1.Pochodną funkcji f w pkcie wewnętrznym x0∈D nazywamy liczbę, którą oznaczamy i określamy wzorem:
F'(x0)=lim∇x→0[(f(x0+∇x)-f(x0))\∇x przy założeniu, że powyższa granica istnieje i jest skończona.
Natomiast liczby oznaczone i określone następująco: f'+/-(x0)=lim∇x→0+\-[f(x0+∇x)-f(x0)]\∇x
Nazywamy odpowiednio pochodną prawostronną i lewostronną f-cji f w pkcie x0∈D.
F-cja ma pochodną w pkcie⇔ gdy ma równe obydwie pochodne jednostronne w tym pkcie.
Pochodna f-cji f'(x0) w pkcie x0∈D jest równa tg kąta nachylenia stycznej do wykresu f-cji y=f(x) w pkcie (x0,f(x0)) względem osi X. Równanie prostej stycznej do wykresu f-cji f w pkcie (x0,f(x0)) ma postać: Ls: y=f'(x0)(x-x0)+f(x0). + interpr. geom.
2.Niech f-cja f ma w pkcie wew. x0∈D pochodna f'(x0). Różniczką f-cji f w pkcie x0 nazywamy f-cję liniową, którą oznaczamy i określamy wzorem: df(x0)dx=f'(x0)dx (dx∈R). Różniczką f-cji df(x0)dx można oznaczać przez dt. + interpr. geom.
Tw. (o przyroście) Jeśli f-cja f ma w pkcie wew. x0∈D pochodną f'(x0), to jej przyrost można przedstawić w postaci: f(x0+dx)- f(x0)=f'(x0)dx+R(dx) dla x0+dx∈Q (x0,∂)⊂D przy czym limdx→0R(dx)\dx=0. Zastosowanie:
Gdy f-cja ma w pkcie wew. x0∈D pochodną f'(x0)≠0 i przyrost argumentu dx jest bliski zeru to:
a)przyrost f-cji można przybliżać różniczką, a więc : f(x0+dx)- f(x0)≈f'(x0)dx dla dx∈Q (0, ∂), gdzie ∂>0 i bliskie 0.
b)przyrost f-cji można przybliżać wzorem: f(x0+dx)= f(x0)+ f'(x0)dx dla dx∈Q (0, ∂), gdzie ∂>0 i bliskie 0.
3.Tw. de L'Hospital. Jeśli f-cje f i g mają: 1.pochodną w pewnym sąsiedztwie pktu x0; 2.granice limx→xof(x)=limx→xog(x)=0 (lub +/-∞);3.istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) limx→xof'(x)/g'(x) To istnieje granica limx→xof(x)/g(x)= limx→xof'(x)/g'(x) . Twierdzenie to jest słuszne w przypadku gdy pkt x0 jest niewłaściwy (∞ lub -∞), oraz jest słuszne dla granic jednostronnych.
4.Tw. Lagrange'a. Jeśli f-cja jest ciągła w przedziale domkniętym <a,b> i ma pochodną w przedziale (a,b) to istnieje pkt c∈(a,b) taki, że [f(b)-f(a)]/b-a=f'(c). + interpr. geom. Istnieje na wykresie f-cji taki pkt o współrzędnych (c,f(c)), że styczna do wykresu w tym pkcie jest równoległa do siecznej przechodzącej przez pkty (a,f(a)) i (b,f(b)). Tezę tw. Można zapisać w innej postaci: 1.przyjmując za a=x0 i b=x, wtedy ∃Q∈(0,1) f(x)-f(x0)=f'(x0+Q(x-x0))*(x-x0) 2.przyjmując za a=x0 i b=x0+dx, wtedy ∃Q∈(0,1) f(x0+dx)= f(x0)+f'((x0+Qdx)dx.
Wniosek: Jeśli f-cja f ma pochodną w przedziale I⊂R oraz 1. ∃x∈I f'(x)>0 to f-cja jest rosnąca w przedziale I. 2. ∃x∈I f'(x)<0 to f-cja jest malejąca w przedziale I. 3. ∃x∈I f'(x)=0 to f-cja jest stała w przedziale I.
