryka występują ładunki, które nazywamy polaryzacyjnymi. Ponieważ pozostały ładunek od dipoli w dielektryku się znosi i różnicę tę możemy nazwać natężeniem pola elektrycznego w dielektryku i w próżni przypisać polu wytwarzanemu przez te ładunki E=E[0]-(sigma[p]/epsilon[0]) (sigma[p] - gęstość pow. ładunku polaryzacyjnego). Na płytce dS w dielektryku ustawionej II do powierzchni dielektryka w takim miejscu, aby nie przecinać dipola zaindukowany ładunek będzie taki sam jak w próżni czyli !D=!D[0] Gęstość powierzchniowa sigma[p] = dipolowi elektrycznemu jednostki objętości dielektryka sigma[p] = N[1]*P[e] N[1] - gęstość dipoli. Jeżeli określi się wektor P obrazujący stan spolaryzowania dielektryka równaniem P=N[1]*P[e] to można ostatecznie sformułować związek między wektorami D i E w dielektryku: !D=epsilon[0]*!E+!P, !P=(epsilon[0]-1)*epsilon[0]*!E !D=epsilon*epsilon[0]*!E. Jeśli w jednorodnym polu jest bryła dielektryka o dowolnym kształcie, to pole elektryczne w dielektryku nie jest jednorodne ponieważ gęstość powierzchniowa ładunków polaryzacyjnych nie jest jednorodna; ładunki polaryzacyjne na powierzchni dielektryka wytwarzają swoje pole elektryczne na zewnątrz, a więc również w otoczeniu bryły pole staje się bardziej złożone. !E=!E[0]- (a/epsilon[0])*!P ; !D=!D[0]+(1-a)!P a-wsp.polaryzacji Dla elipsoidy suma wsp. względem trzech osi =1 ; dla kuli =1/2 ; walca prost. =1/2 II = 0, warstwy prostop=1 II=0. Wzór na gęstość pola elektrycznego (energii) w próżni ma postać E[ro]=(E*D)/2 i jest słuszny dla dielektryka. E[ro]=(epsilon[0]*E^2)/2+E*P/2. Pierwszy składnik jest gęstością energii pola elektrycznego w próżni a drugi gęstością energii spolaryzowanego dielektryka. Jeżeli dielektryk jest w polu elektrycznym o natężeniu E i wzrasta jego polaryzacja o dP to wiąże się to z powiększeniem dipoli elektrycznych o dP[e]=dP/N[1], przez obrót dipola trwałego o pewien kąt, większe rozsunięcie ładunków w molekule. W procesie tym wykonana jest praca E*dp[e] kosztem pola zewnętrznego. Jeżeli dielektryk ma objętość V(takie z wywijasem), to całkowita praca dl jest równa: dl=V(takie z wywijasem)*E*dP i o tyle wzrasta energia wewnętrzna dielektryka. Spolaryzowany dielektryk ma energię potencjalną w zewnętrznym polu elektrycznym E[0], ponieważ jest makroskopowym dipolem V(takie z wywijasem)*!P. Energia ta jest równa U= -V(takie z wywijasem)*!P*!E[0]
42. WZÓR AMPERA.
Oddziaływania magnetyczne przekazywane są przez pole magnetyczne.Pole magnetyczne nie oddziaływuje na nieruchome ładunki elektryczne Nie wytwarzają one pola magnetycznego. By powstało pole magnetyczne musi poruszać się ładunek elekrtyczny ładunek musi się poruszać, by działało na niego pole magnetyczne. Pole magnetyczne określają dwa wektory- indukcji B i natężenia H. Wektor B opisuje własności dynamiczne pola i jest określony przez zależność na siłę F działającą na przewodnik o długości L w którym płynie prąd I. !F=I*!L x !B.(x - il.skal. (siła ta jest sumą sił działających na poszczególne elektrony, które poruszają się w przewodniku Fl = q!V x !B jest to siła Lorenza). Wektor natężenia pola opisuje własności magnetyczne pola. Jest on określony przez związek z natężeniami prądu elektrycznego, wytwarzającego dane pole.
WZÓR AMPERA.
Linie pola magnetycznego są liniami zamkniętymi. Kierunek i zwrot określa reguła śruby prawoskrętnej: Otóż, jeżeli się pomyśli się dowolny kontur zamknięty l otaczający przewodnik z prądem i dla małego odcinka dl tego konturu wyznaczy się składową H[l] wektora natężenia pola magnetycznego styczną do konturu l w tym miejscu: calka z kółkiem(H[l] dl)=I . Związek pomiędzy wektorami H i B określa związek B=mi[0] * H i zostal ustalony empirycznie. Pole magnetyczne: 1.Wokół przewodnika z prądem. Z uwagi na symetrię układu linie pola sa okręgami centrycznymi względem przewodnika oraz wartość bezwzględna natężenia tej samej lini jest taka sama H=I/(2*PI*R) 2.Sfera w punkcie O sumują się pola, a na zwenątrz odejmują H=I/(2R) 3.Solenoid pole istnieje tylko wewnątrz solenoidu i jest ono jednorodne H=Jn/l (n-ilość zwojów , l-długość)
38. FERROELEKTRYZM Istnieje grupa kryształów, w których występuje zjawisko spontanicznego spolaryzowania. Ogólną ich cechą jest to, że poniżej pewnej temperatury T[c], zwanej temperaturą Curie występuje spontaniczne spolaryzowanie. Natomiast powyżej w polaryzacji kryształu występuje składowa dipolowa w postaci zależności (E-1)/(E+2)=A+ B/(T-T[0]) Próbka makroskopowego ferroelektryka dzieli się na małe obszary, zwane domenami. Domeny są spolaryzowane spontanicznie, ale kierunek spolaryzowania w różnych domenach jest różny, tak, że wypadkowe wypadkowe spolaryzowanie próbki jest bliskie zeru Dopiero w zewnętrznym polu elektrycznym ma miejsce porządkowanie kierunków spolaryzowania w domenach i cała próbka uzyskuje wypadkowo duże spolaryzowanie. Występuje przy tym tzw. pętla histerezy w zależności P(E).
39. PIEZOELEKTRYZM. Inną ciekawą własnością niektórych kryształów dielektrycznych jest zjawisko piezoelektryczności Polega ono na tym, że kryształ polaryzuje się (a więc występuje napięcie elektryczne między różnymi miejscami w krysztale) pod wpływem działania napięć mechanicznych. Efekt ten jest odwracalny. Zjawisko to znajduje zastosowanie np. w elektrycznych rezonatorach kwarcowych, nadajnikach i odbiornikach ultradźwiękowych. Wszystkie ferroelektryki są bardzo silnymi piezoelektrykami.
43. RUCH CZĄSTKI NAŁADOWANEJ W POLU MAGNETYCZNYM. Pole magnetyczne wytworzone przez prąd w przewodniku jest sumą pól wytworzonych przez pojedyńcze ładunki poruszające się w przewodniku. linie pola magnetycznego od pojedyńczego ładunku q poruszającego się z prędkością !v sa pokazane na (rs 43a) a wartość natężenia w odległości r od ładunku określa wzór. (r43a) . Chociaż wzór (r43b) definiujący wektor !H nie określa (przynajmniej teoretycznie) sposobu na pomiar !h, to sposób jednak istnieje. Otóż wyobraźmy sobie miniaturową cewkę o określonej gęstości zwojów. Aby określić wartość !H w dowolnym punkcie pola mag. możemy umieścic w tym miejscu ową cewkę i ustalic takie ustaiwnie cewki oraz wartość prądu płynącego przez nią, aby pole magnetyczne w tym miejscu było równe 0. Wtedy wartość natężenia pola magnetycznego jest określona wzorem (r43a), a kireunek oś cewki, zwrot przeciwny do pola wytworzonego przez cewkę.
47. POLE MAGNETYCZNE W SUBSTANCJI..
W zewnętrz. polu magnetycz. mom. magnetyczne atomów są ustawione w kierunku pola, a w atomach są indukowane mom. magnetyczne. Substancje materialne w polu magnet. ulegają magnesowaniu. Wielkość magnesowania zależy od gęstości atomów N[1] i wartości efektywnego momentu magnetycznego P[ef] atomu w kierunku pola, a miarą magnesow. jest wartość natężenia dodatkowego pola magnetycz/ H, powstałego przez magnesowanie, nazywanego wektorem namagnesow.. Solenoid jest dipolem magnetycz. o wartości ZJS. Ponieważ objętość solenoidu jest równa L*S, więc wartość dipola magnetycznego przypadającego na jednostkę objętości solenoidujest równa ZJS/SL = ZJ/L = H gdzie H-natężenie pola w solenoidzie. Namagnesow. substan. jest "dużym dipolem" magnetycz. składającym się z sumy dipoli atomowych; można je przyrównać do solenoidu. (rs 47a) Prądy wewn. materiału znoszą się, a pozostałe na powierzch. bocznej namagnes. substancji prąd powierzchn. podobnie jak w solenoidzie. Wartość wektora namagnes. jest równa mom. magnetycz. namagnes., przypadającemu na jednostkę objętości !M=N[1]*!P[m] (M-wektor namagnesowania). Efekty dynamiczne pola magnetycz. w substancji są sumą od pola zewnętrznego H i pola namagnesowania M. !B=mi[0]*(!H+!M) !M=xH (x-greckie h.) B=mi[0]*(1+x)*H=mi*mi[0]*H. (x-greckie h). W procesie magnesowania substancji pod działaniem zewnętrznego pola magnetycznego o natężeniu H są obracane dipole magnetyczne P[m0] atomów. Z uwagi na własności magnetyczne wyróżniamy : substancje diamagnetyczne, paramagnetyczne i ferromagnetyczne. Do pierwszych zalicza się substancje, których wartości podatnośi magnetycznej są ujemne a co do wartości bezwzględnej dużo mniejsze od jedności. Własności dia- lub paramagnetyczne są rezultatem dwu konkurencyjnych mechanizmów magnesowania cząstek. W ferromagnetykach występuje zjawisko spontanicznej magnetyzacji.
49. ZASTOSOWANIA UWARUNKOWANE INDUKCJA ELEKTROMAGN.
Jeżeli zmienia się w czasie strumień Φ[B] wektora indkucji pola magnetycznego przenikającego powierzch. ograniczoną konturem zamkniętym obwodu elektrycznego, to w obwodzie tym indukuje się siła elektromotoryczna ε[ind] równa szybkości zmian strumienia indukcji w czasie: ε[ind]= -dΦ[B]/dt. Znak minus wynika z tzw. reguły Lenza : kierunek indukowanej siły elektromotorzycznej jest taki, że sprzeciwia się zachodzącym zmianiom pola magnetycznego. W O\obwodzie elektrycznym powstaje pole elektryczne. Iloczyn natężenia tego pola E[l] na małym odcinku przewodu dl raazy długość tego odcinka jest częścią siły elektromotorycznej indukującej się na tym odcinku, a pełna wartość : (r48a), gdzie całkowanie odbywa się po całym zamkniętym obwodzie. Istota zjawiska indukcji elektromagnetycznej tkwi w tym, że zawsze wokół zmieniającego się strumienia wektora indukcji pola magnetycznego indukuje się wirowe pole elektryczne. Układ lini pola na rys (rs 48a) w przypadku gdy pole magnetyczne rośnie. Ilościowo związek określa I równanie Maxwella: całka po dowolnym zamkniętym konturze l iloczynu składowej natężenia pola elektrycznego strycznej do konturu razy mały element długości konturu jest równa ujemnej wartości szbkosci zmian strumienia wektora indukcji pola magnetycznego, przechodzącego przez powierzchnię ograniczoną konturem l. (r48b) gdzie B[n] jest składowoą wektora indukcji pola magnetycznego normalną do elementu powierzchni dS. 49. Zjawisko indukcji elektromagn. ma wiele bardzo ważnych zastosowań. Wykorzystywane jest między innymi w działaniu transformatora. W postaci najbardziej elementarnej jest wykorzystywane jako zasada działąnia beatronu. Jest przyczyna zjawiska prądów wirowych wykorzystywanego z pożtkiem w piecach indukcyjnych, układach tłumienia dynamicznego, itp.
44. DIPOL MAGNETYCZNY. Elementarnym modelem dipola magnetycznego jest pętla z prądem. Wartość dipola wyznacza jego moment magnetyczny !P[m]=I*S*!n, I-natężenie prądu w pętli.W polu magnetycznym działa na dipol moment siły !M = !P[m] x !B oraz dipol na energię potencjalną U= -!P[m]*!B. Dipolem magnetycznym jest także ładunek q krążący po orbicie kołowej J=q*v gdzie v-częstotliwość krążenia. !P[m]=(q/2m)*!K K-kręt,mom.pędu(wektor). Moment pędu elektr K[l]- orbitalny elektr. K[l]=h*sqr(l(l+1)) l=1,2,3...- orbitalna liczba kwantowa. Moment pędu (spinowy): K[n]= h*sqr(s(s+1)) s=1/2. - liczba kwantowa spinu. Całkowity moment magnetyczny jest równy sumie wektorowej momentów magnetycznych poszczególnych elektronów. Sumowanie osobne !K[l], a osobno !K[s] i dopiero później razem. Wypadkowe momenty magnetyczne powłok zapełnionych są równe zero. Wypadkowe momenty magnetyczne atomów są określone przez atomy walencyjne. Naturalną jednostką atomowego momentu magnetycznego jest tzw. magneton Bora :mi[B]=e/2a*h(kreślone).
