I. Liczy Zespolone

liczby uzyskane jako rozszerzenie ciała liczb rzeczywistych o jednostkę urojoną i od której wymaga się, aby spełniała warunek i² = − 1. Każda z nich może być zapisana jako a + bi, gdzie a,b są liczbami rzeczywistymi nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą oraz częścią urojoną.

Liczby zespolone stanowią ciało, określone są więc dla nich działania dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Działania są rozszerzeniem odpowiednich działań w liczbach rzeczywistych i mają wiele eleganckich i użytecznych własności, np. ujemne liczby rzeczywiste mogą być uzyskane przez podniesienie do kwadratu (urojonych) liczb zespolonych.

Liczby zespolone mogą być przedstawione jako pary liczb tworzące wektor na płaszczyźnie zespolonej

II. Postać algebraiczna (kanoniczna)

Postać a + bi nazywa się postacią algebraiczną liczby zespolonej.

Występująca tu jednostka urojona i spełnia równość

i² = − 1,

Spotykany czasami, a pochodzący od tej równości zapis
jest niepoprawny, gdyż istnieją dwa pierwiastki algebraiczne z liczby − 1, mianowicie i oraz − i.

Dla liczb zespolonych postaci z = a + bi mamy:

• 
  nazywane częścią rzeczywistą,

• 
  nazywane częścią urojoną.

Przykładowo liczba 7 − 5i jest liczbą zespoloną, której część rzeczywista wynosi 7, a część urojona − 5. Każdą liczbę rzeczywistą można uważać za liczbę zespoloną o części urojonej równej 0.

Dwie liczby zespolone zapisane w postaci algebraicznej są równe, gdy odpowiednio ich części rzeczywiste i urojone są równe.

Liczby postaci z = 0 + bi określa się mianem liczb urojonych.

III. Działania

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje na wyrażeniach algebraicznych; należy tylko pamiętać o równości i² = − 1:

.

Aby podzielić przez siebie dwie liczby zespolone, wystarczy pomnożyć dzielną i dzielnik przez liczbę sprzężoną do dzielnika (analogicznie do usuwania niewymierności z mianownika w wyrażeniach algebraicznych):

IV .Płaszczyzna zespolona

Liczbom zespolonym można przyporządkować wzajemnie jednoznacznie wektory na płaszczyźnie (zob. sekcję formalna konstrukcja), podobnie jak utożsamia się wektory na prostej z liczbami rzeczywistymi (w obu przypadkach można utożsamiać również same punkty, gdyż wspomniane wektory zaczepia się w początku układów współrzędnych).

Każdej więc liczbie zespolonej z = a + bi można przyporządkować wektor
i odwrotnie. Działania dodawania i mnożenia w liczbach zespolonych odpowiadają następującym działaniom na wektorach:

• (a,b) + (c,d) = (a + c,b + d),

• (a,b)(c,d) = (ac − bd,bc + ad).

Tak określoną płaszczyznę określa się mianem płaszczyzny zespolonej. Interpretacja ta, dla której w specjalny sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku Wesselowi, mimo to przez długi czas jej autorstwo przypisywało się Argandowi, stąd też wspomnianą płaszczyzną nazywa się również płaszczyzną Arganda. Inną spotykaną nazwą jest też płaszczyzna Gaussa.

V. Moduł

Zauważmy, iż długość wektora
jest równa z twierdzenia Pitagorasa
. Dla liczby z moduł definiujemy jako
. Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej spełniając przy tym definicję normy.

VI.Argument

Niech φ oznacza kąt, który wektor
tworzy z prostą
, oznaczmy go przez
. Jest to tzw. argument. Widać, iż
i
. Liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć tylko jeden moduł.

Argument liczby z spełniający nierówność
(czasami też równoważnie
) oznacza się przez
i nazywa argumentem głównym (wartością główną argumentu). W ten sposób
jest już funkcją na jeden z powyższych zbiorów nieokreśloną jedynie dla
. Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz π dla ujemnych.

