Materiały dydaktyczne

Statystyka

• Rachunek prawdopodobieństwa

1. Dystybuanta, rozkłady i prawa wielkich liczb

2. Zadania z probablistyki

3. Przykładowe zadania z rozwiązaniami

Statystyki opisowe

1. Symetria rozkładu

2. Analiza rozkładu

3. Regresja liniowa

4. Tworzenie tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego

5. Histogramy

6. Rozkłady ciągłe - ilustracje

7. Gęstość rozkładu normalnego N(2,1)

8. Charakterystyka rozkładu zmiennych ??

9. Korelacja liniowa

10. Analiza krzywych ROC

3. Ćwiczenia - rozpoznawanie rodzajów zmiennych

4. Zadania ze statystyki oraz wersja PDF

5. Przykład: mammografia a rak piersi

6. Karta umiejętności praktycznych

Zadania

Przykładowe zadania z probabilistyki

1. W klinice jest 40 pacjentów z grupy A , 60 z grupy B i 10 z grupy C. Prawdopodobieństwa powikłań w grupie A, B i C wynoszą odpowiednio: 0,1; 0,4; 0,5.

1. Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowy pacjent ma powikłania.

2. Pacjent ma powikłania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z grupy B?

3. Pacjent nie ma powikłań. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z grupy B?

4. Pacjent nie ma powikłań. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z grupy A?

2. Zdarzenie A może zajść jedynie w wyniku pojawienia się B1 lub B2. Znamy P(B1) oraz P(B2). Czego jeszcze brakuje, żeby okrelić całkowite P(A)?

3. Dwudziestoosobowa grupa studencka, w której jest 6 kobiet otrzymała 5 biletów do teatru. Bilety rozdziela się drogą losowania. Określ prawdopodobieństwo tego, że wród posiadaczy biletów znajdą się dokładnie 3 kobiety.

4. Telegraficzne przekazywanie informacji odbywa się metodą nadawania sygnałów kropka, kreska. Statystyczne właciwoci zakłóceń są takie, że błędy występują przeciętnie w 2/5 przypadków przy nadawaniu sygnału kropka i w 1/3 przypadków przy nadawaniu sygnału kreska. Wiadomo, że ogólny stosunek liczby nadawanych sygnałów kropka do liczby sygnałów kreska jest 5:3. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przy przyjmowaniu sygnału

1. kropka

2. kreska

w rzeczywistości te sygnały zostały nadane.

5. Fabryka wyrabia ruby na trzech maszynach A, B i C, których produkcja wynosi odpowiednio 25%, 35% i 40% całej produkcji. Maszyny dają odpowiednio 5%, 4% i 2% braków. W sposób przypadkowy wybrano rubę. Obliczyć

1. prawdopodobieństwo tego, że wyprodukowała ją maszyna A

2. prawdopodobieństwo tego, że jest ona brakiem

3. prawdopodobieństwo warunkowe tego, że wyprodukowała ją maszyna A, jeśli stwierdzono, że jest ona brakiem

4. prawdopodobieństwo tego, że wyprodukowała ją maszyna B, jeli stwierdzono, że jest ona brakiem

6. Student ma do przygotowania na egzamin 21 tematów. Z tego opracował jedynie 15 tematów. W czasie egzaminu losuje trzy tematy. W przypadku odpowiedzi na wszystkie pytania otrzymuje piątkę. W przypadku gdy odpowie tylko na dwa pytania losuje z pozostałych tematów trzy dalsze tematy i gdy odpowie na wszystkie pytania, otrzymuje czwórkę, gdy zaś odpowie na dwa pytania, otrzymuje trójkę. We wszystkich pozostałych przypadkach otrzymuje ocenę niedostateczną. Obliczyć prawdopodobieństwo, że tak przygotowany student otrzyma:

1. piątkę

2. czwórkę

3. trójkę

4. dwójkę

7. Dane są 2 pojemniki. W pierwszym są 4 kule białe i 3 czarne, w drugim 3 białe i 5 czarnych. Rzucamy symetryczną kostką do gry. Jeli otrzymamy ciankę z jednym oczkiem, to losujemy 2 kule z pierwszego pojemnika, w przeciwnym przypadku losujemy 2 kule z drugiego pojemnika. Oblicz prawdopodobieństwo, że w rzucie kostką otrzymano 1 oczko, jeżeli otrzymano kule jednokolorowe.