51. RÓWNANIA MAXWELLA. Pierwsze równanie (r51a) opisujące zjawisko indukcji elektromagnet. II równanie: rozważmy przewodnik prosty, w którym płynie prąd ładujący kondensator. (rs 51a) Wokół przedownika z prądem istnieje pole magnetyczne jak na rys, co jest natomiast wokół kondensatora. Maxwell odgadł, że powstaje tam pole magnetyczne podobnie jak wokół przewodnika. Wielkość w objętości kondensatora równa natężeniu prądu (r51b), gdzie S - powierzchnia okładek kondensatora, sigma - gęstość powierzchowa ładunku elektrycznego na okładkach kondens, Φ[E] - strumień wektora indukcji pola magnet. Wirowe pole magnetyczne jest wytwarzane nie tylko przez prąd elektryczny, ale i przez zmieniający się w czasie strumień wektora indukcji pola elektrycznego. Uwzględniając, że natężenie prądu jest równe sumie po całej powierzchni przekroju poprzecznego ilorazów składowej normalnej gęstości prądu i[n] razy element powierzchni dS moża zapisać równanie (r51c) - Ii rów. Maxwella. Dwa następne to prawidłowości dotyczące indukcji pola elektrycznego i magnetycznego. (r51d) - odzwierciedla ono fakt, że istnieją łądunki elektryczne i dlatego całkowity strumień indukcji Φ[E] wychodzący z zamkniętej powierz. jest równy sumie ładunków zamkniętych w tej powierzchni. Dla pola magnetycznego - nie ma ładunków magnetycznych, dlatego całkowity strumień indukcji pola magnetycznego wychodzącego z zamkniętej powierzchni jest równy zero. Całka podwójna z B[n]dS po S = 0. Zależności między !D i !E, oraz !B i !H są następnymi równaniami. Wszystkie równania to (r51e)
53. STRUKTURA DOMENOWA. W normalnych warunkach spontaniczne jednorodne namagnesowanie występuje w małych obszarach próbki ferromagnetyka, nazywanych domenami. Kierunek namagnesowania w różnych domenach jest różny, w efekcie wypadkowe namagnesowaniepróbki jest równe zero. Dzieje się tak zgodnie z tendencją przyjmowania przez każdy układ fizycznu stanu, w którym całkowita energia potencjalna jest minimalna. W przypadku próbki polikrystalicznej domeny mają różny kształt i kierunki namagnesowania są rozłożone cahotycznie (rs 53a) Stuktura domenowa w kryształach jest regularna. W krysztale z magnesowaniem w kierunkach innych niż łatwe (wyróżnione kierunki łatwego magnesowania) związana jest dodatkowa energia zwana enegią anizotropową. Granica między domenami, nazywana scianą Blocha jest warstwą o grubości kilku setek stałych sieci, w kórej spiny kolejnych atomów obracają się (rs 53b). Gdy próbka znajduje się w zew. polu magnetycznym wtedy ściany między domenami przesuwają się tak, aby zwiększała się objętość domen namagnesowanych zgodnie z zewn. polem, kosztem objetości domen przeciwnie namagnesowanych.
54. PRZEGLĄD WŁASNOŚCI MATERIAŁOW FERROMAGNETYCZNYCH. Parametrami charakteryzującymi materiał ferromagnet. są wartość M[s] i natężenie pola koercji H[c]. Trzecią wielkością jest średnia różniczkowa podatność magnetyczna x(greckie)[r] - rozumiana jako stosunek przyrostu namagnesowania do przyrostu natężenia pola zewn. H. Ponieważ wartość M[s] dla różnych materiałów magnetycznych nie różnią się w spobób istotny, x(greckie)[r] jest w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalne do H[c]Wyróżniamy materiały magnetycznie miękkie , w których x(greckie)[r] winno mieć jak największe wartości, pożadane w rdzeniach transformatorowych i materiiały magnetycznie twarde, w których H[c] winno mieć możliwie duże wartości - pożadane w magnesach stałych. Materiały magnetycznie miękkie to materiały możliwie jednorodne, czyste, nez domieszek, wygrzane, itp. W przypadku materiałów twardych rzeczy mają się odwrotnie. Oddzielne grupy materiałów magnetycznych to ferryty i antferromagnetyki. Sczególne znaczenie techniczne mają te pierwsze, bowiem charakteryzują się dużym oporem elektrycznym. Dlatego nawet przy dużych częstotliwościach zmian pola mgnetycznego straty energii na prądy wirowe są małe. Dzięki temu nadają się do stosowania jako rdzenie magnetyczne w cewkach w zakresie częstotliwości radiowych fal średnich i długich.
55. EMISJA FALI PRZEZ PORUSZAJĄCY SIĘ ŁADUNEK. Źródłem zjawisk elektrycznych i magnetycznych są ładunki elektryczne. Te ostatnie, będą w spoczynku wytwarzają tylko pole elektrostatyczne, w ruchu jednostajnym wytwarzają dodatkowe pole magnetyczne. Otóż ładunek elektryczny poruszający się ruchem zmiennym wytwarza falę elektrostatyczną. (rs 55a). Jeżeli ładunek Q porusza się z przyspieszeniem !a, to fala elektromagnetyczna w dowolnym miejscu odległym o wektor !r od ładunku ma kierunek ruchu i zwrot wektorów !E i !H (jak na rys), a wartość natężenia pola elektrycznego fali : (r55a) Wartość pola w momencie czasu t jest określona przez sytuację ładunku w czasie wcześniejszym t'=t-r/c o czas r/c, jaki potrzebuje pole elektromagnetyczne, aby przebyć odległość od ładunku do tego miejsca.
56. EMISJA FALI ELEKTROMAGNETYCZNEJ PRZEZ DIPOL.
Fala elektromagnet. pochodząca od drgającego ładunku Q ( z amplitudą l) (rs 56a) jest taka sama jak dla ładunku Q drgającego z tą samą amplitudą względem nieruchomego ładunku. (np. przeciwnego znaku - rs 56b). Przypadek drgania obu ładunków przeciwnego znaku jest równoważny z przypadkiem (rs 56c) tj. drganiom w przeciwnym kierunku obu ładunków z amplitudami drgań dwa razy mniejszymi. Ładunek Q - drgający z amplitudą l jest równoważny drganiom dipola p[e]=Q*l. Taki charakter ma większość przypadków emisji światła przez atomy. Także anteny nadawcze fal elektromagnret. radiowych. Natężenie pola elektrycznego :(r56a) i natężenie fali (r56b). Całkując po całej pow. o promieniu r otrzymujemy moc emisji P przez drgający dipol: (r56c) Jeżeli obwód zasila źródło zmienne I[o]sin(omega*t) o częstotliwości dopasowanej tak z długością l jednego ramienia obwodu, że jest ono równe 1/4 dł. fali elektromagnet. o tej częstotliwości, to w obwodzie powstaje stojąca fala prądu o natężeniach w różnych miejscach obwodu. Prąd jest w takim obw. równoważny drganią dipola o wartości : p[e]=q[ef]*l/4 gdzie qe[ef]=2I[0]/omega. Taki obwód emituje fale opisane równaniami (56abc) - takimi jak dipol. Moc emitowanej fali : P=P*I[0]^2/(12*epsilon[0]*c) Jest to antena nadawcza zwana dipolem.
59. SPÓJNE I NIESPÓJNE ŹRÓDŁA ŚWIATŁA:
Światło emitowane jest przez pojedyńcze wzbudzone atomyprzechodzące do stanów podstawowych. Przejścia te są niezależne od siebie, więc światło emitowane przez różne atomy jest wzgl. siebie niespójne. Wzbudzone atomy sasiadujące ze sobą mają warunki synchronizacji emisji, ale skuteczność tej synchr. maleje wraz ze wzrostem odległości pomiędzy nimi. Spójne są źródła o rozmiarach porównywalnych, ale mniejszych od długości fali świetlnej (0,7-0,4m). Naturalne spójne źródła światła mają rozmiary ok. 0,2m. Na (rs 59a) przedstawiony jest schemat prostego doświadczenia interferencyjnego ze światłem. Szczelina S[0] o szerokości około 0,2 m, oświetlona silnym źródłem światła, jest spójnym źródłem światła. Dowolne szczeliny s[1] i s[2] oświetlone takim światłem są spójnymi źródłami wtórnymi i dopiero nałożenie się fal od takich źródeł światła prowadzi do interferencji. Z przedstawionych warunków wynika, że eksperymenty takie są trudne ze względu na małe natężenie światła. Rozważmy jak na (rs 59b) niespójne źródło światła o rozmiarach D, odległe o L od powierzchni oświetlanej. Jaki rozmiar rozmiar d oświetlonj powierzchni jest w przybliżeniu oświetlony spójnie? Rozważmy promienie wychodzące ze skrajów źródła o rozmiarach D i padające na skraje powierzchni oświetlanej o rozmiarach d. Niezależnie od rozmiarów D żródła i jego niespójności fala w pkt. A ma określoną fazę wynikającą z nałożenia się fal od całego żródła. W każdym momencie czasu faza w punktach sąsiadujących nie może być radykalnie inna, a różnica wynika z różnicy faz promieni dochądzących od źródła. W szczególności max różnica faz promieni mierzona w różnicy dróg fal między promieniami padającymi na ekran d w pkt. A i B jest równa: r = Dsin = Dr Jeżeli jest ona dużo mniejsza od to i różnica faz w pkt. A i B jest dużo mniejsza od 2, a więc cały obszar d jest w przybliżeniu oświetlony spójnie. Pon. d/L ostatecznie warunek na spójność ma postać:Dd << L.
58. ANTENY DIPOLOWE ELEKTRYCZNE I MAGNETYCZNE.
Jeżeli obwód jak na rys (rs 58a) zasila źródło zmienne I[0]sin(omega*t) o częstotliwości dopasowanej tak z długością l jednego ramienia obwodu, że jest ono równe 1/4 dł. fali elektromagnet. o tej częstotliwości, to w obwodzie powstaje stojąca fala prądu o natężeniach w różnych miejscach obwodu. Prąd jest w takim obw. równoważny drganią dipola o wartości : (r 58a) . Taki obwód emituje fale opisane równaniami (56abc) - takimi jak dipol. Moc emitowanej fali : P=P*I[0]^2/(12*epsilon[0]*c) Jest to antena nadawcza zwana dipolem. Typową odmianą jest stosowanie tylko jednego ramienia w postaci masztu antenowego, drugi przewód nadajnika łączy się z ziemią. Powierzchnia ziemi jest dla pola elektromagnet. pow. ekwipotencjalną , więc linie pola anteny układają się tak jakby pow. ziemi była zwierciadłem, pod którym jest odbicie anteny tworzącej pozorny obraz brakującej części dipola. W przypadku fal o długościach 1m-1cm antena dipolowa jest małym rozmiarów i wtedy umieszczona w ognisku zwierciadła parabolicznego może być w przybliżeniu traktowana jako źródło punktowe, a cały ukł. staje się źródłem o geomerii powierzchni kołowej.
60. INTERFERENCJA NA CIEŃKICH WARSTWACH:
a) (rs 60a) bieg jednego promienia rozciągłego niespójnego źródła S (metoda prążków równego nachylenia). Promień ten pada na płytkę i częściowo odbija się w postaci prom (1) a częściowo załamuje się i odbija od drugiej ściany płytki i wychodzi jako (2). Promienie te są spójne wzg. siebie (są z jednego i intefer., gdy są bardzo blisko siebie). Warstwa D musi być bardzo cieńka; różnica dróg: =n(AB+BC) - AD. W płytce fala biegnie z prędkością v=c/n, gdzie n jest współ. załamania światła, dlatego drogę geometryczną trzeba pomnożyć przez n. Otrzymujemy =2dncos. Fala padająca przy odbiciu od ośrodka gęstszego zmienia fazę o .
b) (rs 60b) to interferencja w cieńkim klinie (metoda prążków o równej grubości). Promienie (1,2) z punktowego żródła światła po odbiciu interferują jako promienie (1',2') ale tylko na powierzchni klina. Dla różnych grubości obserwujemy różne barwy interferen. (stąd nazwa).
62. ZJAWISKO DYFRAKCJI I INTERFERENCJA W PRZYRZ. OPTYCZNYCH:
Luneta - (rs 62a) - promienie zostają skupione w płaszczyżnie ogniskowej F w pkt. świetlnym który byłby obrazem pkt. S[1]. Soczewka obiektywu ma skończoną średnicę D więc promień ugina się tak jak na otworze o śr. D. Możemy powiedzieć że rozmycie kątowe obrazu P[1] pkt. S[1] jest równe przynajmniej =1,22/D (ugięcie zerowego rzędu) Jeżeli od innego żródła S[2] biegnie promień pod kątem to jego obrazem jest P[2] o rozmyciu kątowym odległa od obrazu P[1] o kąt . Jeżeli jest < to obrazy zleją się (nie można rozróżnić źródeł S[1] i S[2]). Lunetą można rozróżnić dwa źródła jeśli ich odlełość kątowa >=1,22/D. Jest to graniczna rozdzielczość kątowa lunety (i innych przyrządów optycznych). Przy zwiększaniu średnicy obiektywu D zwiększa się proporcjonalnie do D*D strumień światła wpadający do obiektywu a powierzchnia plamki będącej obrazem oglądanego punktu jest odwr. proporcjonalna do D*D stąd jasność plamki jest proporcjonalna do D*D*D*D. W przypadku mikroskopu ze wzgl. na potrzebę uzyskiwania większych powiększeń liniowych i zbierania jak najwięcej światła, odległośc pom. przedmiotem a obiektywem są prawie równe ogniskowej f (możliwie najmniejsza) a średnica ob. ogniskowej. Najmniejszy rozróżniany szczegół x odpowiada sytuacji gdy jego kąt widzenia jest = =x/f , =1,22/D więc: x=Falą nie można "oglądać' przeszkód o rozmiarach porównywalnych i < . Przedmiot oglądany pod mikroskopem składa się z wielu szczegółów, z których każde w jakimś stopniu przepuszcza światło (lub odbijają). Gdyby te drobiny były rozłożone równomiernie, to mamy swoistą siatkę dyfrakcyjną - należałoby tylko znaleźć stałą siatki i geometrię rozkładu. Przedmiot pokazany na (rs 62b) oglądany jest przez soczewkę O. We właściwym miejscu powstanie obraz rzecz. odwrócony (normalne dla mikroskopu. Wiązki interferencyjne "wychodzące" z przedmiotu (przedmiot to pewna "siatka dyfrakcyjna) skupiają się w płaszczyźnie ogniskowej soczewki-tworzą obraz interferencyjny, w którym zawarta jest informacja o przedmiocie - można określić jego kształt i rozmiary. Obraz ten (interferencyjny) jest tak samo użyteczny jak i geometryczny (odpowiednio: odwzorowanie Abbego pierwszego i drugiego rodzaju). (rs 62c)
63. PODWÓJNE ZAŁAMANIE ŚWIATŁA:
Promień świetlny padając na niektóre kryształy (np: szpat islandzki) rozdziela się na dwa promienie - promień zwyczajny (n[0]) i promień nadzwyczajny (n[e]). Załamują się one zgodnie z prawami optyki. W ogólnym przypadku n[e] nie leży w płaszczyźnie promienia padającego i nie jest zachwiana stałość stosunków sin kąta_padania do sin kąta_załamania. Zjawisko to nazywane podwójnym załamaniem występuje w kryształach których struktura krystaliczna jest różna od sześciennej. W kryształach unizatropowych sprężyste oddziaływania między elektronem i resztą atomu mogą być różne w kierunkach różnych osi krystalograficznych (jest to powód dwójłomności). Rozważamy najprostszy przypadek gdy w krysztale jest tylko jeden wyróżniony kierunek (oś optyczna kryszt.) w który siły spręż. są inne niż w pozostałych kierunkach. Jeżeli wektor pola magnetycznego fali jest prostopadła do płaszczyzny rys. ( prostopadłą do osi optycznej) to światło rozchodzi się w płaszczyźnie rys. z prędkością V[0] odpowiadającej współczynnikowi zał. światła n[0] a pow. czoła fali jest kulista (rs 63a) to jest to prom. zwyczajny n[0]. Jeżeli wektor pola elektrycznego drga w płaszczyźnie rys.(rs 63b) b) to promień poruszający się w kier. osi optycznej ma prędk. jak pr. zwyczajny ale promień por. się w kier. prostopadłym por. się z prędkością V[e] (ze współczynnikiem n[e]). Wypadkowa prędk. V=V[0]sin+V[e]cos. Powierzchnia równej fazy w płaszczyźnie rysunku ma kształt elipsy a czoło fali nie jest prostopadła do kier. rozchodzenia się fali (promien n[e]). Płaszczyzna polaryzacji n[0] jest płaszczyzna na której leży promień i oś optyczna a płaszczyzna polaryz. n[e] jest płaszczyzną do niej prostopadłą. W kryształach z układów trójskośnego jednoskośnego i rąbowego załamanie światła jest jescze bardziej złożone-występują w nich dwie osie optyczne i często nie są wzgl. siebie prostopadłę.
