Definicja całki podwójnej:

Całką podwójną z funkcji f(x,y) na obszarze D nazywamy granicę ciągu sum całkowych Sn, jeśli ciąg podziałów obszaru D jest ciągiem normalnym a granica ta nie zależy od sposobu wyboru punktu Pi należącego do tego obszaru.

Właściwości całki podwójnej:

1. Addytywność:

jeżeli D = D1 u D2 to całka z funkcji f(x,y) jest równa:

∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫ f(x,y) dxdy + ∫∫ f(x,y)dxdy

D D1 D2

2. f(x,y) = f1(x,y) +f2(x,y)

∫∫f(x,y) = ∫∫ f1(x,y) + ∫∫ f2(x,y)

D D1 D2

3. Jeśli f(x,y) = c * f1(x,y)

∫∫ c* f(x,y) = c * ∫∫ f(x,y)

D D

Całka iterowana

b h(x) b h(x)

∫∫ f(x,y) dxdy = ∫ [ ∫ f(x,y)dy] dx = ∫ dx ∫ f(x,y) dy

D a g(x) a g(x)

Układy współrzędnych:

Biegunowych: x = rcos

y = rsin

dxdy = r d dr

Sferycznych: x = rcos sin

y = rsin sin

z = rcos

dxdydz = rsin d dr d

Walcowych (cylindrycznych):

x = rcos

x = rsin

x = z

dxdydz = r d dr dz

Przestrzeń probabilistyczna - to układ trzech elementów: (, S, P), gdzie

 - to pewien zbiór, przestrzeń zdarzeń elementarnych

S - σ-ciało, sigma ciało zdarzeń elementarnych

P - miara..

Własności prawdopodobieństwa (aksjomaty):

P(A) >= 0 dla każdego A należącego do zbioru σ - ciała na zbiorze .

P() = 1

P(ø) = 0

P(A1 + A2 +…+An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)

Prawdopodobieństwo warunkowe zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B) > 0 to iloraz prawdopodobieństwa części wspólnej zdarzeń A, B i prawdopodobieństwa zdarzenia B:

Twierdzenie Bayesa to twierdzenie teorii prawdopodobieństwa, wiążące prawdopodobieństwa warunkowe zdarzeń
oraz
. Na przykład, jeśli
jest zdarzeniem "u pacjenta występuje wysoka gorączka", a
jest zdarzeniem "pacjent ma grypę", twierdzenie Bayesa pozwala przeliczyć znany odsetek gorączkujących wśród chorych na grypę
i znane odsetki gorączkujących
i chorych na grypę
w całej populacji, na prawdopodobieństwo, że ktoś jest chory na grypę, gdy wiemy że ma wysoką gorączkę
.

Dystrybuanta - w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce i dziedzinach pokrewnych, funkcja rzeczywista jednoznacznie wyznaczająca rozkład prawdopodobieństwa (tj. miarę probabilistyczną określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów prostej), a więc zawierająca wszystkie informacje o tym rozkładzie. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa ponieważ, są obiektem prostszym niż rozkłady prawdopodobieństwa.

Rozkład normalny, zwany też rozkładem Gaussa, lub krzywą dzwonową, jest jednym z najważniejszych rozkładów prawdopodobieństwa. Odgrywa ważną rolę w statystycznym opisie zagadnień przyrodniczych, przemysłowych, medycznych, socjalnych itp.

Przyczyną jest jego popularność w naturze. Jeśli jakaś wielkość jest sumą lub średnią bardzo wielu drobnych losowych czynników, to niezależnie od rozkładu każdego z tych czynników, jej rozkład będzie zbliżony do normalnego, stąd można go bardzo często zaobserwować w danych. Ponadto rozkład normalny ma interesujące właściwości matematyczne, dzięki którym oparte na nim metody statystyczne są dość proste obliczeniowo.

Istnieje wiele równoważnych sposobów zdefiniowania rozkładu normalnego. Należą do nich: funkcja gęstości, dystrybuanta .

Dystrybuanta jest definiowana jako prawdopodobieństwo tego, że zmienna X ma wartości mniejsze bądź równe x i w kategoriach funkcji gęstości wyrażana jest (dla rozkładu normalnego) wzorem:

Całki powyższej nie da się obliczyć dokładnie metodą analityczną. W konkretnych zagadnieniach do obliczenia wartości dystrybuanty stosuje się zatem tablice statystyczne (bądź też odpowiednie kalkulatory czy oprogramowanie komputerów). Tablice zawierają dane dla dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego, tradycyjnie oznaczanej jako Φ i zdefiniowanej jako rozkład o parametrach μ = 0 i σ = 1:

Związek dystrybuanty Φ i dystrybuanty rozkładu normalnego X o dowolnie zadanych parametrach μ i σ otrzymuje się za pomocą standaryzowania rozkładu (zob. też poniżej).

Własności

1. Jeśli
   oraz
   są liczbami rzeczywistymi, to
   

2. Jeśli
   i
   oraz zmienne
   są niezależne, to
   

3. Jeśli
   są niezależnymi zmiennymi losowymi o standardowym rozkładzie normalnym, to zmienna
   ma rozkład chi-kwadrat z
   stopniami swobody.

Parametry rozkładu

• wartość oczekiwana:
  

• mediana:
  

• wariancja:
  

• odchylenie standardowe:
  

Centralne twierdzenie graniczne [edytuj]

Jedną z najważniejszych własności rozkładu normalnego jest fakt, że, przy pewnych założeniach, rozkład sumy dużej liczby zmiennych losowych jest w przybliżeniu normalny. Jest to tak zwane centralne twierdzenie graniczne.

W praktyce twierdzenie to ma zastosowanie jeśli chcemy użyć rozkładu normalnego jako przybliżenia dla innych rozkładów.

• Rozkład dwumianowy z parametrami
  jest w przybliżeniu normalny dla dużych
  i
  nie leżących zbyt blisko 1 lub 0. Przybliżony rozkład ma średnią równą
  i odchylenie standardowe
  

• Rozkład Poissona z parametrem
  jest w przybliżeniu normalny dla dużych wartości
  . Przybliżony rozkład normalny ma średnią
  i odchylenie standardowe
  

Dokładność przybliżenia tych rozkładów zależy od celu użycia przybliżenia i tempa zbieżności do rozkładu normalnego. Zazwyczaj takie przybliżenia są mniej dokładne w ogonach rozkładów.

---