8. Z dobrze potasowanej talii o 52 kartach wyciągamy w sposób losowy 26 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wród wyciągniętych kart będzie połowa czerwonych i połowa czarnych?

9. Z talii 52 kart losujemy 5 kart. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania 2 kierów i 3 pików.

10. Z talii 52 kart losujemy 13 kart (tak jak przy grze w brydża). Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania 13 kart w jednym kolorze.

11. Dwaj strzelcy trafiają w cel z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio 0,8 i 0,7. Strzelcy oddają po 1 strzale do tego samego celu. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że cel zostanie 2 razy trafiony.

12. Przy danych z poprzedniego zadania oblicz, że pierwszy strzelec trafił, jeli okazało się, że cel został dokładnie raz trafiony.

13. Dane są 2 pojemniki. W pierwszym są 4 kule białe i 4 czarne. W drugim: 3 białe i 6 czarnych. Z losowo wybranego pojemnika losujemy 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania kul różnokolorowych.

14. Dane są 2 pojemniki. W pierwszym są 4 kule białe i 3 czarne, w drugim 3 białe i 5 czarnych. Rzucamy symetryczną kostką do gry. Jeli otrzymamy ściankę z jednym oczkiem, to losujemy 2 kule z pierwszego pojemnika, w przeciwnym przypadku losujemy 2 kule z drugiego pojemnika. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania kul różnokolorowych?

Przykładowe zadania z rozwiązaniami

1. W klinice jest 40 pacjentów z grupy A , 60 z grupy B i 10 z grupy C. Prawdopodobieństwa powikłań w grupie A, B i C wynoszą odpowiednio: 0.1; 0.4; 0.5.

1. Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowy pacjent ma powikłania.

2. Pacjent ma powikłania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z grupy B?

3. Pacjent nie ma powikłań. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z grupy B?

4. Pacjent nie ma powikłań. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z grupy A?

Rozwiązanie:

n=50+40+10=100
P(A)=50/100=0.5 P(A|X)=0.2
P(B)=40/100=0.4 P(B|X)=0.5
P(C)=10/100=0.1 P(C|X)=0.1

5. Z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym: P(X) = P(A)*P(X|A)+P(B)*P(X|B)+P(C)*P(X|C) = 0.5*0.2+0.4*0.5+0.1*0.1
   P(X) = 0.1+0.2+0.01 = 0.31

6. Z tw. Bayesa: P(B|X) = P(B)*P(X|B)/P(X) = 0.4*0.5/0.31 = 0.645

7. Z tw. Bayesa: P(B|X) = P(B)*P(X|B)/P(X) = P(B)[1-P(X|B)]/[1-P(X)] = 0.4*(1-0.5)/(1-0.31)=0.4*0.5/0.69=0.289

8. Z tw. Bayesa: P(A|X) = P(B)*P(X|A)/P(X) = P(A)[1-P(X|A)]/[1-P(A)] = 0.5(1-0.2)/(1-0.31) = 0.5*0.8/0.69

2. Chory na raka jest leczony związkiem trzech leków. Zaobserwowano, że kiedy one są używane w polączeniu, często dwa z trzech leków będą hamowane tak że, faktycznie tylko jeden czynnie będzie zwalczać guz. Przyjmijmy, że kiedy to będzie zdarzać się, prawdopodobieństwo, że lek A zadziała sam, jest to samo jak dla leku B i leku C, równe są 1/3. Skuteczność każdego leku w doprowadzeniu do remisji jest inna: leku A 50%; leku B 75% i leku C 60%. Załóżmy, że trzy leki są używane w związku i tylko jeden czynnie zwalcza guz. Pacjent osiągnął remisję. Oblicz prawdopodobieństwo że lek B faktycznie był odpowiedzialny za remisję.