5.Jeśli f-cja f ma pochodną n-tego rzędu w przedziale I⊂R to dla ustalonego pktu x0∈I i dowolnego punktu x∈I istnieje liczba Q∈(0,1) taka, że zachodzi wzór f(x)=f(x0)+[f'(x0)/1!] (x-x0)1+…+[fn-1(x0)/(n-1)!](x-x0)n-1 +Rn(x,x0) gdzie Rn(x,x0)=[fn(x0+Q(x-x0)/n!]*(x-x0)n. Uwaga: wzór Taylor'a można zapisać w innej postaci. Przyjmując za x=x0+dx ⇒ dx= x-x0 otrzymamy: f(x)=f(x0)+[f'(x0)/1!] dx1+…+[fn-1(x0)/(n-1)!]dxn-1 +[fn(x0+Qdx/n!]*dxn. Ze wzoru Taylor'a wynika, że dla wartości x bliskich x0 wartość f-cji f(x) można przybliżyć wielomianem n-1 stopnia, a więc f(x)=f(x0)+[f'(x0)/1!] (x-x0)1+…+[fn-1(x0)/(n-1)!](x-x0)n-1 dla x∈Q(x0,δ) gdzie δ bliskie zeru, przy czym moduł reszty |Rn(x,x0)| określa błąd tego przybliżenia.
6.Mówimy, że f-cja f ma w pkcie wew. x0∈D: a)maksimum lokalne(właściwe)⇔∃δ>0∀x∈S(xo,δ)f(x)≤(<)f(x0)
b) minimum lokalne (właściwe)⇔∃δ>0∀x∈S(xo,δ)f(x)≥(>)f(x0). Maksima i minima lokalne nazywamy ekstremami. Tw. (war.kon.) Jeśli f-cja f ma w pkcie wew. x0∈D ekstremum to f'(x0)=0. twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe np. f(x)=x3 ma pochodną f'(x)=3x2 taką że f'(0)=0 ale nie ma w pkcie x0 ekstremum.
7.(I war. dost.) Jeśli f-cja jest ciągła w pkcie wew. x0∈D i ma pochodną w sąsiedztwie S(x0,δ)=(x0-δ,x0) ∪ (x0,x0+δ) ⊂ D taką, że f'(x)>0 dla x∈(x0-δ,x0)
f'(x)<0 dla x∈(x0,x0+δ). Wniosek: Jeśli pochodna f-cji f'(x)>(<)0 dla x∈S(x0,δ)⊂ D, to f-cja nie ma ekstremum w pkcie x0.
(II war. dost.) Jeśli f-cja f ma n-tą pochodną parzystego rzędu w pkcie wew. (pewnym jego otoczeniu) x0∈D ciągłą w tym pkcie oraz f'(x0)=f''(x0)=…= fn-1(x0)=0 i fn(x0)>(<)0 to f-cja ma w pkcie x0 minimum (maks.) lokalne (właściwe). Dowód wynika z tw. Taylor'a.
8.(f-cja pierw.) Funkcją pierwotną f-cji f w przedziale I∈R nazywamy f-cję F określoną w tym przedziale, taką, że F(x)=f(x) dla x∈I. poszukiwanie f-cji pierwotnej danej f-cji jest operacją odwrotną do wyznaczania pochodnej.
Tw. (podst. o f-cjach pierw.) Każde dwie f-cje pierwotne F i G f-cji f w przedziale I⊂R różnią się f-cją stałą, co oznaczanie G(x)-F(x)=C dla x∈I. Dowód: Niech f-cje F i G będą pierwotne f-cji f(x) w przedziale I. Rozważmy f-cję (G-f-cji f)(x) dla x∈I. Ponieważ pochodna tej f-cji (G-F)'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 dla x∈I, to z wniosku 3 tw Lagrange'a wynika, że (G-F)(x)=C dla x∈I, stąd G(x)-F(x)=C. c.n.d.
Def. (całki nieozn.) Całką nieoznaczoną f-cji f w przedziale I⊂R nazywamy zbiór wsio f-cji pierwotnych f-cji f w przedziale I, który oznaczamy ⌠f(x)dx=F(x)+C, gdzie F jest f-cją pierwotną f-cji w przedziale I⊂R, a C jest dowolną stałą. Wyznaczanie f-cji pierwotnej danej f-cji nazywamy całkowaniem f-cji. O f-cji która ma w przedziale f-cję pierwotną mówimy, że jest całkowalna w tym przedziale.