61. POMIAR DŁUGOŚCI FALI SIATKĄ InterferencYJNĄ. (lb - lambda) (rs 61a). Interferometr to siatka interferencyjna; dwie spójne płaskie fale, o długościa lb i lb + ddlb, padają na siatkę inter. W przypadku światła. interferencyjnie wzmocnione równolegle wiązki różnych rzędów rozchodzące się po różnymi kątami można zogniskować soczewką S: Obok prążka od fali o długości lb jest prążek od fali lb + ddlb. Położenie [n] maksimów jest określone wzorem dsin[n]= n*lb, n=0,1,2,.... Przyjmując że <<1, warunek określający położenie [n] maximów ma postać: [n](l)=nl/d j[n] (l+Dl)= (n/d)*(l+Dl) gdzie d - stała siatki inter. Mierząc więc odległość [n] między prążkami możemy określić różnicę długości fali. Najmniejsza różnica oreśla zależność:d/=1/nNj; (N - liczba rys na siatce, nN = 2*10^4 to typowa wartość). Atomy emitują skończone ciągi falowe, ich typowe długości są rzędu metra. Jeżeli różnica dróg jest większa od dł. siągu (paczki falowej emitowanej przez atom) to fale te rozminą się i nie będzie interferencji.
64. ANALIZA PRZEJŚCIA PROMIENIA SPOLARYZOWANEGO PRZEZ PŁYTKĘ DWÓJŁOMNĄ.
Oś optyczna leży w płaszczyźnie płytki i jest prostopadła do kierunku promienia. Oznaczmy przez alfa kąt między kierunkiem amplitudy a[1] fali padającej i osią optyczną, jak pokazano na rys (rs 64a), który może być równocześnie widokiem na płytkę od strony padającego promienia. W płytce będzie się poruszać z prędkością v[0] promień zwyczajny z amplitudą A[1o] = A[1]sin(alfa) i z prędkości v[e] promień nadzwyczajny o amplitudzie A[1e] =A[1]cos(alfa). Jeżeli płytka ma grubośc d, to na wyjściu z płytki powstanie różnica faz między drganiami w promieniu zwyczajnym i nadzwyczajnym : ddFI =2*PI*(d*(n[e]-n[o])/lambda), gdzie lambda jesst długością fali światła w próżni. Promień świetlny na wyjściu powstaje więc ze złożenia dwu składowych prostopadłych do siebie i przesuniętych w fazie. Wypadkowe więc drgania fali świetlnej są takie jak przy składaniu dwu drgań prostopadłych. Gdy ddFI=2*PI fala za płytką jest taka, jak padająca. Gdy ddFI=PI, fala za płytką ma kierunek polaryzacji prosotopadły do padającej. Gdy ddFI=PI/2, koniec wektora fali zatacza elipsy lub koła, gdy A[1o]=A[1e]. Jeden pełny obrót następuje w jednym okresie drgań. Taką polaryzację fali nazywamy kołową.
65. PRAWA PROMIENIOWANIA CIEPLNEGO (ni - v z wężykiem) Pochodzi od atomów, cząsteczek i całych struktur atomów w ciałach, jest emitowane kosztem ich energii promieniowania cieplnego. Stąd też jego intensywność zależy od temperatury ciała. Rozważmy odizolowaną grupę ciał nie stykających się ze sobą, znajdujących się w równowadze cieplnej w temp. T. Wymiana ciepła następuje poprzez emisję i pochłanianie promieniowania cieplnego. Prom. ciepln. wypełniające przestrzeń wokół ciała w równowadze ma też przypisaną temp. T i nazywane jest równoważnym promieniowaniem. W równowadze ilość energii emitowanej i absorbowanej jest ta sama. Warunek równowagi termodynamicznej (prawo Kirchoffa) e=a*I [ e - natężenie emisji (zdoloność emisyjna) a - współczynnik absorbcji I - natężenie padającego prom. ]. Promoieniowanie ciepl. składa się z prom. o ciągłym rozkładzie i częstotliwości ni Gęstość widmowa prom. ciepln. I[ni] i gęstość widmowa zdolności emisyjnej e[ni] określone : (r65a) , stąd e[ni]=a[ni]*I[ni] Wszystkie wielkości są funkcją temp. Ciało doskonale czarne to takie, dla którego a[ni]=1; tzn. zdolność emisyjna takiego ciała jest równa natężeniu promieniowania zrównoważonego w danej temperaturze. Zdolność emisyjna jest wprost proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury bezwzględnej ciała (prawo Stefcia Boltzmanna); I=*T^4 -stała Stefcia Boltzmanna. Emisja promieniowania to zasadniczy sposób utraty ciepła. Szybkość utraty ciepła przez promieniowanie: Q/T=a*S*(T^4-T[o]^4) S - pow. ciała T[0] - temp. otoczenia.
66. PROMIENIOWANIE ATOMÓW. (ni - v z wężykiem) Badania widma atomów swobodnych oraz cząsteczek dwu i więcej atomowych pokazały iż są one liniowe. Częstotliwości wszyskich lini serii widmowych wodoru określa wzór : 1/lambda=r/(c*h)*(1/k^2-1/l^2) , gdzie R/(c*h) - ST. RYDBERGA R=13,6 eV, k,l - liczby naturalne . Widma cząsteczek dwu i więcej atomowych mają strukturę pasmową. Promieniowanie o częstości ni występuje w porcjach (fotonach) o energi ni*h i pędzie h*ni/c. Natężenie fali elektromagnetycznej: I=N[1]*h*ni*c - gdzie N[1] jest gęstością fotonów o częstotliwości ni.. Atom ma ciąg stanów stacjonarnych w których nie emituje energii. W stanach tych moment pędu elektronu jest równy całkowitej wielokrotności stałe Plancka przez 2PI.. m*v[n]*r[n]=n*h (kreślne), n - główna liczba kwantowa. Energia atomu w n-tym stanie kwantowym (suma energii potencjalnej oddziaływania elektron - jądro i energii ruchu elektronu (r66a). Z*e - ładunek jądra. Wzór ten dotyczy atomu wodoropodobnego (z jednym elektronem). Korzystając z tego, że (r66b) mamy (r66c).
69. HIPOTEZA FALOWA de BROGLIE'a
Mechanika ciał nie jest adekwatna do opisu świata mikrocząsteczek. Wskazaniami do właściwego rozwiązania były pewne analogie. Z optyki geometrycznej wiemy, że promień świetlny pokonuje drogę między dwoma określonymi punktami po ściśle określonym torze, który spełnia prawo załamania światła. W poł. 18 wieku, kiedy to przeważał pogląd o korpuskularnej naturze światła, tor promienia świetlnego utożsamiany z torem cząsteczek świetlnych. Wtedy Fermat sformułował zasadę dotyczącą toru promienia świetlnego między dowolnymi punktami w dwu ośrodkach przez które przechodzi promień całka od 1 do 2 z n po ds=min; n-wsp. załamania. W obrazie falowym tory promieni są kierunkami rozchodzenia się fal, a powierzchnie prostopadłe do nich są pow. równej fazy. Ponieważ n=c/v lub n jest równy stosunkowi dł. fali w próżni do dł. fali w materiale, dlatego zasadę Fermata można też zapisać min=całka od 1 do 2 z 1/lambda z indeksem po ds=całka w tych samych granicach 1 po dt. Sto lat poźniej Maupertuls sformułował podobną zasadę wariacyjną w mechanice: całka (1-2) z p po ds= min(p-pęd ciała, ds-odcinek drogi). Wychodząc z równania fali świetlnej można (przy warunku optyki geometrycznej lambda dązy do zera) otrzymać równanie elikonału, które wyznacza tor promienia (elikonat-faza fali), np.dla fali płaskiej ma postać (kx-omega*t). Ruch pkt. materialnego można opisać równ. Hamiltona-Jacobiego, które to ma postać elikonału. Jednak zamiast elikonału występuje pewna funkcja S zwana działaniem w przypadku ruchu jednowymiarowego równanie Hamiltona-Jacobiego: (69a), gdzie s=(px -Et). Przeszkodą w wykryciu falowej natury światła była mała dł. fal świetlnych. W 1923 de Broglie sformułował hipotezę fal materii, Wg niej ruch cząsteczek jest opisany falą, której dł. lambda i częstotliwość (v z wężykiem) mają związek lambda=h/p; h-stała Plancka, p-pęd; v(z weżykiem)=E/h. Hipoteza ta nie znalazła początkowo uznania wśród fizyków. Dopiero za sprawą prac teoretycznych Schrodingera i Heissenberga, w których sformułowali (niezależnie od siebie) prawa mechaniki kwantowej, hipoteza stała się głośna i spozstrzeżono fakty, które ją potwierdzały.
70. FUNKCJA WŁASNA CZĄSTKI (niedokończone)
Równanie Schrodingera pozwala wyznaczyć funkcję falową danego stanu i w konsekwencji określić prawdopodobieństwo znalezienia się cząstki w poszczególnej części przestrzeni. W równaniu Schrodingera występuje jako parametr- całkowita energia cząstki. W przypadku cząstki swobodnej o energii E poruszającej się z pędem p w kierunku osi X funkcja opisująca cząstkę ma postać: PSI=A*exp[(i/h-kreślone)*(px-Et)] ,gdzie i-jednostkowa liczba urojona, A-amplituda. Wiedząc że, lambda=h/p można równanie powyższe zapisać PSI=A*exp[i(kx-omega*t)]; (k=2Pi/lambda -wektor falowy cząstki). Wiedząc że, e^iz=cos(z)-i*sin(z) można się w funkcji PSI dopatrywać podobieństwa z warunkiem fali, w ten sposób że: A-amplituda, a exp[(1/h)(px-Et)] jest sumą czynników fali postaci harmonicznej (rzeczywistego i urojonego). Funkcja Fi nazywa się funkcją własną i określa stan kwantowy cząstki. Znaczenie i rola funkcji własnej w mechanice kwantowej jest identyczna jak fali harmonicznej płaskiej w ruchu falowym. Sens fizyczny funkcji Fi: Otóż kwadrat modułu tej funkcji, tzn. ¦Fi¦^2=Fi*Fi sprzężona jest gęstością prawdopodobieństwa znajdowania się cząstki w danym miejscu tzn. ¦Fi¦^2dxdy jest prawd. przebywania cząstki w objętości. Z warunku, że cząstka gdzieś jest na pewno wynika warunek unormowania funkcji: całka potrójna od minus niesk. do plus niesk. z Fi*Fi sprzężone dxdydz=1. Jeżeli wiele identycznych cząstek opisuje jedna funkcja falowa, wtedy gęstość cząstek jest wprost proporcjonalna do Fi*Fi sprzężone, np. foton. Gęstość energii promieniowania jest wprost proporcjonalna do gęstośco fotonów. Tak więc,natężenie fali świetlnej wprost propor. do gęstości fotonów czyli do |PSI|^2. Promieniowanie można też opisać falą elektromagnetyczną. Wtedy natężenie promieniowania wyraża się przez kwadrat modułu fali. Czyli funkcja opisująca falę świetlną jest wprost proporcjonalna do funkcji własnej fotonu. (rs 70a). Szczelina S jest źródłem cząstek o określonej energii E i pędzie p emitowanych we wszystkich kierunkach. Funkcja własna cząstki przechodzącej od szczeliny S do 1 jest równa:PSI(S-1)=A*exp[(1/h)(pr[S1] -Et)]. Kwadrat modułu (PSI*PSI sprzężone) jest prawdopodobieństwem takiego przejścia. Możemy też określić amplitudę prawdopodobieństwa przejścia cząstki od S przez szczelinę 1 do P; PSI(S-> 1-> P)=PSI(S-> 1)*PSI(1-> P) z prawdopodobieństwa (r70a) A teraz druga własność. Niech będzie szczelina 2. Analogicznie można wyrazić amplitudę prawdopod. PSI(S-> 2-> P). Całkowita amplituda prawdopod. wynosi PSI(S-> P)= PSI(S-> 1-> P)+ PSI(S-> 2-> P), a prawdopodobieństwo (r70b). Jeżeli stan cząstki jest sumą kilku podstanów, to funkcja własna cząstki nie jest równa sumie prawdopod. cząstkowych, ale jest równe kwadratowi modułu sumy amplitud prawdopodobieństwa.
