Michał Biegański
Paweł Ciołek
Grupa 6
ĆWICZENIE 8
TEMAT: Wyznaczanie momentu bezwładności metodą dynamiczną.
Ciało sztywne obracające się wokół stałej osi ma określoną energię kinetyczną. Podzielmy całą bryłę sztywną na n takich elementów, by każdy z nich mógł być rozpatrywany jako punkt masowy mi. Każdy element tego ciała ma prędkość kątową ω oraz określoną prędkość liniową vi. Między tymi wielkościami istnieje związek:
vi = ri ω
ri - odległość elementu mi od osi obrotu
Energia kinetyczna ruchu obrotowego danego elementu mi wyraża się wzorem:
E = ½ mi ri2 ω2
Całkowita energia kinetyczna ciała obracającego się dookoła osi przechodzącej przez środek masy równa się sumie energii kinetycznej jego elementów. W ruchu obrotowym ciała sztywnego wszystkie elementy mają taką samą prędkość kątową, natomiast odległości poszczególnych elementów mają taką samą prędkość kątową, natomiast odległości poszczególnych elementów od osi obrotu są różne, wobec tego wyrażenie na całkowitą energią ruchu obrotowego zapisujemy:
n n
Ek = ∑ ½ mi ri2 ω2 = ½ ω2 ∑ mi ri2
i=1 i=1
Suma iloczynów mas poszczególnych elementów ciała przez kwadrat ich odległości od osi obrotu n
∑mi ri2
i=1
nazywa się momentem bezwładności ciała I (ściślej całka tych iloczynów I = ∫ r2dm).
Wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego przyjmuje postać:
Ek = ½ I ω2
Moment bezwładności ciała o danej masie m zależy w dużym stopniu od jej rozmieszczenia względem osi obrotu, czyli od wyboru osi obrotu. Z reguły ciała wirujące powinny znajdować się w równowadze obojętnej, zatem oś obrotu tych ciał przechodzi przez środek ich masy.
Jeżeli potrafimy określić moment bezwładności ciała I względem osi przechodzącej przez środek masy ciała , to - korzystając z twierdzenia Steinera - łatwo jest znaleźć moment bezwładności względem innych osi równoległych do osi przechodzącej przez środek masy.
Twierdzenie Steinera ma postać:
I + Is + md2
m - masa ciała
d - odległość pomiędzy osiami
Na podstawie wzoru definiującego moment bezwładności:
I = ∫r2dm
potrafimy obliczyć jego wartość tylko wtedy, gdy jesteśmy w stanie określić granice całkowania. Wyrażając element masowy dm przez gęstość ρ oraz odpowiedni element objętości dv, dm = ρ Dv, otrzymujemy więc:
I = ρ ∫r2dV
Zakładamy ciągły i równomierny rozkład masy. W naszym doświadczeniu wykorzystamy urządzenie o takim właśnie rozkładzie masy - krzyżak., na którego osi nawinięty jest cienki sznurek z podwieszonym ciężarkiem C i masie m. ciężarek ma względem obranego poziomu odniesienia energię potencjalną:
E = m g h
m - masa krzyżaka
h - wysokość nad wybranym poziomem odniesienia
Pod wpływem siły ciężkości P ciężarka C krzyżak będzie się obracał ruchem jednostajnie przyspieszonym, zyskując energię kinetyczną ruchu obrotowego E1
E1 = ½ Iω2
I - moment bezwładności
ω - prędkość kątowa
Również ciężarek zyskuje energię kinetyczną, kecz ruchu postępowego E2
Ek2= ½ mv2
v - prędkość liniowa
Układ zyskuje energię kinetyczną (E1 + E2) kosztem malejącej energii potencjalnej E ciężarka.
Przyjmując założenie, że opory ruchu są do pominięcia, możemy przedstawić zasadę zachowania energii w tym układzie równaniem
E= E1 + E2
Po podstawieniu wzorów otrzymujemy
mgh= ½ mv2 + ½ Iω2
Zasada zachowanie energii, wyrażona powyższym wzorem, jest spełniona dla każdej chwili t ruchu całego układu, a więc w momencie całkowitego rozwinięcia się sznurka.
Ponieważ wartości chwilowe v i ω są trudne do zmierzenia bezpośredniego więc moment bezwładności krzyżaka wyrażamy przez wielkości łatwo mierzalne- drogę h i czas t.
Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego bez prędkości początkowej mamy wzór na prędkość:
v = at lub v = gt
a - przyspieszenie
t - czas trwanie ruchu
oraz wzór na drogę s:
s = (at2)/2
lub
h= (gt2)/2
Przekształcamy :
2h=gt2
Ponieważ v=gt więc
2h=vt
Stąd:
v=2h/t
Wykorzystując wcześniej ustalony związek między prędkością kątową krzyżaka i prędkością liniową (ω=v/r) otrzymujemy ostateczny wzór na moment bezwładności:
mgh= ½ mv2 + ½ Iω2 /*2
2mgh= mv2+Iω2
Iω2=2mgh - mv2
I=(2mgh -mv2)/ω2
I=(2mgh -m(2h/t)2)*(tr/2h)2
I= (2mgh -m(4h2/t2))*(t2r2/4h2)
I=(2mght2r2/4h2)- (m4h2/t2)*(t2r2/4h2)
I=(mgt2r2- 2hmr2)/2h
I=mr2(gt2-2h)/2h
Niepewność pomiaru:
Zestawienie pomiarów w tabelce
L+R (m) |
m (kg) |
r (m) |
h (m) |
t (s) |
I (kg m2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|