9.(o całk. przez części) Jeśli f-cje u i v mają ciągłe pochodne w przedziale I⊂R, to zachodzi wzór ⌠u(x)v(x)dx= u(x)v(x)-⌠u'(x)v(x)dx dla x∈I. (o całk. przez podst.) t=h(x) Jeśli f-cja h ma ciągłą pochodną w przedziale I, a f-cja g jest ciągła w przedziale h(I), to zachodzi wzór ⌠g(h(x)) h'(x)dx=⌠f(t)dt dla x∈I.
10.(def. całki ozn. i wstęp) Niech f-cja f będzie określona i ograniczona w przedziale domkniętym <a,b>. Przedział domknięty dzielimy na n przedziałów dowolnie wybranymi punktami x0,x1,x2,…,xk-1,xk,…,xn przy czym a=x0, x0<x1, x1<x2,…xk-1<xk,...xn-1<xn, xn=b. opisany podział przedziału <a,b> na n przedziałów <xk-1,xk> dla k=1,2,…n oznaczamy symbolem πn, a więc πn={<xk-1,xk> dla k=1,2,…n}. Długość przedziału <xk-1,xk> oznaczamy przez Δxk,a więc Δxk= xk-1-xk dla k=1,2,…n. Największą z liczb Δxk dla k=1,2,…n nazywamy średnicę przedziału πn i oznaczamy przez δ(πn), a więc δ(πn)=maxΔxk (1≤k≤n). W każdym przedziale <xk-1,xk> dla k=1,2,…n wybieramy po jednym pkcie ck∈<xk-1,xk>. Tworzymy sumę całkową podziału πn, a więc S(πn)= n∑k=1f(ck)Δxk. Weźmy następnie ciąg podziałów πn przedziału <a,b> taki, że limn→∞δ(πn)=0, który nazywamy ciągiem podziałów normalnych. Def.: Jeśli dla każdego ciągu podziałów normalnych (πn) przedziału <a,b> i dowolnym wyborze pktów ck∈<xk-1,xk> dla k=1,2,…n ciąg sum całkowych S(πn) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej(skończonej), to granicę tę nazywamy całką oznaczoną Riemann'a f-cji f po przedziale <a,b> i oznaczamy a⌠bf(x)dx=limn→∞S(πn)=limn→∞n∑k=1f(ck)Δxk. Przedział <a,b> nazywamy przedziałem całkowania f-cji f, liczbę a nazywamy dolną granicą całkowania, liczbę b górną granicą, a f funkcją podcałkową. Jeśli całka z f-cji f po przedziale <a,b> istnieje, to mówimy że ta f-cja f jest całkowalna w sensie Riemann'a po przedziale <a,b>. Uwagi: 1.Jeśli f-cja f jest całkowalna w przedziale domkniętym, to jest ograniczona w tym przedziale (ale nie odwrotnie). Stąd wynika, że f-cja nieograniczona w przedziale nie jest w tym przedziale całkowalna, a f-cja ograniczona w przedziale może być całkowalna. 2.Istnieją f-cje ograniczone w przedziale domkniętym i nie są całkowalne np. f-cja Dirichletta: f(x)={ 0 dla x niewymiernych1dla x wymiernych jest ograniczona w przedziale domkniętym <a,b>, ale nie jest w tym przedziale całkowalna. 3.Każda f-cja ciągła w przedziale domkniętym jest w tym przedziale całkowalna.4.Istnieją f-cje ograniczone i nieciągłe w przedziale domkniętym, które są całkowalne w tym przedziale. F-cjami takimi są f-cje ograniczone posiadające tylko skończoną liczbę pktów nieciągłości w tym przedziale. 5.a⌠b1dx=b-a 6.Symbol całki można rozszerzyć a⌠af(x)dx=0, a⌠bf(x)dx=- b⌠af(x)dx gdy a>b.