68. SPEKTOMETRIA PROMIENIOWANIA RENTGENOWSKIEGO.
Roentgen wykrył nowy rodzaj promieniowania. Badania promieniowane podjęte w celu ustalenia jego natury sugerowały charakter falowy. Rozstrzygnięcjei dzięki eksperymentowi: w kryształach ułożenie jest uporządkowane, to kryształ powinien nadawać się jako siatka interferencyjna dla promieni o tak krótkich długościach fal. (rs 68a) Skomplikowana wiązka W promieni rentgenowskich ze źródła S przechodziła przez monokryształ K. Na kliszy fotograficznej F uzyskano ślady padającego promieniowania w postaci dyskretnych plamek. Dowodziło to falowej natury promien. rentgenowskiego. Bragg zaproponował inny sposób. Polega on na interferencyjnym odbiciu od płaszczyzn krystalograficznych. (rs 68b). Wiązka padająca na powierzchnię krystału pood kątem alfa odbija się częściowo od pierwszej warstwy atomów. Wiązka odbita powstaje z nałożenia fal rozproszonych na atomach pierwszej warstwy. To samo występuje na drugiej warstwie i następnych. Różnica dróg promieni odbitych od dwu kolejnych warstw jest równa sumie odcinków AB i BC. Jeżeli odległość między warstwami jest d i kąt padania alfa oraz pominie się wsp. załamania promieni rentgenowskich w krysztale to różnica jest równa 2*d*cos(alfa). Warunkiem interferencyjnego wzmocnienia jest, aby : 2*d*cos(alfa)=n*lambda, n=0,1,2,... . Spektometr Bragga pozwala na analizę dla wszystkich możliwych kątów i płaszczyzn krystalograficznych. Compton (1922).(rs 68c). Zastosował siatkę interferencyjną odbijającą, z wyżłobionymi rowkami. Kąt padania fali jest bliski PI/2. Promienie rentgenowskie padające na siatkę pod kątem poślizgu FI są rozpraszane na rysach. Warunkiem interferencji jest, aby różnica dróg była równa całkowitej wielokrotności lambda.: n*lambda= d(cos(FI)-cos(TETA)).
71. ZASADA NIEOKREŚLONOŚCI HEISENBERGA.
Amplituda prawdopodobieństwa cząstki PSI o energii E i pędzie p poruszającej się prostoliniowo wzdłóż osi OX wyrażona jest wzorem PSI=A*exp[i(kx-omega*t)]. Ponieważ A jest wielkością stałą, to PSI*PSIsprzężone=A^2 w obszarze od -niesk. do +niesk. Położenie cząstki znajduje się w przedziale od -niesk. do +niesk. Można sobie wyobrazić, że funkcja falowa PSI opisująca realną cząstkę winna być zlokalizowana w przestrzeni podobnie jak możliwe położenie cząstki jest więcej lub mniej zlokalizowane. Na danym przykładzie cząstka porusza się w kierunku osi X z prędkością v. Funkcja falowa ma postać jak na rysunku (2) a to jest paczka falowa. Ostatni wykres przedstawia gęstość prawdopodobieństwa znajdowania się cząstki w danym miejscu. Sprawdzając koncepcję paczki falowej ze względu na prędkość mamy: V[faz]=omega/k=E/p. Jeżeli E=p^2/2m to V[faz]=V/2, gdy E=mc^2 to V[faz]=c^2/V. Prędkość grupowa paczki falowej wynosi V[gr]=domega/dk=dE/dp=v. Czyli rzeczywiście funkcje falowe realnych cząstek są paczkami falowymi. Uwzględniając związek pędu z wektorem falowym i częstotliwości z energią mamy ddx*ddp=>h, ddt*ddE=>h. Zależności te nazywane są zasadami nieoznaczności Heissenberga (1930). Dla trzech wymiarów mamy delta ddy*ddp[y]=>h, ddz*ddp[z]=>h. px,py,pz- składowe pędu. Im cząstka, a więc i funkcja własna lepiej zlokalizowana w przestrzeni tym składa się na nią szersze widmo pędów co oznacza,że pęd cząstki ma określoną nieoznaczoność. Także im czas trwania delta t cząstki jest krótszy tym większe jest rozmycie (nieoznaczoność) energii cząstki. Zasady nieoznaczoności są zakodowane w prawa przyrody i zjawiska w świecie mikrocząsteczek Ważniejsze przykłady działania zasad nieoznaczoności: a)związek między czasem życia tał atomu w stanie wzbudzonym i rozmyciem delta E wartości energii atomu w tym stanie tał*ddE równa się w przybliżeniu h. Takie samo rozmycie ma foton. Nieoznaczoność częstotliwości fotonu ddtał= ddE/h=1/tał. W stanie podstawowym atom może przebywać praktycznie dowolnie długo tzn. tał jest dowolnie duże, więc rozmycie energii poziomu podstawowego jest równe zero;
72. Równ. Schrodingera i jego rozw. dla uskoku potencjału.
Równanie Schrodingera odnosi sie do zakresu energii cząstki (kinetycznej i potencjalnej) dużo mniejszej od energii spoczynkowej cząstki. Znaczy to , że związek między energią kinet. i pędem ma postać E[k]=p^2/2m oraz jako całkowitą energię będziemy uważać sumę energii E[k] i potencjału cząstki. Energia spoczynkowa cząstki pozostaje stała, nie wnosi żadnej informacji o stanie cząstki i może być pominięta. W równaniu funkcji własnej można to zapisać (r72a) , gdzie i to jednostkowa liczba urojona, Jeżeli oddziaływania nie powstają (z powodu małych energii) i cząstki nie znikają, to mc^2 jest stałe i nie wnosi żadnych informacji do równania falowego. Wtedy równanie funkcji można uprościć PSI=A*exp[1/h(kreślone)*(px-Et)]. Równanie Schrodingera dotyczy właśnie takich uproszczonych funkcji falowych i dla jednego wymiaru: (r72b). W przypadku 3 wymiarów w miejsce d^2PSI /dx^2 wstawiamy cały laplasjan ∇^2*PSI. Rozw. tego równania przy zadanej funkcji U jest funkcja własna cząstki. Gdy funkcja falowa jest płaską falą (r72c) to (r72d) oraz (r72e). Równanie PSI= jak wyżej można sprowadzić do postaci [(p^2/2m)+U]*PSI=E*PSI. Funkcje falowe rzeczywiste są bardziej złożone, ale możemy funkcję własną cząstki wyrazić przez sumę fal harmonicznych. W sytuacji, gdy energia potencjalna cząstki (lub energia oddziaływania) nie jest funkcją czasu i oddziaływania są zachowawcze, to energia całkowita E cząstki jest stała i w funkcji własnej można wydzielić fragment zależny od czasu i energii; w fali płaskiej PSI(x,t)= A*exp[(i/h)px]*exp[(-i/h)Et] - h jesr kreślone; w bardziej złożonej funkcji PSI(x,t)= PSi(x)*exp[(-1/n)Et]. Fragment exp[(-1/n)Et] nie wnosi żadnej informacji do funkcji własnej. Tak więc funkcję falową można uprościć o ten czynnik i funkcja fazowa poruszającej się cząstki: PSI(x,t)=A*exp[(1/n)px]. Równanie Schrodingera jest w takim przypadku prostsze: (r72f). Równanie to nazywamy równ. Schrodingera bez czasu .
74. CZĄSTKA W STANIE ZWIĄZANYM. Podstawowe wyniki mech. kwan. odnośnie cząstki w stanie związanym tj. cząstki uwięzionej w dole energii potencj.j. Jeżeli mowa o cząstce w stanie związa. to mamy na myśli układ dwu cząstek przyciągających się, których całk. energia jest mniejsza od sytuacji, gdy cząstki są oddzielone od siebie. Zachowanie takiego ukł. opisuje się masą zredukow. poruszającą się w polu sił oddziaływ. między realnymi cząstkami. Centrum pola sił jest w środku masy cząstek realnych, a samo pole musi mieć kształt dołu energii potencj.. A więc każda cząstka będzie na ogół masą zreduk. Jeżeli ukł. jest jądro i elektron krążący wokół niego, to masą zreduk. jest elektron, a jądro jest w centrum siły. Jeżeli ukł. są dwa identyczne atomy przyciągające się i tworzące cząsteczkę, to masa zreduk. jest równa połowie masy jednego atomu i chwilowe położenia atomów są równe ± r/2; r-położenie masy zreduk. od centrum siły. Najprostszym przypadkiem do liczenia jest tzw. nieskończ. studnia potencjału. U=0 w 0<x<L oraz U dązy do nieskończ. dla x<0 i L>0. Cząstka nie może więc być w obszarach x<0 i x>L tzn. PSI=0. Natomiast w obszarze studni tzn. 0<x<L równ. Schrodingera ma postać (r74a). Rozwiąz. ogólne: (r74b). Ponieważ w miejscach x=0 x=L energia potenc. dąży do nieskoń., funkcja własna cząstki musi być równa zero. W tych miejscach nie ma zastosow. warunek ciągłości pierwszej pochodnej funkcji PSIi. Mamy A+B=0. Stąd PSI=2Ai*sin(kx). Rozw. równ. Schrodingera można szukać w postaci różnej od fal biegnących tzn. wyrazów typu exp(±ikx). Racjonalne jest rozwiąz. ogólne PSI=A*sin(kx)+B*cos(kx) (A,B-dowolne stałe). Z warunku PSI(x=0)=0 mamy szczególne rozwią B=0 i PSI=A*sin(kx). Gdy PSI(x=L)=0 otrzym., że wektor fazowy k nie może mieć dowolnych wartości, a tylko takie aby (r74c).(n-liczba kwantowa). Jest to charakteryst. warunek dla fali stojącej. Dozwolone stany kwantowe cząstki i jej funkcje własne są dyskretne (r74d) Z warunku unormowania (r74e) otrzymujemy A z ind. n=pierw(2/L). Energie cząstki w dozwolonych stanach są równe (r74f). W przypadku prostokątnej studni potencjałów interesuje nas także rozw. w postaci fal biegnących. Chodzi o sytuację: molekuły gazu w naczyniach o wymiarach L^3 lub elektronu przewodnictwa w metalu. Model nie skończonej studni potencjału jest bardzo bliski, ale trudno w tych przypadkach pogodzić się z modelem fali stojącej. Rozw. może wyglądać (r74g). Warunki brzegowe określa się tak, by rozwiązanie było w pełni okresowe. W fali biegnącej wszystko powtarza się w przestrzeni i odstępach lambda i dlatego w studni musi się mieścić całkowita wielokrotność długości fali tzn (r74h). W przestrzeni pędów ilośc dozwolonych stanów skwantowanych jest taka sama jak wyżej omawianych przypadków. Rozwiązanie dla fal biegnących w trzech wymiarach: Psi=Psi z ind. x*Psi z ind. y*Psi z ind. ,E=suma E z indeksami jak wyżej; p^2=h^2*k^2=suma p z indeksami jak wyżej. W przestrzeni pędów jeden stan kwantowy zajmuje objętość (dp)^3=h^3/L^2
73. EFEKT TUNELOWY. (d - różniczka z ...)
Gdy cząstka pada na uskok potencjału wyższy od ener. całkow. cząstki (rs 73a) to wg przewidywań mech. klasycz. cząstka odbije się, Wg mech. kwant. równ. Schrodingera (prawa strona) = (r73a) a rozw. ogólne: (r73b) Składowa e(qx) nie ma sensu fizycz,, bowiem funkcja PSIp rosłaby do nieskończ.i. Przyjmujemy więc jako rozwiąz.:(r73c) i (r73d). Z warunku ciągłości PSI oraz dPSI/dX w miejscu x=0 mamy 1+B=b, (r73e) Rozw. ukł. otrzym. (rys 73f), czyli cząstka na pewno odbija się, ale i wnika do obszaru 'zakazanego', w którym energia potencjalna jest większa od całkowitej. Fala odbita i padająca w obszarze L tworzy falę stojącą. Gdy cząstka nalatuje na barierę potencjału, to ponieważ energia E jest mniejsza od wysokości bariery, więc wg praw mech. klas. cząstka winna się odbić. Rozwiąz. są takie same jak dla przypadku wyżej omówionego. Prawdopod. znalezienia się cząstki w miejscu o współrzędnej x=a jest równe rys(73g). Ponieważ dalej energia cząstki jest większa od potencjalnej, cząstka może swobodnie poruszać się w prawo. Tak więc wg mech. kwant. cząstka może przenikać barierę energii potencj. większą od energii cząstki. Zjawisko to nazwane zostało efektem tunelowym. Prawdopod. przeniknięcia c^2 jest równe prawdopod. wniknięcia cząstki w barierę energii potencj. na głębokości a. W przybliżeniu c^2= w przybliżeniu exp(-2qa). Prąd prawdopod. cząstki padającej musi być równy sumie prądu prawd. przejścia i odbicia, a prędkość cząstki jest po obu stronach bariery taka sama. Dlatego B^2+C^2=1. Prawdop. przeniknięcia bariery potencjału przez cząstkę nazywane współczyn. przeźroczys. T bariery jest ważną wielkością. W ogólnym przypadku bariera ma dowolny kształt Wtedy możemy całą barierę podzielić na wąskie prostokąty. Zgodnie z zasadami rachunku prawdop. prawdopod. T przeniknięcia całej bariery jest równe iloczynowi prawdopod. przeniknięcia kolejnych prostokątów. W granicy mamy wzór na współczyn. przeźroczys.bariery potencjału (r73h)
76. Statystyczny opis równowagi termodynamicznej. (A% - x w górnym indeksie A, OM = OMEGA, [t]-indeks dolny) Jeżeli mamy N molekuł ,z których każda ma i stopni swobody i znajdują się one w stanie równow. termodyn. bo liczba mikrostanów całego układu o energiach mniejszych od U=epsilon * iN jest równa FI(U)=fi^(iN),U-energia wewn ukł. Liczba FI(U) jest b. duża, jeśli np.obraną osią jest skala energii układu to poziomy energi stanów kwantowych całego ukł. byłyby ułożone niesłychanie gęsto.Odległ. między tymi poziomami byłaby dużo mniejsza od nieokreśloności dU energii wewnętrznej układu. Za liczbę stanów kwantowych OM ukł. możemy wtedy przyjąć liczbę stanów kwantowych ukł. w przedziale naturalnego rozmycia energii ukł. dU: (r76a). Jeżeli W jest prawdopod. określonego stanu makroskop. ukł. to jest ono równe W=OM/OM[t], gdzie OM- odpowiadająca danemu stanowi liczba stanów kwantowych,a OM[t]-wszystkie możliwe stany kwantowe danego ukł. w określon. warun..Stan równow. termodyn. jest stanem dla którego W osiąga max. Jeżeli mamy dwa ukł.: ukł. A o energii U i ukł. A' o energii U' to ukł. razem wzięte tworzą układ A% o energii U%=U+U' odizolowany od zewnętrz. wpływów tzn U% i OM[t] są wielkościami stałymi. Prawdopod. że ukł. A ma energię U określa wzór (r76b). Stanowi równowagi termodyn. odpowiada max W:d(lnW)/dU=0. (dU=dU') Warunek stałej objętości wynika z faktu, że ukł. są tylko w kontakcie cieplnym a ich objętości są stałe.Wtedy OM jest tylko funkcją U.Pochodna (dln OM)/dU przy stałej objętości jest wielkością charakteryst. dla ukł. i w równowadze termodyn. ma tą samą wartość dla wszystkich podukładów kontaktujących się cieplnie.Czyli temperat. jest wielkością, której wartość pozostaje taka sama we wszystkich częściach układu czyli (r76c); k-stała Boltzmana..Ostatnie równ.wyraża zasadę ekwipartycji energii.