Rozwiązanie:

P(remisja|A) = 0.50; P(remisja|B) = 0.75; P(remisja|C) = 0.60
P(A) = P(B) = P(C) = 1/3
P(B|remisja) = P(R|B)*P(B) / [P(R|B)*P(B) + P(R|A)*P(A) + P(R|C)*P(C)] = (0.75*1/3) /[0.75*(1/3) + 0.50*(1/3) + 0.60*(1/3) ] = 0.41

3. Screeningowy test dla nowotworu (cervix) ma wynik fałszywie dodatni 5% i fałszywie ujemny 10%.W pewnej populacji kobiet 4% ma tę formę nowotworu.

1. Wyraź fałszywie dodatni i fałszywie ujemny iloraz jako prawdopodobieństwa warunkowe.

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrana kobieta choruje na ten typ nowotworu, zakładając, że wynik jej testu przesiewowego jest pozytywny.

Rozwiązanie:

3. Fałszywie ujemny
   P(negative | have cervical cancer) = 0.05
   Fałszywie dodatni
   P(positive | nie choruje na cervical cancer) = 0.10

4. P(cancer | positive) = P(positive | cancer) * P(cancer) / [P(positive | cancer)*P(cancer) + P(positive | no cancer)*P(no cancer) ] = (1*0.05) * 0.04 / [(1*0.05) * 0.04 + 0.10 * (1*0.04) ] = 0.28

4. Badania alkoholików wykazały, że 40% z nich miało ojców alkoholików i 6% miało matki alkoholiczki. Co najmniej jednego pijącego rodzica miało 42% badanych. Jakie jest prawdopodobieństwo że przypadkowo wybierany alkoholik ma

1. Obu rodziców alkoholików

2. Pijącą matkę jeżeli ojciec jest alkoholikiem

3. Pijącą matkę ale nie pije ojciec

4. Pijącą matkę jeżeli ojciec nie jest alkoholikiem

Rozwiązanie:

5. P(M AND F) = 0.04 (zielony kolor na grafie)

6. P(M | F) = P(M AND F)/P(F) = 0.04/0.40 = 0.1

7. P(M AND not F) = 0.02

8. P(M | F) = P(M AND F)/P(F) = 0.04/0.40 = 0.1

Zadania ze statystyki (wersja HTML)

Zestaw 1

1. Czas reakcji na lek w grupach 100 osobowych przedstawia tabela:

czas reakcji	grupa 1	grupa 2	grupa 3
10 - 20	10	5	10
20 - 30	20	35	25
30 - 40	40	25	25
40 - 50	20	25	35
50 - 60	10	10	5

2. Wykonać wielobok częstości (łamana) i histogram. Co można powiedzieć o skośności rozkładu w I grupie? Wskaż przedział, gdzie znajduje się moda i mediana.

3. W dwu grupach chorych zmierzono ciśnienie rozkurczowe krwi:

Grupa 1	145	125	130	155	140	150	135
Grupa 2	115	150	100	180	140	165	130

4. Wyznacz średnią i medianę oraz wariancję. Pomiary w grupie... są bardziej rozproszone niż w grupie .... Blisko 31,73% wszystkich zaobserwowanych wartości różni się od średniej arytmetycznej o więcej niż o .... Tylko 5% obserwacji wykracza poza przedział (...,...) Tylko 0,3% wartości obserwowanych wykracza poza przedział (....,....)

5. Na podstawie badania dużej liczby pacjentów z nowotworem pewnego narządu ustalono, 1e średni czas przeżycia od momentu rozpoznania wynosi 38,3 miesiąca z odchyleniem standardowym 43,3 miesiąca. Czy wyraźne wydłużenie czasu przeżycia jest istotne statystycznie?