11.(wł. całki ozn.) 1.Jeżeli f-cja f jest całkowalna na przedziale <a,b> i α∈R to f-cja αf jest też całkowalna na tym przedziale i zachodzi wzór a⌠bαf(x)dx=α a⌠bf(x)dx. 2.Jeżeli f-cje f i g są całkowalne na przedziale <a,b>, to f-cja f+g też jest całkowalna w tym przedziale i zachodzi wzór: a⌠b[f(x)+g(x)]dx= a⌠bf(x)dx+ a⌠bg(x)dx. 3.Jeśli f-cja jest całkowalna w przedziale <a,b> i c∈<a,b> to jest całkowalna na przedziałach <a,c> i <c,b> oraz zachodzi wzór a⌠bf(x)dx= a⌠cf(x)dx+ c⌠bf(x)dx. 4.Jeśli f-cje f i g są całkowalne na przedziale <a,b> oraz f(x)≤g(x) dla x∈<a,b> to zachodzi nierówność: a⌠bf(x)dx≤ a⌠bg(x)dx. 5.Jeśli f-cja f jest całkowalna na przedziale <a,b> to f-cja |f| jest też całkowalna na tym przedziale i zachodzi nierówność: |a⌠bf(x)dx|≤ a⌠b|f(x)|dx (tw. odwrotne nie jest prawdziwe). 6.Jeśli f-cja f jest całkowalna na przedziale <a,b> to zachodzą nierówności: m(b-a)≤ a⌠bf(x)dx ≤ M(b-a) gdzie m=inff(x) i M=supf(x) i x∈<a,b>.
Tw. (o wart. śr.) Jeśli f-cja f jest ciągła w przedziale <a,b>, to jest całkowalna w tym przedziale i istnieje pkt c∈<a,b> taki że zachodzi wzór a⌠bf(x)dx=f(c)(b-a). Liczbę f(c) nazywamy wartością średnią f-cji.
(I tw.gł. rachunku całkowego): Jeśli f-cja f jest ciągła w przedziale <a,b>, to f-cja F(x)=a⌠bf(t)dt dla x∈<a,b> ma pochodną w przedziale <a,b> oraz F'(x)=f(x) dla x∈<a,b>. Z powyższego tw. wynika, że f-cja F jest f-cją pierwotną do f-cji f w przedziale <a,b>. Dowód: obliczamy pochodną f-cji F w dowolnym pkcie x0∈<a,b>: F'(x)=limΔx→0[F(x+Δx)-F(x)]\ Δx=limΔx→0 a⌠x+Δxf(t)dt- a⌠xf(t)dt…=limΔx→0f(x+QΔx)=f(x) (z tw. o wart. średniej dla całki ozn.) (II tw.gł.) Jeśli f-cja f jest ciągła w przedziale <a,b>, a f-cja F jest f-cją pierwotną f-cji f w przedziale <a,b> to zachodzi wzór: a⌠bf(x)dx= F(x)|ab = F(b)-F(a). Z I tw. gł wynika, że f-cja F(x)= a⌠xf(t)dt dla x∈<a,b> jest f-cją pierwotną f-cji f w przedziale <a,b>. stąd wynika również, że F(b)=a⌠bf(t)dt, F(a)= a⌠af(t)dt=0 zatem mamy że a⌠bf(t)dt=F(b)-F(a) c.n.d.