77. Rozkład kanoniczny Gibbsa. (OM=OMEGA,% - x w górnym indeksie, [j] - indeks dolny). Jeżeli mamy dwa układy:układ A o energii U i układ A' o energii U' i dodatkowo założymy że układ A' jest dużo większy od układu A. Prawdopod., że ukł. jest w stanie kwantowym j wynosi W(j). Oczywiście wtedy OM=1.Natomiast U'=U%-U[j] gdzie U[j] jest energią układu A w stanie kwantowym j.Ponieważ U[j]<<U% więc możemy napisać (r77a). ln OM'(U%) jest wielkością stałą więc ostatecznie mamy W(j)=C*e^(-U[j]/(kT)). Jest to tzw rozkład kanoniczny Gibbsa W(j) jest prawdopod., że ukł. w stanie równowagi termodyn. jest w stanie kwantowym j. C-stała; T-temp.otoczenia, z którym ukł. kontaktuje się cieplnie.Rozkład kanoniczny Gibbsa odnosi się do układu makroskopow. ponieważ zakładamy że stany kwantowe kontaktujących się ze sobą układówA i A' są statystycznie niezależne.Dodatkowo zakładamy że układ A' jest dużo większy od A.
78.Rozkład prawdopodobieństwa Boltzmana.
(dd - delta, ee - epsilon, [x] - indeks dolny) Zagadnienie w jakich warunkach rozkład kanoniczny Gibbsa można odnieść do pojedynczej cząstki, gdy prawdopod. że cząstka jest w wybranym stanie kwantowym j nie zależy od stanu kwantowego reszty ukł., a więc od stanu pozostałych cząstek w ukł. Tak jest gdy dozwolona liczba stanów kwantowych jakie ma do dyspozycji jedna cząstka w ukł. jest dużo większa od liczby cząstek.Liczba stanów kwantowych zależy od przedziałów pędów ddp[x],ddp[y] i ddp[z] cząstki wg wzoru (r78a) .Energia kinet. jest w przybliżeniu równa kT więc pęd cząstki jest równy (mkT)^(1/2), przedziały pędów ddp[x]=ddp[y]=ddp[z] są równe pędowi cząstki stad warunek aby liczba cząstek była dużo mniejsza od liczby stanów kwantowych jednej cząstki (r78b). Nierówność ta jest spełniona dla wszystkich prawie rodzajów substancji i ich stanów skupienia w warunkach ziemskich. Tak więc w przypadkach spełniających daną nierówność wzór na kanoniczny rozkład Gibbsa można stosować ponieważ suma prawdopod. W(j) po wszystkich dozwolonych stanach kwantowych musi być równa 1. Wzór ten możemy zapisać w postaci: (r78c) i (r78d) - suma stanów. Wzór ten nazywamy rozkładem prawdopod. Boltzmana. Jeżeli w układzie mamy N cząstek to średnia liczba cząstek w stanie kwantowym j jest równa: (r78e) kTlnN-kTlnz=MI jest potencjałem chemicznym cząstki.Ostatecznie n[j]=e^((MI-ee[j])/(kT)). Jest to tzw statystyka Boltzmana wzór na średnią liczbę cząstek w stanie kwantowym j. Interesujący jest rozkład prawdopodobieństwa energii cząstki. Na ogół dozwolonej energii ee[i] cząstki odpowiada kilka różnych stanów kwantowych -ich liczbę g[i] nazywa się wagą statyczną danego poziomu energii ee[i] ze wzoru na W(j) prawdopodobieństwo W(ee[i]) że cząstka ma energię ee[i] jest równe W(ee[i])=(1/z)e^(-ee[i]/(kT))g[i].Wzór ten jest ogólną postacią rozkładu prawd. energii Boltzmana.
79 .Statystyki kwantowe (Zakaz Pauliego). ([j] - indesk dolny, ee - epsilon)
Każdy ukł. fizyczny w stanie równowagi ma najniższą z możliwych energii.W atomie elektrony rozłożone są na różnych podpoziomach. Sprawę tę wyjaśnił Pauli. Sformułował on prawo (Zakaz Pauliego), które mówi, że w atomie nie może być więcej niż jeden elektron w jednym stanie kwantowym. Uogólniając to prawo otrzymamy tzw. statystyki kwantowe. Cząstki elementarne dzielimy na dwie grupy ze względu na wartość spinu. Cząstki ze spinem połówkowym s=1/2 (elektron,proton,neutron) nazywane są fermionami. Cechą charakter. tej grupy jest zasada, że w ukł, w jednym stanie kwantowym może być co najwyżej jedna cząstka danego rodzaj. Cząstki ze spinem całkowitym tworzą drugą grupę (foton=1,mezon s=0). Są nazywane bozonami. Mogą gromadzić się w jednym stanie kwantowym w dowolnej ilości i im więcej jest cząstek w jednym stanie tym większe jest prawdop. przejścia do tego stanu innych cząstek .Jeżeli liczba cząstek jest dużo mniejsza od liczby dozwolonych stanów kwantowych to i tak zajęcie pojedynczego stanu przez więcej niż jedną cząstkę jest mało prawdopodobne.Gdy liczba cząstek jest porównywalne z liczbą dozwolonych stanów kwantowych mówimy o gazie zdegenerowanym i trzeba wtedy uwzględnić specyficzne prawa jakimi rządzą się fermiony i bozony. Wzory na średnią liczbę n[j] cząstek w określonym stanie kwantowym j, czyli tzw statystyki kwantowe (otrzymujemy je określając entropię w podanym wyżej przypadku i uwzględniając warunek maksimum entropii w równowadze termodyn.): a) fermiony (statystyka Fermiego-Diraca) (r79a); b) bozony (statystyka Bosego-Einsteina) (r79b) ; ee[j]-energia cząstki j-tym stanie kwantowym; F,MI - potencjał chemiczny cząstek (F-energia Fermiego). Gdy (ee[j]-MI) lub (ee[j]-F) są dużo większe od kT jedynki w mianowniku można pominąć we wzorach i oba przechodzą w statystykę Boltzmana. mm musi być wielkością ujemną lub co najwyżej =0.Gdy MI=0 zmiana liczby cząstek nie zmienia wartości potencjału termodyn. Gibbsa, który w równowadze termodyn. jest we wszystkich częściach ukł. taki sam. Dlatego nie obowiązuje zasada zachowania liczby cząstek takiego rodzaju.Dla fermionów w temp zera bezwzględnego obsadzone są wszystkie stany kwantowe (n[j]=1) o energiach ee<F. Zajętych jest tyle stanów kwantowych najniższych ile jest cząstek w ukł. Dla ee[j]=F zawsze n[1]=1/2. Podział cząstek na fermiony i bozony dotyczy nie tylko cząstek elementarnych ale i złożonych, jak jąder atomów.
67. WIDMO PROMIENIOWANIA RENTGENOWSKIEGO
Źródłem promieniowania X jest najczęście lampa rentgenowska. Promieniowanie emitowane jest przez materiał katody bombardowanej strumieniem elektronów rozpędzonych wysokim napięciem. Widmo promieniowania X ma dwie składowe ciągłą i liniową. (rs 67a) Widmo ciagłe nie zależy od rodzaju antykatody. Wykreślone w funkcji długości fali monotonicznie rośnie od najdłuższych fal w kierunku fal krótszych, osiąga maksimum i zdecydowanie maleje osiągając wartość zero przy pewnej długości fali lambda[m], charakterystycznej dla danego widma. Wartość lambda[m] jest w związku z wartościa napięcia przyspieszającego U. Minimalnej długości fali odpowiada maksymalna wartość częstotl. v (z wężykiem). h*v(z wężykiem)=Ue. Składowa liniowa widma jest charakterystyczna dla danego materiału antykatody. Wyróżnia się w nim serie K,L a dla pierwiastków ciężkich M,N. Najważniejsza jest seria K (można w niej wyróżnić trzy linie alfa,beta,gamma).
75. STANY KWANTOWE ELEKTRONU W ATOMIE. Rozwiązanie równania Schrodingera dla atomu z jednym elektronem. Ukł. jest cząstką (masą zreduk.) w dole energii potencj. p kształcie (r75a), gdzie r-odległość elektronu od jądra. Rówm Schrodingera dla stabów stacjonarnych (r75b) m - masa zred. ukł., Pole,w którym porusza się elektron jest polem centralnym, posługujemy się sferycznym układem wsp.(r,,). Korzystamy z operatora Laplace'a dla wsp. sferycznych. Rozwiązaniem równania jest iloczynem dwóch funkcji 1. R(r) - zależnej od r i 2. Y(v z wężykiem, ) ; PSI=R*Y.
80.PRZEKRÓJ CZYNNY I ŚREDNIA DROGA SWOBODNA ODDZIAŁYWANIA. (RYS 80a) Takie są możliwe tory cząstek , które przelatują obok innej cząstki. Tor cząstki przelatującej na skutek sił odpychania ulega odchyleniu. Jest to typowe zderzenie cząstek. Możemy mówić o pewnej powierzchni trafienia w "tarczę",czemu odpowiada zderzenie. Wielkość jest nazywana przekrojem czynnym na zadany proces(w tym przypadku zderzenie). (RYS 80b) Jeżeli cząstka przejdzie przez obszar o grubości dx ,w którym są cząstki tarcze z gęstością Ni ,to prawdopodobieństwo trafienia czyli zaistnienia oddziaływania wynosi (r80a).
82. Dyfuzja w gazach. ([f] - indeks dolny, ll - lambda)
Analizując gaz ,w którym jest ustalona temprat. i ciśnienie całej objęt, ale pewna ilość molekuł jest innego rodzaju, i są one niejednorodnie rozłożone w obj. gazu to w wyniku ruchu cieplnego rozłożenie wyróżnionych molekuł w miarę upływu czasu będzie zmierzać do jednorodnego rozkładu. Czyli jeżeli w wybranym kierunku gęstość tych molekuł zmieni się, to tylko na skutek ruchu cieplnego powstaje wypadkowy prąd molekuł od obszaru o większej gęstości do obszarów o mniejszej gęstości. Proces ten nosi nazwę dyfuzji. Aby ustalić gęstość prądu dyfuzji i[x] w wybranym kierunku x musimy ocenić ilość interesujących molekuł przelatujących w kierunku osi x przez powierzchnię prostopadłą w miejscu o współrzędnej x. Zakładając, że w każdym miejscu średnio 1/3 molekuł porusza się w kierunku osi ox i analogicznie wzdłuż oy i oz a z tego połowa ma jeden zwrot a połowa przeciwny to z prawa na lewo w jednostce czasu i przez jednostkę powierzchni przelatuje molekuł, gdzie v - pręd. ruchu ciepln.molekuł, N(v+ll) - gęstość molekuł w miejscu o współrzędnej (x+ll). Stała dyfuzji D jest równa D=1/3vll Wzór na gęstość prądu dyfuzji w wybranym kierunku ma postać (r82b)
83. Przewodnictwo cieplne. (dd - delta, [j] - indeks)
Obok dyfuzji ważnym przypadkiem zjawisk transportu jest przewodnictwo cieplne. Jeżeli w wybranym kierunku zmienia się energia ruchu cieplnego molekuł (a więc i temp) to średnio w kierunku przeciwnym wędrują cząstki z większymi energiami w stosunku do cząstek wędrujących w wybranym kierunku- następuje więc przepływ energii ruchu cieplnego od obszarów gdzie energia ta jest wyższa do obszarów o niższej energii. Jest to właśnie zjawisko przewodnictwa cieplnego. Wtedy ddG=ddQ oraz G[1]=qqcT (qq-gęstość gazu, c-ciepło właściwe, T-temp). Gęstość prądu ciepła jest równa i[x]=(ddQ/(dds*ddt))[x] = -Dd(qcT)/dx = -/LdT/dx /L = Dqc-wsp.przewodn.cieplnego gazu D-stała dyfuzji.
84. LepkoŚć gazu. (dd - delta,[x] - indeks)
Jednym z przypadków zjawisk transportu jest lepkość gazów.(rs 84a). Zjawisko lepkości można wytłumaczyć na podstawie powyższego rysunku. Niech płytka o powierz. ddS ustawiona prostopadle do płaszczyzny rysunku porusza się z prędkością u[0] w kierunku x. Wtedy na skutek lepkości pociąga za sobą przylegające do niej warstewki gazu a te z kolei następne warstewki. Prędkość u pociągania kolejnych warstewek maleje w miarę oddalania się od płytki .Z prędkością wiąże się pęd. Ponieważ istnieje gradient w kierunku y tego pędu to występuje transport w kierunku przeciwnym. Objawia się to w postaci siły tarcia między kolejnymi warstwami. Otrzymamy: (r-wsp.lepkości gazu,D-stała dyfuzji.Siła tarcia między warstwami F[t]=nn(du/dy)ddS.Jest to tzw wzór Newtona na siłę tarcia w ośrodku lepkim.
