Co to jest procent składany?

Czy wpłacić pieniądze do banku czy zainwestować je w przedsięwzięcie, kupić produkt na raty, czy za gotówkę, kupić obligacje Skarbu Państwa, czy papiery wartościowe na giełdzie? Te pytania zadaje sobie współczesny obywatel, a w udzieleniu na nie odpowiedzi może pomóc matematyka.

Procent prosty

Chcemy “pomnożyć” nasze pieniądze wpłacając je do banku. Banki stosują dwa rodzaje oprocentowania: według reguły procentu prostego lub składanego. W praktyce zasadę oprocentowania składanego stosuje się w bankowych transakcjach średnioterminowych i długoterminowych, zaś zasadę oprocentowania prostego przy transakcjach krótkoterminowych, na ogół nie dłuższych niż jeden rok. Przy regule procentu prostego odsetki rosną proporcjonalnie do długości okresu ich naliczania (nie podlegają kapitalizacji) i wynoszą:

K₀*r*n

gdzie:

K₀- początkowa wartość kapitału

r - roczna stopa procentowa

n - czas oprocentowania wyrażony w latach.

Przyszła wartość kapitału K, jako suma kapitału początkowego oraz doliczonych odsetek, wynosi zatem:

K = K₀(1 + r * n) (1)

Ze wzoru (1) wynika, że końcowa wartość kapitału jest funkcją liniową czasu oprocentowania, o wyrazie wolnym równym kapitałowi początkowemu K₀ i współczynniku kierunkowym prostej równym rocznym odsetkom K₀* r. Wartość kapitału rośnie w postępie arytmetycznym.

Ponieważ w tym wzorze wartość zmiennej n jest wyrażona w latach, to jeśli okres oprocentowania byłby wyrażony w dniach lub miesiącach, należy go przeliczyć na lata. W matematyce obowiązują pojęcia:

roku kalendarzowego (365 dni, a rok przestępny 366 dni)

roku bankowego (handlowego) liczącego 360 dni.

Za granicą, a również w naszym kraju, najczęściej stosowaną strategią przy obliczaniu okresu oprocentowania jest stosowanie tzw. reguły bankowej (Banker's Rule), która polega na obliczeniu długości okresu jako dokładnej liczby dni, a następnie zamianie dni na lata bankowe.

Problem 1

Obliczmy odsetki według reguły procentu prostego od kwoty 1000 złotych pożyczonej 15 stycznia 2002 roku i zwróconej 19 grudnia 2002 roku, przy stopie procentowej równej 10 % rocznie według czterech strategii:

według reguły bankowej

Od 15 stycznia 2002 roku do 19 grudnia tego roku upłynęło 338 dni.

Wartość odsetek P wynosi zatem:

P = 1000*0,1*

według reguły procentu dokładnego (dokładna liczba dni oprocentowania i dni w roku)

P = 1000*0,1*

według reguły procentu zwykłego, tzn. przyjmując, że każdy miesiąc ma 30 dni

P = 1000*0,1*

uwzględniając przybliżoną liczbę dni oprocentowania i dokładną liczbę dni w roku

P = 1000*0,1*

Najwyższy jest procent obliczony według reguły bankowej, czyli z punktu widzenia wierzyciela reguła bankowa jest najkorzystniejszym sposobem obliczenia odsetek.

Problem 2

Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy 500 zł po okresie 6 miesięcy, po roku i po dwóch latach, przy rocznej stopie procentowej r = 10 %, w przypadku oprocentowania prostego. Narysuj wykres zależności przyszłej wartości kapitału od czasu oprocentowania.

Odpowiednie wartości kapitału wynoszą:

- po pół roku K = 500*

- po roku K = 500*

- po dwóch latach K = 500*

Zależność przyszłej wartości kapitału K od czasu oprocentowania n [w latach] wyraża się wzorem:

K = 500*
(2)

K = 500 + 50*n

Rysunek 1. Zmiana wartości kapitału przy oprocentowaniu prostym

Procent składany

Najważniejszą cechą odróżniającą oprocentowanie składane od oprocentowania prostego jest kapitalizacja odsetek, która oznacza, że po upływie każdego okresu oprocentowania, odsetki dodaje się do kapitału początkowego i w następnym okresie odsetki oblicza się już od kapitału o zwiększonej wartości. W tej sytuacji odsetki przysługujące za następny okres są większe od odsetek za okres poprzedni, a nie - jak w przypadku oprocentowania prostego - identyczne we wszystkich okresach. Głównym atrybutem oprocentowania składanego jest więc kapitalizacja odsetek. Prześledźmy obliczanie procentu składanego i wzrost kapitału w kolejnych latach:

 

Tabela 1

Rok	Odsetki uzyskane w danym roku	Wartość kapitału po kapitalizacji odsetek
1	K0*r	K0 +K0*r =K0*(1+r)
2	K0*(1 + r)*r	K0 *(1+r)+K0*(1+r)*r =K0*(1+r)^2
3	K0*(1 + r)^2*r	K0*(1+ r)^2 + K0*(1+r)^2*r = K0*(1+r)^3

 

Uogólniając, można stwierdzić, że wartość kapitału po n latach wynosi:

K = K₀*(1 + r)ⁿ (3)

gdzie r - roczna stopa procentowa

n - czas oprocentowania w latach

Ciąg utworzony z wartości K danych wzorem (3) dla n = 0, 1, 2, .... jest ciągiem geometrycznym o ilorazie równym (1+r).