12.Def. (całki niewł. I-go rodzaju) Niech f-cja f będzie określona w przedziale nieograniczonym <a,+∞> i będzie ograniczona oraz całkowalna w każdym przedziale <a,T > dla T∈(a,+∞). Całką niewłaściwą 1-go rodzaju f-cji f po przedziale <a,+∞) nazywamy granicę właściwą (skończoną), którą oznaczamy: a⌠+∞f(x)dx=limT→+∞ (a⌠Tf(x)dx). Gdy powyższa granica jest niewłaściwa albo nie istnieje to mówimy że całka niewłaściwa 1go rodzaju jest rozbieżna, a w przeciwnym przypadku że jest zbieżna. Podobnie definiuje się pozostałe całki niewłaściwe 1go rodzaju -∞⌠bf(x)dx=limT→-∞ (T⌠bf(x)dx)
-∞⌠+∞f(x)dx=limT→-∞ (T⌠af(x)dx) + limT→+∞ (a⌠Tf(x)dx)
13. Def. (II-go rodzaju) Niech f-cja f będzie określona w przedziale ograniczonym <a,b) i będzie nieograniczona w lewostronnym sąsiedztwie pktu b oraz całkowalna w każdym przedziale <a, dla T∈(a,b). Całką niewłaściwą 2-go rodzaju f-cji f po przedziale <a,b) nazywamy granicę właściwą, którą oznaczamy: a⌠bf(x)dx=limT→b-( a⌠Tf(x)dx). Gdy powyższa granica jest niewłaściwa lub nie istnieje to mówimy że całka niewłaściwa 2go rodzaju jest rozbieżna, a w przeciwnym przypadku, że jest zbieżna. Podobnie definiuje się pozostałe całki niewłaściwe 2go rodzaju z f-cji nieograniczonej w prawostronnym sąsiedztwie pktu a, lub z f-cji nieograniczonej w sąsiedztwie pktu c∈(a,b): a⌠bf(x)dx=limT→a+ (T⌠bf(x)dx) ; a⌠bf(x)dx=limT→c- (a⌠Tf(x)dx) + limS→c+ (S⌠bf(x)dx)
14. (zastosowanie geom) Pole obszaru płaskiego: Niech f-cje f i g będą ciągłe w przedziale <a,b> oraz f(x)≤g(x) dla x∈<a,b> [D: a≤x≤b ∧ f(x)<y≤g(x)]. Wtedy pole obszaru D wyraża się wzorem: |D|=a⌠b[g(x) -f(x)]dx. Długość łuku krzywej płaskiej: niech f-cja f będzie klasy C1 (ma pochodną i jest ciągła) w przedziale <a,b>. Wtedy długość łuku krzywej L:f(x) dla x∈<a,b> jest określona wzorem: |L|=a⌠b (√1+[f'(x)]2')dx. Objętość i pole pow. bocznej obszaru obrotowego: Niech f-cja będzie f-cją ciągłą w przedziale <a,b>. Objętość obszaru powstałego przez obrót krzywej L o równaniu y=f(x) dla x∈<a,b> dookoła osi X wyraża się wzorem: |V|=πa⌠b f2(x)dx. Niech f-cja f będzie klasy C1 w przedziale <a,b>. pole pow. bocznej obszaru powstałego przez obrót krzywej L o równaniu y=f(x) dla x∈<a,b> wokół osi X wyraża się wzorem: |P|=2πa⌠b |f(x)|[√1+(f'(x))2']dx.
15.Def. Szeregiem liczbowym nieskończonym utworzonym z ciągu lizbowego (an)=(a1+a2+…an+…) nazywamy formalną sumę wyrazów tego ciągu którą oznaczamy: n=1∑∞an=(a1+a2+…an)+an+1+…. Liczbę an nazywamy n-tym wyrazem tego szeregu a liczbę Sn=a1+a2+…an nazywamy n-tą sumą częściową szeregu. Def. Mówimy, że szereg liczbowy n=1∑∞an jest zbieżny wtedy, gdy ciąg sum częściowych Sn tego szeregu jest zbieżny do granicy skończonej (właściwej), co oznacza że limn→∞Sn=S. Liczbę S nazywamy sumą tego szeregu i zapisujemy że n=1∑∞an=S. Szereg który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym. Szereg zbieżny ma sumę, a rozbieżny nie ma sumy.
16.Tw. (kryterium całk.) Jeśli f-cja f jest nieujemna i ciągła w przedziale <n0,+∞) to szereg n=no∑∞f(n) jest zbieżny (rozbieżny) ⇔ gdy całka niewłaściwa: no⌠∞f(x)dx jest zbieżna (rozbieżna). (interpr. geom.) kryterium w przypadku gdy całka niewłaściwa jest zbieżna: (rys)+ ; n=0∑∞f(n)=f(n0)+ n=no+1∑∞f(n) to suma 0≤ n=no+1∑∞≤no⌠+∞f(x)dx<∞. Tw. (kryterium porów.) Jeśli istnieje takie n≥n0 to 0≤an≤bn oraz: a) szereg n=1∑∞bn jest zbieżny, to szereg n=1∑∞an też jest zbieżny. b) szereg n=1∑∞an jest rozbieżny, to szereg n=1∑∞bn też jest rozbieżny.