85.PRĘDKOŚĆ DRYFU.
Jeżeli na cząsteczki poruszające się chaotycznie działa siła w określonym kierunku, to zaczynają się one przemieszczać w tym kierunku. Ruch taki nazywamy dryftem, a jego prędkość prędkością dryftu. Średnia prędkość dryftu nie rośnie w czasie ponieważ w zderzeniach z innymi cząstkami tracony jest pęd dryftu. Najczęściej spotykanym przypadkiem jest taki, gdy prędkość ruchu cieplnego jest dużo większa od prędkości dryftu. Wtedy średni czas między zderzeniami wynosi =/v . Pęd dryftu mu tracony w każdym zderzeniu jest rekompensowany popędem siły F, . Otrzymuje się u=(/m)*F=F , - współczyn. ruchliwości cząst. =/m=/(mv). Jeśli dryftującą cząstką jest ładunek q w polu o natężeniu E ,to u=eE ,a współczynnik ruchliwości jest równy e=q . Jeżeli dryft cząsteczki możemy przybliżyć modelem kulki o promieniu r ,poruszającym się w ośrodku o współczynniku lepkości ,to można skorzystać ze wzoru Stokesa na siłę oporu takiej kulki poruszającej się z prędkością u . F=6ru ,wtedy =1/(6r.)
87, 88. Ruch cieplny i FLUKtacje cieplne.
(aa - alfa, V - częstot. (v), _ - kreska na całością, oo - omega mała, nn - teta) W 1827 biolog Brown wykrył pod mikroskopem ruchy mikroskopijnych obiektów zawieszonych w wodzie, które przypominały ruchy mikroskopijnych organizmów żywych. Były to po prostu ruchy cieplne mikropyłku. Prawa tego ruchu są identyczne jak pojedynczej molekuły gazowej. Pyłek taki bombardowany z różnych stron molekułami gazu wykonuje chaotyczne przesunięcia podobnie jak pojedyncza molekuła. Jego średnia energia ruchu wynosi 3/2kT, a średni kwadrat przesunięcia (r87a). Wzór ten poprawnie opisuje wyniki obserwacji ruchów Browna. Ruchy B. są jednym z przykładów tzw fluktuacji cieplnych zwanych też szumami cieplnymi. Ograniczają one w sposób naturalny czułość przyrządów pomiarowych. Każdy przyrząd mechaniczny charakteryzuje się stałą sprężystości układu aa. Ponieważ zmniejszanie sprężystości aa ukł. ma swoje granice z uwagi na górny zakres przyrządu i jego bezwładność czasową, czułość możemy zwiększać przez obniżanie temperatury. W praktyce problem szumów cieplnych występuje w miernikach elektronicz., w których tylko szumy cieplne ograniczają czułość przyrządów. Ich źródłem są drgania cieplne jonów w sieci krystal. i ruchy cieplne elektronów przewodnictwa w przewodach elektrycz., oporach i innych elementach obwodów elektrycznych. Powoduje to powstawanie "szumowych" krótkotrwałych impulsów napięcia w kształcie "szpilek". Napięcie szumów można uważać za zbiór przebiegów harmon. o wszystkich częstotliw. od oscylatorów elektrycz. drgających cieplnie. Ponieważ energia drgań cieplnych jest kT, taka sama energia jest przekazywana w jednostce czasu, a jeżeli układ elektryczny przenosi pasmo częstotliw. dV to tyle jest oscylatorów. Moc szumów cieplnych P[sz] jest równa P[sz]=kTdV. Występuje także ruch cieplny rotacyjny. Molekuły wykonują chaotyczne obroty. Zależność na średnią wartość sinusa wypadkowego kąta obrotu FI w czasie t (r87b), D[rot] - wsp.dyfuzji w ruchu obrotowym. Gdy czas jest duży wtedy sin^2(y)_=2/3. Dla 6D[rot]ddt<<1 sin^2y_<<1 i (r87c). Jeżeli molekuła jest dipolem elektrycz., to zewn. pole el. wymusza orientację dipoli w kierunku pola, a to wiąże się z polaryzacją P ośrodka. Polaryzacja P jest wprost proporcjonalna do zgodnej orientacji wszystkich dipoli. Gdy polaryzacja wynosiła P, a w czasie ddt następuje średnio obrót dipoli o kąt ddFI to nowa wartość polaryzacji jest mniejsza, równa Pcos(ddFI).(r87d) (tt - tał) -czas relaksacji dipolowej a całe zjawisko zwane jest relaksacją dipolową. Według wzoru Stokesa moment siły oporu M[op] kulki o promieniu r obracającej się z prędkością kątową oo w ośrodku o wsp.lepkości nn-teta jest równy M[op]=8PI*nn*r^3*oo; D[rot]=kT/(8PInnr^3); tt=8PInnr^3/(2kT). (tt - tał)
91. Napięcie kontaktowe
W przypadku kontaktu elektrycznego dwu różnych metali cały ukł. z punktu widzenia elektronów przewodni. jest jednym ukł. kwantowym, w szczegól. przez powierz. kontaktu przemieszczają się elektrony w obie strony. Z metalu w kttórym gęstość elektronów jest większa, więcej elktronów może się przemieszczać do drugiego metalu z dwóch powodów: jest ich więcej, oraz średnie prędkości są też większe, bo większa jest wartość poziomu Fermiego. Nierównowaga ładunku jest przyczyną wytwarzania się pola elektryczengo, które przeciwdziała temu ruchowi. Przy samej powierz. kontaktu występuje dynamiczny rozdział ładunków elektryczn. polegający na tym, że średnio przy powierz. kontaktu po stronie metalu o większej wartości F jest za mało elektronów w stosunku do równowagi elektrycznej, a po drugiej stronie powierzchni kontaktu jest odwrotnie. Powstaje więc podwójna warstwa ładunku wytwarzająca różnicę potencjałów między obu metalami. Energia potencj. elektronów w jednym metalu jest większa aniżeli w drugim. Różnica ta jest taka aby wyrównały się pozimy energi Fermiego. Między powierzchn. swobodnymi kontaktujących się metali powstaje napięcie U[v] zwane zewnętrzym napięciem kontaktowym lub napięciem Volty. Napięcie to trzeba uwzględnić przy określaniu napięć między elektronami różnego rodzaju lamp elektronicznych, sond itd. Elektrony wewnątrz metali poddawane są innej różnicy potencjałów, a mianowicie tzw. wewnętrznemu napięciu kontaktowemu U[g] zwanemu napięciem Galwaniego. Napięcie Volty i Galwaniego między dwoma różnymi matalami są równe: U[v]=(w[1]-w[2])/e, U[g]=(F[2]-F[1])/e. Napięcia te zależą od temperatury. Jeżeli dwa metale tworzą obwód zamknięty, a miejsca kontaktów znajdują się w różnych temperaturach T[1] i T[2] to powstaje napięcie wewn. w obwodzie zwane siłą termoelektryczną. E[Th]=U[G](T[1])-U[G](T[2]). Pod wpływem tej siły płynie w obwodzie prąd.
94. Najważniejsze struktury krystalograficzne. Struktura krystalograficzna i własności elektryczne Ge i Si. Krzem i german to podstawowe materiały półprzewodnikowe(IV grupa okresowa). Ich typowymi własnościami są: a).Energia jonizacjidomieszki donorowej, wartości tej energii są porównywalne lub mniejsze od energii cieplnej kT, wynika z tego że praktycznie wszystkie atomy domieszki donorowej są zjonizowane. b).Energia wychwytu domieszki akceptorowej - energia ta także jest porównywalna lub mniejsza od energii cieplnej, dla której elektrony z pasma walencyjnego są przechwytywane na poziom Ea. c).Przewodność elektryczna. d).Czas życia - ważny parametr charakteryzujący nośniki mniejszościowe. Typowe czasy życia elektronów i dziur w Ge i Si zawierają się w granicach od 50 do 1000 (mikrosekund)
89. PRZEWODNICTWO ELEKTRYCZNE METALI. Według klasycznej teorii przewodność właściwą elektryczną można wyrazić wzorem (r89a), gdzie lambda, v średnie, tał są średnią drogą swobodną, średnia prędkością chaotyczną i czasem relaksacji elektronów. Próby wyznaczania v średniego (z kreską u góry) z porównania energii ruchu cahotycznego mv^2/2 z energią cieplną prowadziły na manowce. mv(średnie) jest w przybliżeniu równe pędowi p[F] elektronów o energiach bliskich energi Fermiego. Jest to wielkość prawie niezależna od temperatury. Ponieważ gęstość elektronów N[1] można wyrazić wg wzoru (r89b) to przewodność elektryczną opisuje wzór : (r89c). Tutaj przez S[F] oznaczono powierzchnię kuli, w przestrzeni pędów, odpowiadającą energii Fermiego, zwaną krótko powierzchnia Fermiego. Powierzchnie Fermiego maja kształt kuli tylko w modelu elektronu swobodnego i w krysztale o strukturze kubicznej
95. Sieć odwrotna, strefy Brillouina. Zwróćmy uwagę, że wszystkie nasze rozważania dotyczyły układu jednowymiarowego. Tymczasem w krysztale nawet naprostszym o strukturze kubicznej odległość między sąsiednimi warstami atomów jest różna w różnych kierunkach. Na przykład w kierunku głównych krawędzi komórki wynosi a, to w kierunku przekątnych ścian komórki a/sqrt(2) a w kierunku głównej przekątnej komórki a/sqrt(3). Dlatego w przestrzeni wektorów falowych wartości ewktorów, przy których następuje skok energii, tworzą zamkniętą powierzchnię w kształcie, który jest odbiciem struktury krystalograficznej. Obszary wektorów falowych zamknięte takimi powierzchniami naztwane są strefami Brilliowina. Odpowiadają one dozwolonym pasmom energii. Również inne szczegóły rozwiązania ruchu elektronu w polu okresowym w krysztale są różne w różnych kierunkach krystalograficznych. W szczególności dotyczy to przerwy elektrycznej ddE i masy efektywnej. Dlatego o ile w przypadku elektronu swobodnego stany o tej samej energii kinetycznej tworzą w przestrzeni pędów, a więc i wektorów falowych powierzchnię kulistą, to w krysztale powierzchnie te szczególnie dla większych wartości p lub k mają ksztaty bardzo różne. (rs 95a) Na rys. pokazany jest w hipotetycznym dwuwymiarowym, kwadratowym krysztale kształt pierwszej i drugiej sfery Brillouina- linie ciągłe oraz kształt powierzchni (w tym przypadku linii) stałej energii w pierwszej strefie - linie przerywane.
86.Równania Ficka.
Pełny ilościowy opis dyfuzji jest ujęty w dwu równaniach Ficka.Pierwsze równanie to (r86a). (rs 86a). Aby poznać drugie równanie musimy poznać równanie ciągłości prądu.Jeżeli mamy do czynienia ze zmianą w przestrzeni prądu to gęstość przestrzenna tej wielkości zmienia się w czasie. Jeżeli wprowadzimy ten związek w odniesieniu do prądu cząstek to otrzymamy (r86b). Równ. to jest równ. ciągłości prądu. Zapisując rownanie ciągłości prądu dla dyfuzji otrzymamy drugie równanie Ficka: (r86c) w jednym wymiarze.W postaci pełnej będzie ono określone wzorem (r86d), gdzie (r86e). Drugie równanie Ficka określa bezpośredni związek między zmianami gęstości dyfundujących cząstek w przestrzeni i w czasie.
96. DRGANIA KRYSZTAŁÓW
W przypadku układu drgań sprzężonych drgania pojedyńczych wahadeł są złożone. Złożoność owa polega na tym, że nie są to drgania z jedną częstotliwością i nie ze stałą amplitudą w czasie.Drgania poszczególnych wahadeł opisują równania:(r96a) i (r96b). Można jednak wyróżnić tzw. drgania normalne układu:(r96c). Charakteryz. się określonymi częstotliw. (r96d). Liczba drgań normalnych jest równa liczbie sprzężonych oscylatorów. Drgania normalne są niezależnymi sposobami drgań układu. Dowolne drganie układu jest superpozycją drgań normalnych. W określonych warunkach układ może drgać tylko według jednego drgania normalnego np. `'m - fi'' - A[II]<>0 to m[1]=m[2]+(1/2)*m[I] lub A[I]=0 m[1]=-m[2]=(1/2)*m[II]. Kryształ jest przykładem wieloelementowego ukł. drgań sprzężonych. Modelem jedonwymiarowym. Może być łańcuch kulek (atomów) połączonych sprężynkami. W krysztale każdy atom ma trzy niezależne sposoby dragń dlatego liczba normalnych drgań jest równa potrojonej liczbie atomów, w krysztale.Nie trudno zauważyć, że drania są sprężystymi falami stojącymi w krysztale.
97. ROZWIĄZANIE KWANTOWE DLA ELEKTRONU W POLU PERIODYCZNYM. Zachow. elektronów w krysztale może opisać model cząstki w studni potencjału, ale dno studni potencjału zmienia się periodycznie w odstępach stałej sieci a. Energia potencjalna zmienia się a więc funkcja falowa elektronu i sam elektron częściowo odbija się na każdym uskoku. Fale odbite interferują gdy długość fali elektronu odpowiada okresowi zaburzenia, czyli stałej sieci a, to interferujące fale maksymalnie się wzmacniają i w efekcie funkcja własna i sam elektron odbijają się tzn. elektron z takim pędem nie może się przemieszczać, a fala, która go opisuje jest falą stojącą. Jest to odbicie Bragga. Dzieje się tak gdy wartość wektora falowego funkcji własnej jest równa k=2*Pi/L i kolejnym wielokrotnościom. W każdym przypadku ogólna postać funkcji własnej elektronu w jednym wymiarze ma postać tzw. funkcji Blocha: H=U[k](x)*exp(i*k*x), gdzie Uk(x)- okresowa funkcja x z okresem s i zależnym od k. Funkcja nie opisuje elektronu w pełni swobodnego, bo w takim przypadku amplituda Uk powinna być stała w funkcji położenia.Rozw. jest struktura pasmowa widma energii. ddE=E[c]-E[v] - pasmo energi wzbronionych, występuje przy kolejnych wielokrotnościach wartości Pi/s wektora falowego. (rs 97a) Jeżeli dolne pasmo jest pasmem walencyjnym to E[v] energią górnej krawędzi tego pasma, a E[c] energią dna pasma przewodnictwa, wtedy ddE jest przerwą energetyczną między tymi pasmami. Dla cząstki swobodnej E jest jej energią kinetyczną. Natomiast w przypadku periodycznie zmieniającego się potencjału, E jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej (udział w tej sumie każdego rodzaju energii różny dla różnych pędów). Prędkość poruszania się elektronów w dowolnym paśmie wynosi v=dE/dp, przyspieszenie (r97a) , przekształcając a= (e*E)/m[ef] , gdzie m[ef] - masa efektywna elektronu.