Problem 3

Jaką wartość kapitału otrzymamy po kolejnych latach, jeśli wpłacimy do banku 500 złotych. Bank oferuje roczną stopę procentową wynoszącą 10 % z roczną kapitalizacją odsetek. Narysuj wykres zależności przyszłej wartości kapitału od czasu oprocentowania.

W tym przykładzie wielkość odsetek i wartość kapitału w kolejnych latach będzie się przedstawiać następująco:

 

Tabela 2

Rok	Odsetki uzyskane w danym roku	Wartość kapitału po kapitalizacji odsetek
1	500*0,1 = 50	500 + 50 = 550
2	550*0,1 = 55	550 + 55 = 605
3	605*0,1 = 60,5	605 + 60,5 = 665,5
4	665,5*0,1 = 66,55	665,5 + 66,55 = 732,05
5	732,05*0,1 = 73,21	732,05 + 73,21 = 805,26

 Wartość kapitału po upływie dowolnej liczby lat możemy obliczyć bezpośrednio ze wzoru:

K = 500*(1,1)ⁿ

Rysunek 2. Zmiana wartości kapitału przy procencie składanym w dłuższych okresach czasu

 

Porównując wykresy funkcji liniowej (2) i określonej wzorem (4), zestawione na jednym rysunku (dla dłuższych okresów oszczędzania) widzimy, że szybciej rośnie kapitał przy naliczaniu odsetek zgodnie z regułą procentu składanego, niż przy naliczaniu ich zgodnie z regułą procentu prostego.

Rysunek 3. Porównanie zmian wartości kapitału w dłuższym okresie czasu

przy procencie prostym i składanym

Podsumujmy wyniki obliczeń z problemu 1 i problemu 2 zestawione w tabelach poniżej:

 

Tabela 3

Rok	Przyszłe wartości kapitału przy oprocentowaniu
	prostym: K = 500 + 50*n	składanym: K = 500*(1,1)^n
1	550	550
2	600	605
3	650	665,5
4	700	732,05
5	750	805,26

 

 

 

Tabela 4

Rok	Przyrosty wartości kapitału przy oprocentowaniu
	prostym		składanym
	absolutny	względny	absolutny	względny
1	50	0,1	50	0,1
2	50	0,991	55	0,1
3	50	0,077	60,5	0,1
4	50	0,071	66,55	0,1
5	50	0,067	73,21	0,1

 

Z analizy obu tabel wynika, że przy oprocentowaniu prostym absolutne przyrosty wartości kapitału są stałe w czasie, a względne przyrosty maleją wraz z czasem; natomiast przy oprocentowaniu składanym absolutne przyrosty wartości kapitału rosną wraz z czasem, zaś przyrosty względne są stałe w czasie.

 

Reguła 70

W praktyce często zachodzi potrzeba obliczenia czasu, w którym kapitał podwoi swoją wartość przy danej rocznej stopie procentowej r. Należy wtedy rozwiązać równanie wykładnicze:

K₀*(1 + r)ⁿ = 2*K₀

(1 + r)ⁿ = 2

By znaleźć dokładne rozwiązanie tego równania należy zastosować wiedzę dotyczącą logarytmów (zakres rozszerzony z matematyki).Logarytmując obie strony otrzymujemy:

n * log(1 + n) = log 2

n=

Jeżeli zamiast dokładnej wartości n wystarczy nam poznanie wartości przybliżonej, możemy skorzystać z tzw. reguły 70. Oto jej treść:

Przy rocznej stopie procentowej r wyrażonej w % i rocznej kapitalizacji odsetek, kapitał podwoi swoją wartość w czasie około
lat.

Problem 4

W ciągu ilu lat należy spodziewać się podwojenia średniego poziomu cen, jeżeli stopa inflacji wynosi 10 % rocznie?

Zgodnie z regułą 70 obliczamy, że podwojenie cen nastąpi po około
latach. Dokładny wynik jest rozwiązaniem równania:

(1,1)ⁿ = 2

n =

 

Podsumowanie

Z punktu widzenia wierzyciela reguła bankowa jest najkorzystniejszym sposobem obliczenia czasu oprocentowania. Przy oprocentowaniu prostym wartość kapitału rośnie w postępie arytmetycznym, natomiast przy oprocentowaniu składanym w postępie geometrycznym. Po okresie dłuższym niż okres podstawowy kapitalizacji, przy tej samej stopie procentowej, szybciej rośnie kapitał przy oprocentowaniu składanym. Do wyznaczenia przybliżonej wartości okresu podwojenia kapitału można stosować regułę 70.

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania:1,2,4,5-8, 10 str. 192-193 z podręcznika.

---