Ćwiczenia Wytrzymałość 5 - 20 -

Zadanie 18

Stalowy pręt o zmiennej skokowo średnicy i wymiarach jak na rysunku 18 umieszczono bez luzu i wcisku pomiędzy dwoma prostopadłymi do osi pręta, nieskończenie sztywnymi podporami. Pręt podgrzano równomiernie na całej długości o Δt = 80⁰C. Obliczyć naprężenia w pręcie, jeżeli średnice pręta są równe: D = 4 cm, d = 3 cm, a współczynnik rozszerzalności

cieplnej liniowej α = 1,39·10^-5 C^-1, moduł Younga E = 2,1·10⁵ MPa i R_s = ± 350 MPa.

D d l₁ = 1,1 m

l₂ = 1,5 m

l₁ l₂ Rys.18

Rozwiązanie

Zadanie to jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne, więcej informacji na ten temat patrz strona 160 w książce Statyka i Wytrzymałość Materiałów autor Jan Misiak.

Pręt po podgrzaniu i uwolnieniu z więzów przedstawiono na rysunku 18a

Rys.18a

Δl_1t

l₁ l₂ Δl_t =Δl_1t +Δl_2t = l₁αΔt + l₂αΔt

Pręt pod działaniem sił oddziaływania podpór po usunięciu podpory przedstawia rysunek 18b

R

Δl_1R

l₁ l₂ Δl_R = Δl_1R + Δl_2R

Rys.18b

,

Sumaryczne wydłużenie pręta Δl = Δl_t +Δl_R = 0

,

Wartości naprężeń
,

Ponieważ obliczone naprężenia są niższe od granicy proporcjonalności użyte wzory do określenia wartości wydłużenia są zgodne z rzeczywistością.

Zadanie 19 - 21 -

Określić długość zerwania jednorodnego pryzmatycznego pręta, zbudowanego z materiału o ciężarze własnym γ = 78 N/dcm³ i R_m = 450 MPa (rys.19)

Rozwiązanie

x N₁ N = N₁

l

x₁

N l - x

dN dx₁

Rys.19

x x x₁

A przekrój pręta, dN = Adx₁γ,

, N_max=Aγl, *_max = lγ
l_r wystąpi dla *_max = R_m

Zadanie 20

Wykonać wykresy sił wewnętrznych i momentu gnącego dla belki wysięgnikowej przedstawionej na rysunku 20. Dane α = 40⁰, q = 1300N/m

z α

q

0 x

l = 2 m Rys.20

Rozwiązanie

Robimy myślowy przekrój w odległości x od brzegu swobodnego i odciętą część belki równoważymy siłami N,T i momentem gnącym M_x (rys.20a)

dQ α

M_x

q dQ = qdx₁

0₁ N

0 x

x₁ dx₁ T

x Rys.20a

Równowaga odciętej części 00₁

,
,

,

,

,
- 22 -

,

Wykresy sił normalnej N i tnącej T oraz momentu gnącego M_g = M_x (rys.20b)

N

N_x=l = -qlsinα = -1300(N/m)2(m)sin40⁰

R_x = -1671 N

T T_x=l = -qlcosα = 1300·2·cos40⁰ = -1992N

R_z = -1992N

M_g M_x=l = -0.5ql² cosα=

= -0.5·1300(N/m)4(m²)cos40⁰

M_x=l = -1992Nm

z

x = l

Rys.20b

Zadanie 21

Dla belki z zadania 20 dobrać przekrój kwadratowy z warunku, że naprężenia od zginania nie mogą przekroczyć *_dop = 100 MPa.

Rozwiązanie

Wzór na naprężenia
(rys.21) (a)

z

x

dA

g *

z

y

Rys.21

y

gdzie J_y jest momentem bezwładności pola przekroju względem y określonym wzorem (b)

Wzór (a) jest słuszny jeśli moment odśrodkowy względem osi y,z J_yz = 0

J_yz jest określony wzorem (c)

(b)

(c)

Wyprowadzenie wzoru na J_yz względem osi symetrii dla prostokąta (rys.21a) - 23 -

z

dz

z

h y dA = dzdy

a

y dy Rys.21a

Wyprowadzenie wzoru J_y dla prostokąta względem osi głównych centralnych

Maksymalne naprężenia występują dla M_gmax , z_max i -z_max czyli

dla przekroju kwadratowego a = h

---