98. MASA EFEKTYWNA Masa efektywna elektronu wynosi (r98a) Zależność energii od wektora k dla elektronu w krysztale jest odmienna od elektronu swobodnego, dlatego też elektron w krysztale zachowuje się tak jakby miał inną masę. Różnicę między masą elektronu i masą efekt. można zauważyć już w przypadku elektronów przewodnictwa w metalach.(r98a) Masa efektywna elektronów w stanach powyżej A jest ujemna. Można to wytłumaczyć tym że, jeśli elektron ze stanu w punkcie G zostanie rozpędzony, poprzez zwiększenie jego pędu, do stanu H to przyrost efektu odbicia jest wiekszy od przyrostu prędkości, dlatego w stosunku do stanu G elektron w stanie H porusza się wolniej. Wtedy elektron zachowuje się jako cząstka z ładunkiem dodatnim. Efektem końcowym jest to że elektrony z górnej częsci pasma walencyjnego (jeśli mają swobodę ruchu) zachowują się jak cząstki dodatnie.
99. DZIURY Przy tym samym kierunku prądów znak napięcia zależny jest od tego czy prąd transportują dziury czy elektrony. Dziura jest kolektywnym efektem elektronów w krysztale. Puste bąbelki pędów w przestrzeni to dziury. Dziura jest jednym z podstawowych pojęć z teorii ciała stałego. Jest to nieobsadzony stan kwantowy elektronu który powstaje w wyniku przejścia elektronu z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa. Dziury w paśmie walencyjnym, podobnie jak elektrony w paśmie przewodnictwa biorą udział w przewodzeniu prądu elektrycznego z tą różnicą że zachowują się jak cząstki o ładunku elementarnym dodatnim.
100. GĘSTOŚCI NOŚNIKÓW W PÓŁPRZEWODNIKIACH DOMIESZKOWYCH.
Obecność nośników prądu elektrycznego elektronów w paśmie przewodnictwa i dziur w paśmie walencyjnym nie jest stanem równowagi statycznej, lecz dynamicznej. Znaczy to, że elektrony i dziury są stale generowane cieplnie, a równocześnie elektrony z pasma przewodnictwa wracają do wolnych miejsc w paśmie walencyjnym, co nazywamy rekombinacją elektronów i dziur. Szybkość generacji g (w jednostce objetości) jest na pewno wykładnicza funkcja temperatury i wielkości przerwy energetycznej, ale nie zależy od liczby aktualnie istniejących elektronów i dziur. Natomiast rekombinacja jest uwarunkowana obecnością i elektronów i dziur, dlatego z pewnością możemy przyjąć, że szybkość rekombinacji jest wprost proporcjonalna do iloczynu n*p. Oznaczając współczynnik proporcjonalności przez r możemy warunek równowagi dynamicznej zapisać: g=r*n*p. Widać, że w stałej temperaturze iloczyn n*p jest wielkością stałą dla określonego półprzewodnika. Gęstości nośników prądu w materiałach typu n i p mają więc wartości: a) w materiale typu n : n[n]=N[d], p[n]=n[i]^2/N[d], b) w materiale typu p : p[p] = N[a], n[p]=n[i]^2/N[a].
101. Przewodnictwo elektryczne półprzewodników.
Przewodnictwo elektryczne półprzewodnika jest sumą przewodnictwa elektronów i dziur. Można je wyrazić wzorem. sigma[i]=e*n[i]*(mi[e]+mi[d]). w którym mi[e] i mi[d] są ruchliwościami elektrycznymi elektronów i dziur. Widać ze wzoru, że zależność przewodnictwa od temperatury jest wykładnicza, podobnie jak gęstość nośników n[i]. Przewodnictwo sigma[i] i gęstość elektronów i dziur n[i] w czystym półprzewodniku nazwyamy samoistnymi a sam półprzewodnik samoistnym.
102. ZŁĄCZE P-N.
Jeżeli doprowadzimy do kontaktu elektrycznego półprzewodników typu p i n, mamy do czynienia ze złączem p-n. Na granicy tych dwóch półprzewodników powstaje wewnętrzne nap. kontaktowe. Na skutek ruchu cieplnego w pobliżu kontaktu, elektrony z półprzewodnika typu n dyfundują do półprzewodnika p, i rekombinują z dziurami.I odwrotnie, dziury z typu p dyfundują i rekombinują z elektronami z n.Dlatego przy powierzchni kontaktu po obu stronach obszar w którym nie ma nośników prądu, aby więc prąd płynął, nośniki muszą być doprowadzone z materiału n i p. W warstwie kontaktu po stronie n jest skompensowany ładunek dodatnich jonów donorowych obniżający energię elektronów w n, a po stronie p nieskompensowany ładunek jonów ujemnych akceptorów podwyższający energię elektronów w p lub inaczej mówiąc obniżający energię dziur w p.Każda z dziur która z materiału n dotrze w pobliże złącza jest zdecydowanie przez silne pole elektryczne przemieszczana do materuału p, złącze może więc przewodzić prąd. Elektrony z materiału n są odpychane od warstwy z powrotem do n. Natomiast z materiału p każdy elektron który dotrze do złącza jest jest przemieszczany do materiału n. (rs 102). Dziury które są generowane w n na głębokości do Lp od brzegu warstwy kontaktowej docierają do niej i przechodzą przez nią.Podobnie ma się rzecz z elektronami w materiale p.Mamy więc do czynienia z pewnym prądem skierowanym z n do p nazywanym prądem dryfu którego gęstość wynosi i[o]=e*(G[p]*L[p]+G[n]*L[n]) = e*((D[p]*p[n])/Lp + (D[n]*n[p])/Ln). Prąd dryfu jest równoważony przeciwnie skierowanym prądem dyfuzji równoważącym różnicę gęstości dziur i elektronów po obu stronach złącza. Gdy przyłożymy napięcie tak że dodaje się do napięcia złącza to prąd dyfuzji maleje a dryfu pozostaje bez zmian. Wzrost napięcia powoduje praktycznie zanik prądu dyfuzji i przez złącze płynie mały prąd dryfu Io. Jest to zaporowo spolaryzowane złącze. Odwrotnie przyłożone napięcie zewnętrzne ułatwia przepływ prądu dyfuzyjnego.Ponieważ Nn pozostaje bez zmian, rośnie gęstość mniejszościowych elektronów w p przy samej teriału n. Podobnie jest z dziurami w n. Jest to stan spolaryzowania złącza w kierunku przewodzenia. Złącze jest wówczas diodą półprzewodn. której charakterys. napięciowo-prądową opisuje wzór: I=I[o]*(exp((eV)/(kt)) - 1) przy czym V>0 gdy polaryzacja w kierunku przewodzenia.
107. MODEL KROPLOWY I POWŁOKOWY
W kropli cieczy z uwagi na bliski zasięg sił Van der Waalsa przyciągania między molekułami gęstość kropli jest stała-niezależna od rozmiarów kropli oraz energia wiązania przypadająca na jedną molekułę jest też stała. Te cechy występują w jądrze. W oparciu o model kroplowy jądra, uwzględniający dodatkowe specyficzne własności jądra sformułowano zależność Ew/A od A. Najpierw przyjmujemy, że E[w]/A jest równa stałej a[1]. Następnie będziemy wprowadzać poprawki. Najpierw odejmujemy energię napięcia powierzchniowego a[2]*A^(-1/3), później odejmujemy energię odpychania elektrycznego protonów (a[3]*z^2)/A^(4/3). Kolejna poprawka polega na tym, że energia wiązania jest największa, gdy liczba protonów jest równa liczbie neutronów, w przeciwnym wypadku energia jest mniejsza. Więc musimy odjąć a[4]*((N-Z)/A)^2. Ostatnia poprawka uwzględnia prawidłowość, która przedstawia liczby stabilnych jąder w zależności od parzystych i nieparzystych wartości Z i N. Poprawka ma formę a[5]*/A, gdzie =+1 gdy nieparz.,nieparz.; =0 gdy nieprzys., parzyste; =-1 gdy parzyste, parzyste. Wartości stałych a[1]..a[5] dobrano tak, aby wzór najlepiej opisywał zależność empiryczną, a więc ostatecznie (r107a) .Można zauważyć maksima tej zależności dla wartości Z i N równych 2,8,20,28,50,82,126 są to tzw liczby magiczne. Zależność energii potencjalnej nukleonów w zależności od odległości od środka jądra można przedstawić następująco (rs 107a). Widać, że objętość jądra jest dołem energii potencjalnej dla nukleonów. Na zewnątrz protony są odpychane, neutrony nie. Wysokość U[c](R) rośnie ze wzrostem jądra. Wewnątrz jądra nukleony mogą przebywać w stanach kwantowych z określonymi skwantowanymi wartościami energii kinetycznej. Neutrony i protony w stanie podstawowym jądra zajmą wszystkie możliwe najniższe stany energetyczne aż do poziomu energii Fermiego Ef, której wartość można wyrazić (r107b) gdzie M-masa neutronu lub protonu, N[1]-gęstość nukleonów N[1]=Z/(4/3)*P*r[0]^3*A dla protonów oraz w miejsce Z jest N dla neutronów. Nukleony mogą znaleźć się w stanach o energii kinetycznej większej od Ef mówimy wówczas o wzbudzeniu energetycznym jądra. Drugim modelem jądra atomowego jest model powłokowy. Istnienie liczb magicznych, tj. liczb protonów i neutronów, którym odpowiada wyjątkowo duża energia wiązania oraz kształt kulisty przywodzą na myśl analogię z atomami gazów szlachetnych w których występują zamknięte powłoki elektronowe. Promieniowanie gamma jąder ma widmo liniowe, charakterystyczne dla danego rodzaju jąder. Dowodzi to istnienia dyskretnych stanów wzbudzonych jąder. A więc protony i neutrony w jądrze są w jądrze w stanach kwantowych analogicznie jak elektrony w atomie. Model powłokowy ruchu protonów i neutronów nie jest sprzeczny z modelem kroplowym. Już w studni dwuwymiarowej dwa ruchy drgające cząsteczki w kierynkach prostopadłych do siebie mogą się złożyć na ruch po okręgu lub ogólniej po elipsie, a więc ma się do czynienia z momentem pędu itd..
109. Charakterystyka i warunki energetyczne rozpadu beta.
(beta- - beta z minusem w górnym indeksie, za literą) Ten sposób rozpadu jądra jest bardziej złożony. Polega na przemianie jądrowej jednego z nukleonów w jądrze, w tzw. oddziaływaniu słabym jądrowym. Rozpad ten jest możliwy na trzy sposoby: beta-, beta+, wychwyt K. W pierwszym z nich jeden z neutronów n rozpada się na proton p, elektron beta- i antuneutrino elektronowe !e. Można to wyrazić równaniem n-> p + beta- + e. Cząstki beta- i antyneutrino wylatują z jądra. Masa spoczynkowa neutrina jest=0, porusza się ono z prędkością światła, nie ma ładunku elektrycznego. Oddziaływanie neutrina z innymi cząstkami, lub ogólnie z materią jest bardzo słabe. Dlatego cząstka ta jest niezwykle przenikliwa i bardzo trudno ją zarejestrować. Oprócz neutrin elektronowych istnieją jeszcze neutrina mezonowe. W rozpadzie beta- różnica energii atomu początkowego M(Z,N)*c^2 i końcowego M(Z+1,N-1)*c^2 jest rozdysponowana na energię kinetyczną elektronu beta- i energię neutrina. Łączna wartość tych energii jest energią rozpadu E[beta]. Atom końcowy ma o jeden elektron więcej niż atom początkowy, dlatego energia spoczynkowa powstałego elektronu beta- jest uwzględniona w bilansie energii. Dlatego energetyczny warunek rozpadu beta- jest następujący c^2*(M(Z,N)-M(Z+1,N-1))=E[beta]. W rozpadzie beta+ na końcu są dwa dodatkowe elektrony, jeden e- z atomu, drugi beta+ z jądra. Warunek energetycznu w rozpadzie beta+ ma postać: c^2*(M(Z,N)- M(Z-1,N+1))=2*m*c^2 + E[beta]. Jeżeli różnica mas jądra początkowego i końcowego nie jest większa od dwu mas elektronu to rozpad jest niemożliwy. Trzeci z rozpadów, wychwyt K jest procesem konkurencyjnym w stosunku do beta+. Polega on na tym, że jeden z elektronów powłoki K w atomie (rzadziej z powłoki L) jest wychwytywany przez proton w jądrze. Ostatecznie z jądra wylatyje tylko neutrino. W wychwycie K (również beta+) nowe jądro ma liczbę atomową o jeden mniejszą od jądra wyjściowego. Jeżeli różnica mas jądra początkowego i końcowego nie jest większa od dwu mas elektronu, możliwy jest tylko wychwyt K, bo w tym rozpadzie c^2*(M(Z,N)-M(Z-a,N+1))=E[k]. Ponieważ w rozpadach beta- i beta+ jądro początkowe rozpada się na trzy fragmenty-jądro końcowe, cząstkę beta i neutrino, ze względu na zbilansowanie energii kinetycznych i pędów rozbiegających się cząstek widmo energii cząstki beta jest ciągłe od zera do E[beta]. W wychwycie K emitowane jest tylko neutrino bardzo trudno rejestrowalne, na szczęście występuje wtórny efekt. Po wychwycie elektronu z powłoki K lub L następuje przeskok na zwolnione miejsce elektronu z wyższej powłoki i emitowany jest kwant promieniowania rentgenowskiego charakterystycznego.
