6.1. Określ dziedzinę lewą, prawą i pole następujących relacji:

a) {<a, a〉, <a, b〉, <a, c〉, <b, d〉},

b) x okradł y,

c) x jest przełożonym y,

d) x jest wyższy od y,

e) x jest bratem y,

f) x jest tej samej płci co y,

g) x jest w innym wieku niż y,

h) x należy do tej samej partii co y,

i) x wynika logicznie z y (w zbiorze zdań).

6.2. Określ własności formalne następujących relacji:

a) x jest dzieckiem y,

b) x jest przeciwnej płci niż y,

c) x ma tyle samo lat co y,

d) x jest starszy od y,

e) x jest starszy o 10 lat od y,

f) x jest starszy o co najmniej 10 lat od y,

g) x kocha y,

h) x ⊆ y (w zbiorze zbiorów),

i) x # y (w zbiorze zbiorów),

j) {<a, a〉, <b, b〉, <c, c〉, <d, d〉, <a, b〉, <b, a〉 <b, c〉, <c, b〉 <a, c〉, <c, a〉} ( U = {a, b, c, d})

k) {<a, a〉, <c, c〉, <a, b〉, <b, c〉} ( U = {a, b, c, d})

l) {<b, a〉, <a, b〉, <c, a〉 <a, d〉, <c, b〉 <b, d〉, <d, c〉} ( U = {a, b, c, d})

6.3. Przyjmując relacje: xRy ≡ x i y są przeciwnej płci, xSy ≡ x i y kochają się wzajemnie, xTy ≡ x i y są małżeństwem, określ relacje:

a) S' ∩ T

b) R - T

c) T - S'

d) T - R'

e) T' - S'

f) (T ∪ S)'

6.4. Określ konwers (relację R^-1) następujących relacji:

a) x jest dziadkiem y,

b) x kocha y,

c) x ma tyle samo lat co y,

d) x jest wyższy od y.

6.5. Jakie zachodzą stosunki pomiędzy następującymi relacjami: xRy ≡ x jest starszy o 2 lata od y, xSy ≡ x jest starszy o 5 lat od y, xTy ≡ x jest starszy o co najmniej rok od y, xQy ≡ x jest mężem y.

6.6. Do następujących relacji R dobierz relacje S, T, Q, P, takie że: S ⊆ R, R ⊆ T, Q )( R, P # R:

a) xRy ≡ x jest bratem y,

b) xRy ≡ x jest o rok starszy od y,

c) xRy ≡ x jest przeciwnej płci niż y.

Odpowiedzi:

6.1.

a) D_L(R) = {a, b}, D_P(R) = {a, b, c, d}, P(R) = {a, b, c, d},

b) D_L(R) = zbiór osób, które kogoś okradły, D_P(R) = zbiór osób, które zostały okradzione, P(R) = zbiór osób które kogoś okradły lub zostały okradzione,

c) D_L(R) = zbiór osób będących czyimś przełożonym, D_P(R) = zbiór osób mających przełożonego, P(R) = zbiór osób będących przełożonym lub mających przełożonego,

d) D_L(R) = zbiór wszystkich ludzi za wyjątkiem najniższego, D_P(R) = zbiór wszystkich ludzi za wyjątkiem najwyższego, P(R) = zbiór wszystkich ludzi,

e) D_L(R) = zbiór mężczyzn mających rodzeństwo (osób będących czyimś bratem), D_P(R) = zbiór osób mających brata, P(R) = zbiór osób będących czyimś bratem lub mających brata,

f) D_L(R) = D_P(R) = P(R) = zbiór wszystkich ludzi,

g) D_L(R) = D_P(R) = P(R) = zbiór wszystkich ludzi,

h) D_L(R) = D_P(R) = P(R) = zbiór ludzi należących do jakiejkolwiek partii,

i) D_L(R) = D_P(R) = P(R) = zbiór wszystkich zdań.

6.2.

a) przeciwzwrotna, asymetryczna, nieprzechodnia, niespójna,

b) przeciwzwrotna, symetryczna, nieprzechodnia, niespójna,

c) zwrotna, symetryczna, przechodnia, (równoważność), niespójna,

d) przeciwzwrotna, asymetryczna, przechodnia, niespójna,

e) przeciwzwrotna, asymetryczna, nieprzechodnia, niespójna,

f) przeciwzwrotna, asymetryczna, przechodnia, niespójna,

g) ani zwrotna, ani przeciwzwrotna, ani symetryczna, ani asymetryczna, nieprzechodnia, niespójna,

h) zwrotna, słabo asymetryczna, przechodnia, niespójna,

i) przeciwzwrotna, symetryczna, nieprzechodnia, niespójna,

j) zwrotna, symetryczna, przechodnia, (równoważność), niespójna,

k) ani zwrotna, ani przeciwzwrotna, słabo asymetryczna, nieprzechodnia, niespójna,

l) przeciwzwrotna, ani symetryczna, ani asymetryczna, nieprzechodnia (jest dRc, cRa, a nie ma dRa), spójna.

6.3.

a) x i y są niekochającym się małżeństwem,

b) x i y są przeciwnej płci, ale nie są małżeństwem,

c) x i y są kochającym się małżeństwem,

d) x i y są małżeństwem (heteroseksualnym),

e) x i y nie są małżeństwem, ale się kochają,

f) x i y nie kochają się i nie są małżeństwem.,

6.4.

a) y jest wnukiem x,

b) y jest kochany przez x,

c) y ma tyle samo lat co x,

d) y jest niższy od x.

6.5.

R )( S, R ⊆ T, R # Q, S ⊆ T, S # Q, T # Q.

6.6. Przykładowe rozwiązania:

a)

xSy ≡ x jest starszym bratem y,

xTy ≡ x jest rodzeństwem y,

xQy ≡ x jest ojcem y,

xPy ≡ x jest młodszy od y,

b)

xSy ≡ x jest o rok starszym bratem y,

xTy ≡ x jest starszy od y,

xQy ≡ x jest młodszy od y,

xPy ≡ x jest mężem y,

c)

xSy ≡ x jest kobietą, a y mężczyzną,

xTy ≡ x jest tej samej lub innej płci niż y,

xQy ≡ x jest tej samej płci co y,

xPy ≡ x zna y.

4

---