17.Def. Mówimy, że szereg zbieżny n=1∑∞an jest: a) zbieżny bezwzględnie gdy szereg modułów n=1∑∞|an| jest zbieżny. b) zbieżny warunkowo, gdy szereg modułów jest rozbieżny n=1∑∞|an|. Tw.(o zbieżności bezwzgl.) Jeżeli szereg n=1∑∞|an| jest zbieżny, to szereg bez modułów n=1∑∞an jest zbieżny (bezwzgl). Tw. (kryterium d'Alamberta) Jeśli istnieje granica skończona (właściwa) lub nieskończona (niewł.) limn→∞[an+1\an]=q oraz: 1. 0≤q<1 to szereg n=1∑∞an jest zbieżny bezwzględnie. 2. q>1 to szereg n=1∑∞an jest rozbieżny. 3. q=1 nic nie wiadomo. Tw. (kryterium Cauchyego) Jeśli istnieje granica skończona lub nieskończona limn→∞n√|an|' oraz: 1. 0≤q<1 to szereg n=1∑∞an jest zbieżny bezwzględnie. 2. q>1 to szereg n=1∑∞an jest rozbieżny. 3. q=1 nic nie wiadomo.
18.Def. (szeregi przemienne) Niech bn>0 dla n=1,2,…∞. Szereg liczbowy postaci n=1∑∞(-1)n+1bn =b1-b2+b3-b4+…(-1)n+1bn+… nazywamy szeregiem przemiennym. Tw. (kryterium Leibnitz'a) Jeśli: ∃n∈N bn>0; ∃n∈N bn+1≤bn (ciąg bn jest nierosnący); limn→∞ bn=0 to szereg przemienny n=1∑∞(-1)n+1bn jest zbieżny.
19.Def. (szeregi potęgowe) Szeregiem potęgowym o środku w pkcie x0 nazywamy szereg funkcyjny postaci: n=0∑∞an(x-x0)n=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+… Ustalone liczby rzeczywiste a0,a1,a2,…an,… nazywamy współczynnikami szeregu potęgowego. Łatwo zauważyć, że szereg potęgowy jest zawsze zbieżny w pkcie x=x0 (wtedy n=0∑∞ an(x-x0)n=a0). Def. Promieniem zbieżności szeregu potęgowego n=0∑∞ an(x-x0)n nazywamy liczbę R>0 taką, że szereg jest zbieżny w przedziale |x-x0|<R, a rozbieżny w zbiorze |x-x0|>R. Gdy szereg potęgowy jest zbieżny tylko w pkcie x0 to przyjmujemy, że R=0. Gdy szereg potęgowy jest zbieżny w każdym pkcie x∈(-∞,+∞), to przyjmujemy, że R=∞.
20.Tw. (o rozwijaniu f-cji w szereg potęgowy) Niech f-cja f będzie klasy C∞ w przedziale I⊂R. Wtedy dla ustalonego punktu x0∈I i dowolnego pktu x∈I i dowolnego n∈N istnieje liczba Q∈(0,1) taka, że zachodzi wzór Taylora. f(x)=f(x0)+[f'(x0)/1!] (x-x0)1+…+[fn-1(x0)/(n-1)!](x-x0)n-1 +Rn(x,x0) gdzie Rn(x,x0)=[fn(x0+Q(x-x0)/n!]*(x-x0)n dla x∈I. Jeśli dla ustalonego x∈I granica: limn→∞Rn(x,x0) to f-cję można przedstawić w postaci sumy szeregu potęgowego Taylor'a o środku w pkcie x0, a więc: f(x)=f(x0)+[f'(x0)/1!] (x-x0)1+…+[fn-1(x0)/(n-1)!](x-x0)n-1 ++…+[fn(x0)/n!](x-x0)n +... dla x∈I lub krótko: f(x)= n=0∑∞[f(n)(x0)/n!]*(x-x0)n dla x∈I. Gdy x0=0 to szereg Taylora nazywamy szeregiem Maclaurin'a