111. NAJWAŻNIEJSZE NATURALNE IZOTOPY, ICH CHARAKTERYSTYKA.
Z pojedyńczych długo żyjących radioizotopów na uwagę zasługują trzy. Pierwszy to potas: 40,19K. rozpowszechniony w naturalnym potasie w ilości 0,011%. Radioizotop ten jest od razu najlepszą ilustracją rozpadów beta, bo rozpada się na wszystkie trzy sposoby. W niecałe 89% rozpada się przez beta- z energią rozpadu 1,32MeV na wapń 40,20,Ca. W 11% przez wychwyt, z energią rozpadu 1,479 keV też do podstawowego 40,18,Ar i wreszcie w 0,001% przez beta+ z energią 456 kEv też do podstawowego stanu argonu. Wzbudzone jądro argonu emituje kwant promieniowania gamma o energii 1,46 MeV i przechodzi do stanu podstawowego. Półokres rozpadu potasu-40 wynosi około 1,3*10 do 9 lat. Ze względu na dużą ilość potasu w litosferze radioizotop 40,nic,K (tylko 40 na górze) ma znaczący udział w naturalnej radioaktywności litosfery. Drugi radioizotop to rubid, 87,37,Rb, który w rozpadzie beta- z energią 275 keV i półokresem 5.8*10 do 10 lat przechodzi w stront 87,38,Sr. Pomiary ilości rubidu i strontu w skałach pozwalają stwierdzić wiek skał. Trzeci radioizotop to ołów, 204,nic,Pb, ma bardzo długi półokres rozpadu.: 1,4 * 10 do 17. Większość ważnych izotopów zgrupowana jest w tzw. szeregach promieniotwórczych. A. szereg torowy. B. szereg uranowy. C. aktyno-uranowy. Inna grupa radioizotopów, to te które są produkowane ciąle przez promieniowanie kosmiczne. Najważniejszy : węgiel, 14,nic,C - rozpad beta- z energią 0,156 MeV i półokresem : 5730 lat. Drugi to izotop wodoru - tryt 3,nic,H. Rozpad przez beta-, z energią 0,018 MeV i półokresem 12,2 lat.
117. Odpady promieniotwórcze
Niezależnie od tego czy paliwo spala sie szybko w bombie, czy powoli w reaktorze powstałe substancje radioaktywne stanowią duży problem. Z każdego grama plutonu czy uranu powstaje 1g promieniotwórczych produktów rozpadu. Daje to w sumie dużą dawkę promieniotwórczości. Większa część kosztów budowy elektrowni atomowych to skomplikowany system zabezpieczeń otoczenia przy ewentualnej awarii. Istotnym problemem jest też długoterminowe przechowywanie promienitwórczych produktów rozszczepienia (odpadów jądrowych).
106. Ogólne własności jąder atomowych. Jak wiemy jądro atomowe składa się z nukleonów, a więc protonów i neutronów. Protony traktujemy jako elementarne ładunki dodatnie, zaś elektrony są elektrycznie obojętne. Jądra atomowe mają kształt kulisty, bądź elipsoidalny. Traktując z pewnym przybliżeniem możemy przyjąć kulisty kształt jądra i wówczas promień jądra możemy wyrazić R=r[*]^(1/3); r[0]-promień nukleonu, A-liczba masowa. Gęstość masy jąder możemy z grubsza oszacować, przyjmując, że masa jądra jest równa M*A; M-masa nukleonu. Jest to gęstość niewyobrażalnie wielka. Własności materii w stanie o tak dużej gęstości są zupełnie inne od znanych. Proton i neutron są cząstkami o spinie równym 1/2. Mają też własne momenty magnetyczne MI[p] i MI[n]. Ich wartości są wyrażane za pomocą magnetonu jądrowego, który wynosi MI[j]=(e*h)/(2*M) (h-przekreślone h). Okazuje się, że spiny jąder są określone, ale nie są dużymi liczbami, co oznacza, że spiny nukleonów nawzajem kompensują się. Ważną informacją o jądrach są ich masy. Masy izotopów są mniejsze od sumy mas składników. Więc energia wiązania układu uwidacznia się w postaci defektu masy. Ten defekt jest wyraźnie mierzalny w przypadku jąder, bo energia wiązania E[w] jest ogromna E[w]=(ZM[H] + (A-Z)*M[N] - M[J])*c^2; M[H]-masa wodoru,M[J]-masa danego izotopu.
113. Oddziaływanie promienia jonizującego z materią. Końcowem efektem pochłaniania promieniowania gamma w materii jest przedewszystkim jonizacja atomów, bo taki jest efekt zjawiska fotoelektrycznego, Comptona, hamowanie elektronów. W przypadku promieniowania i ostatecznem i dominującym efektem jest też jonizacja atomów . Występuje też fluorescencja rentgenowska, a dla wysokoenergetycznych cząstek również reakcje jądrowe. Szybkość strat energii cząstki na jonizację jest wprost proprcjonalna do kwadratu ładunku cząstki i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu jej prędkości.. Dlatego cząstki alfa są o wiele skuteczniej hamowane od cząstek beta, a te o wiele skuteczniej od gamma. Energia jonizacji różnych atomów zawiera się w granicach od kilku do kilkunastu eV, jednakże cząstka traci energię na różne wzbudzenia i energię kinetyczną elektronów, atomów i jonów. Promieniowanie korpuskularne przeczodząc pzrez ciało stałe, krystaliczne, w procesie zderzeń sprężystych z atomami powodują wybijanie atomów z węzłów sieci a więc defektowanie struktury krystalicznej materiału, a to z kolei powoduje zmiany jego własności, w tym własności mechanicznych i wytrzymałościowych ( na ogółna niekorzyść) średnia energia tracona na wybicie jednego atomuz węzła sieci wynosi 20-25 eV. Jonizacja atomów inicjuje niszczenie monekuł w komórkach żywych, a co za tym idzie organizmu.
108. MODEL ROZPADU ALFA JĄDRA ATOMOWEGO.
ZAPIS: 4,2,He oznacza: na górze jest 4 na dole 2 a za wszystkie He.
W rozpadzie alfa z jądra emitowana jest cząstka składająca się z dwu protonów i dwu neutronów 4,2,He. Energia kinetyczna cząstki jest równa ułamkowi M[k]/M[p] całkowitej energii wyzwolonej w rozpadzie (M[k]-max.końcowa,M[p]-początkowa). Cząstka alfa w obszarze jądra jest pod działaniem sił przyciągania, czyli jest w obszarze dołu energii potencjalnej, natomiast całkowita energia cząstki E[alfa] set dodatnia. Przyjmujemy, że cząstka jest zamknięta w pudle o wymiarach 2*R i porusza się z prędkością v[0] tak, że odbija się od brzegów jądra, to przy każdym dojściu do brzegu jądra z prawdopodobieństwem równym przezroczystości bariery (r108a) cząstka alfa może wydostać się z jądra. Ponieważ próby takie powtarzają się w odtępach czasu 2*R[0]/v[0], więc całkowite prawdopodobieństwo ucieczki cząstki alfa z jądra w odstępie czasu dt jest T*v[0]*dt/(2*R[0]), a z definicji jest równa *dt, więc =T*v[0]/(2*R[0]). Po przekształceniach można otrzymać (r108b). W pierwszym wyrazie po prawej stronie wielkość v[0]/(2*R[0]) mało się zmienia dla różnych jąder i możemy przyjąć jej wartość stałą=10^21 [1/s]. Drugi wyraz z uwagi na (Z-2) jest również mało zmienny i jego wartość przyjmujemy 75. Podobnie w trzecim wyrazie zmienność (Z-2) można pominąć. Wyraz ten możemy zapisać 340/(E/Mev)^(1/2). Ostatecznie log(T[1/2] s^(-1))=148/sqr(E[alfa]/Mev)=53,6. Jest to związek między półokresem a energią cząstki alfa.
110. REAKCJE JĄDROWE ROZSZCZEPIENIA.
Reakcje rozszczepienia 1934 Enrico Ferni używa neutronów jako pocisków i bombarduje nimi jądro uranu 235 w rezultacie tego powstają bardzo aktywne źródła promieniotwórcze( Strassman i Hall stwierdzają "Produktami reakcji są jądra o liczbie atomowej ok 50 ") wniosek - jądro uranu pochłonęło neutron a następnie rozpadło się na dwie częsci a temu towarzyszy emisja neutronów. Wykryto również silne promieniowanie . Energia jest przenoszona przez to promieniowanie, fragmenty rozszczepienia i neutrony. Reakcję rozszczepienia można też uzyskać bombardując uran powolnymi elektronami (~1eV). Są one przechwytywane przez jądro jeśli znajdują się w jego pobliżu dostatecznie długo. Fragmenty rozszczepienia nie są jednoznacznie określone, wystąpić mogą następujące kombinacje:A. 235/92U + 1/0 n = 236/92U + 144/56Ba + 89/36Kr + 3n + energia, B. 235/92U + 1/0 n = 236/92U + 140/54Xe + 94/38Sr + 2n + energia, C. 235/92U + 1/0 n = 236/92U + 85/35Br+ 148/57La + 3n + energia. Fragmenty rozszczepienia nie są jądrami stabilnymi, mają za dużo neutronów jak na jądra o średnich rozmiarach. Pozbywają się tego namiaru wyrzucając neutrony w czasie 10^(-10) s neutrony. Średnia ich liczba wynosi 2,5 następnie ulegają 2 do 4 przemianom każda taka przemiana wiąże się z zamianą wjądrze jednego neutronu w proton , zdarzają się również emisje neutronów opóźnionych po ok 10 s. Podczas reakcji rozszczepienia każdego jądra uranu uwalnia się ok 210 MeV energii unoszonej przez produkty rozszczepienia 92U w tym neutrony których natychmiastowa energia kinetyczna wynosi od 1 do 3 MeV
112. Efekt Mossbauera. (om - omega, lb - lambda)
Pochłanianie i emisja przez jądra promieniowania gamma ma charakter rezonansowy. Podobnie też jak w przypadku promieniowania atomowego przejścia promieniste jąder mogą zachodzić spontanicznie lub w sposób wymuszony. Wielkościami chatakteryzującymi rezonans są: a) energia E[0] lub częstotliwość kątowa om[0] lub długość fali lb[0] promieniowania, związane ze sobą zależnością: E[0]=h(kreślone)*om[0]=h(kreślone)*c*2PI/lb[0]. b) szerokość rezonansu ddE[0] lub ddom[0], lub średni czas życia tał, związane relacjami: E[0]=h(kreślone)*Γ =h(kreślone)*tał. c) dobroć rezonansu Q: Q=E[0]/ddE[0]= om[0]/ Γ=om[0]*tał. Dobroć niektórych przejść jądrowych jestr bardzo duża. Źródłem przejść w 57,nic,Fe jest radioizotop 57,nic,Co, rozpadający się z półokresem 270 dni przez beta- do 57,nic,Fe w stanie wzbudzonym 137 kEv. Z tego stanu w 9% zachodzi przejście do stanu podstawowego a w 91% do stanu wzbudzonego 14.4 keV, a stąd przejście rezonansowe wykorzystywane do efektu Moessbauera. Źródłem przejść w cynie 199,nic,Sn jest wzbudzone do metastabilnego stanu o energi 89kEv jadro 199m,nic,Sn. Z półokresem 250 dni jądro to przechodzi do stanu podstawowego w dwu etapach: najpierw do stanu wzbudzonego o energi 23,8 kEv, a następnie zachodzi przejście, które jest przedmiotem naszego zainteresowania. Małe wartości ddE[0] w stosunku do E[0] dają ogromne wartości Q rezonansu. W trakcjie nmisji kwantu na skutet odrzutu zgodnie z zas. zach. energii i pędu swobodne jądro zabiera ze sobą część energii ddE[r]= E[0]^2/2*Mc^2, gdzie M jest masą atomu. Emitowany kwant ma energię (E[0]-ddE[R]). Dodatkowo przy absorbcji też zachodzi odrzut i energia pochłonięta przez jądro jest mniejsza o ddE[R] od energi fotonu. Na skutek chaotycznego ruchu cieplnego atomów ma miejsce efekt Dopplera zarówno przy emisji, jak i przy absorbcji promieniowania. Przesunięcie emisji w efekcie tymn wynosi E[0](1 +/- v/c), gdzie v - prędkość ruchu cieplnego. Moessbauer odgadł, że można uniknąć odrzutów jądra emitującego i pochłaniającego, jeżeli atom jest w sieci krystalicznej. Wtedy przynajmniej część aktów emisji i absorbcji zachodzi w warunkach jakby atomy były zamocowane w sieci krystalicznej.
114. Dawki promieniowania jądrowego.
Dawka pochłonięta promieniowania jądrowego jonizującego jest miara pochłoniętej energi w jednostce masy. Jednsotką jest [J/kg] - zwany grejem [Gy], 1 Gy = 1 J/kg i rad = 100 erg/g.
W przypadku tkanki biologicznej dawka ekspozycyjna !R odpowiada pochłoniętej dawce około 9,5 mGy. Skuteczność biologiczna promieniowania (destrukcyjna) zależy nie tylko od dawki pochłoniętej, ale i od rodzaju promieniowania, bowiem destrukcyjny w pływ rośnie ze wzrostem gęstości jonizacji dawki pochłoniętej. Określony jest biologiczny równoważnik dawki pochłoniętej równy iloczynowi dawki pochłoniętej przez bezwymiarowy wsp. zwany współcz. skuteczności biologicznej WSB - wielkość charakterystyczna dla rodzaju promieniowania. Biologiczny równoważnik dawki pochłoniętej wyrażony iloczynem WSB i dawki pochłoniętej w grejach określa się nazwą siwert [Sv], 1Sv=1J/kg, a w przypadku dawki w radianach nazywa się rem, 1 rem = 100 erg/g. Wartość średnich równoważników dawki promieniowania z różnych źródeł pzrez człowieka w ciągu 1 roku:a) naturalna radioaktywność Ziemi - 75 mRem, b) promieniowanie kosmiczne - 50 mRem, c) zdjęcie rentgenowskie w medycynie - 50 mRem, Dozwolona wartość dawki dla ludzi to 500 mRem/rok dla pracujących zawodowo z izotopani 5000 mRem