Testujemy ... zerową, że 100 ostatnich wyników stanowi losową próbę z populacji średniej 38.3 i odchyl. stand. 43,3. Rozkład przeżycia musi być skrajnie ..... (symetryczny/skośny), ponieważ nawet jedno odchylenie standardowe poniżej średniej daje już wartości ujemne 38.3-....=-5, a żaden czas przeżycia nie może być ujemny. Jednak 100 jest odpowiednio dużą liczebnością z próby losowej, aby posłużyć się teorią rozkładu normalnego średniej z próby.

6. Dane z zadania 3. Wyznacz przedział ufności 95%.

Zestaw II

1. X: N(0; 1) Oblicz P(X<-0,7>)

2. Oblicz p(|X|>3) dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N(-1; 2)

2. Oblicz prawdopodobieństwo, że wzrost przypadkowo wybranego mężczyzny będzie między 190 cm a 200 cm, jeśli wiadomo ze populacja mężczyzn ma rozkład normalny N(172; 6).

3. Określ prawdopodobieństwo, że w 10 rzutach symetryczną monetą otrzymamy 3 razy orła oraz policz najbardziej prawdopodobną liczbę sukcesów, gdyby w tym doświadczeniu moneta nie była symetryczna i p=0.4.

4. Zmienne losowe X,Y są niezależne. E(X)=2; E(Y)=1 Znaleźć wartość oczekiwana i wariancję zmiennej Z=2X+3Y jeśli wiadomo że D^2(X) = 5 i D^2(Y) = 6.

5. Z talii 52 kart losujemy 1 kartę. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest asem (4 karty) lub treflem (13 kart).

6. Określić prawdopodobieństwo, że w loterii, w której typujemy 6 liczb z 49 trafimy pięć z sześciu wygrywających.

7. Dwudziestoosobowa grupa studencka, w której jest 6 kobiet otrzymała 5 biletów do teatru. Bilety rozdziela się drogą losowania. Określ prawdopodobieństwo tego, że wśród posiadaczy biletów znajdą się dokładnie 3 kobiety?

8. Porównać wariancję następującej zmiennej losowej: P(1) = 0.2; P(3) = 0.5; P(4) = 0.3 oraz próby prostej 10-elementowej o wynikach:

1

1

3

3

3

3

3

4

4

4

9. Zmienna losowa X ma rozkład:

xi	-2	-1	2	5
pi	0.3	0.1	0.2	0.4

10. Wyznaczyć dwoma sposobami wartość oczekiwaną i warian_boldcję zmiennej losowej U=2X-3:

1. znajdując najpierw rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej U oraz

2. korzystając z odpowiednich własności wartości oczekiwanej i wariancji.

11. Zapałkę o długości 5 cm złamano w dowolnym punkcie. Zakładając, że rozkład prawdopodobieństwa długości krótszej części zapałki jest jednostajny, obliczyć prawdopodobieństwo, że długość krótszej części zapałki nie przekracza 0.5 cm.

Pozostałe zadania dostępne w pliku z wersją PDF.

Przykład: mammografia a rak piersi

Mammografia a rak piersi

Oznaczenia

Ch	chorzy (rak piersi)
Z	zdrowi
M	wynik mammografii dodatni

Dane:

P(Ch)=0.01 (po 40-tym roku życia). Stad P(Z) = 1-0.01 = 0.99
Ponadto wiadomo, że P(M│Ch) = 0.9
P(M│Z) = 0.09

Powyższe dane pochodzą z Wiedzy i Życia 2004 roku (maj lub czerwiec).

Rozwiązanie:

Z tw. Bayesa:

  P(Ch│M) = P(M│Ch) * P(Ch) / P(M)

Gdzie z twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym:

  P(M) = P(M│Ch) * P(Ch) + P(M│ Z)*P(Z)

Prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku mammografii:

  P(M) = 0.9*0.01+0.009*0.99 = 0.009+0.0891 = 0.0981

Stad:

  P(Ch│M) = P(M│Ch) * P(Ch) / P(M) = 0.9*0.01/ 0.0981 = 0.091743

Obliczenia: plik mammografia.xls. Można wstawić inne wartości.

http://zimpn.amb.bydgoszcz.pl/mj/teaching

---