VII.Postać trygonometryczna

Liczba zespolona może być zatem wyrażona przez długość jej wektora (moduł) oraz jego kąt skierowany (argument):

.

Powyższą postać liczby zespolonej nazywa się postacią trygonometryczną (z powodu użycia funkcji trygonometrycznych), biegunową (jest przedstawieniem liczby zespolonej we współrzędnych biegunowych) lub geometryczną (prowadzi do geometrycznej interpretacji liczb zespolonych na płaszczyźnie). Warto zauważyć, że postać algebraiczna odpowiada współrzędnym prostokątnym.

Liczby zespolone w postaci trygonometrycznej są równe, gdy ich moduły i argumenty są równe, tj. z = a + bi oraz u = c + di są równe, gdy

oraz

.

Wzory pozwalające na przejście od postaci trygonometrycznej do algebraicznej są oczywiste:

.

Przejście odwrotne jest nieco bardziej skomplikowane:

,

.

Powyższy wzór posiada dużo przypadków, jednakże w wielu językach programowania istnieje wariant funkcji arcus tangens, często nazywany arctan2, który przetwarza je wewnętrznie. Wzór korzystający z funkcji arcus cosinus wymaga mniejszej liczby przypadków:

.

VIII.Mnożenie

Warto zwrócić uwagę na mnożenie liczb w postaci trygonometrycznej, niech

x = | x | (cosα + isinα)

y = | y | (cosβ + isinβ)

Wówczas iloczyn

.

Stosując odpowiednie tożsamości trygonometryczne otrzymujemy ostatecznie

..,

co oznacza, że iloczyn dwóch liczb zespolonych posiada moduł będący iloczynem modułów mnożników oraz argument równy sumie argumentów mnożonych liczb.

Mnożenie przez i można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt
.

IX.Wzór de Moivre'a

Potęgowanie za pomocą mnożenia liczb zespolonych w postaci algebraicznej prowadzi do obliczenia wartości wyrażenia (a + bi)ⁿ dla danego wykładnika n przy warunku i² = − 1. Mimo że można korzystać z własności trójkąta Pascala, to porządkowanie tego wyrażenia może okazać się czasochłonne. Zwykle działanie to łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej.

Rozpatrzmy z = | z | (cosφ + isinφ). Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór

zⁿ = | z | ⁿ(cosφ + isinφ)ⁿ = | z | ⁿ(cosnφ + isinnφ).

Powyższy wzór jest również pomocny przy obliczaniu n-tej potęgi funkcji sin i cos - należy wówczas obliczyć zⁿ przy | z | = 1.

X.Pierwiastkowanie

Wzór de Moivre'a jest prawdziwy również dla liczb wymiernych. Każda liczba zespolona
posiada n różnych pierwiastków n-tego stopnia:

, gdzie
oraz φ = arg(z).

XI.Postać wykładnicza

Rozpatrzmy liczbę z = | z | (cosφ + isinφ) wyrażając funkcje sin i cos za pomocą funkcji wykładniczej (zob. wzory Eulera):

Mamy
.

Zatem ostatecznie z = | z | (cosφ + isinφ) = | z | e^iφ.

Pierwiastki zespolone wyrażają się wówczas wzorem

dla
.

XII Sprzężenie

Niech z = a + bi = | z | (cosφ + isinφ) = | z | e^iφ. Bardzo ważną operacją jest sprzężenie liczby zespolonej, jest ona najprostsza dla liczby w postaci algebraicznej:

Działanie to powoduje odbicie wektora liczby zespolonej względem osi OX płaszczyzny zespolonej. Zatem liczba w postaci trygonometrycznej zachowa moduł, lecz jej argument ulegnie zmianie na 2π − φ lub równoważnie - zmieni on znak na przeciwny. Skoro postać wykładnicza również zależy od modułu oraz argumentu, ta sama obserwacja dotyczy i jej. Prawdą jest też, że sprzężenie liczby rzeczywistej (liczby zespolonej o zerowej części urojonej) jest równe tej liczbie.

Sprzężenie przeprowadza izomorficznie ciało liczb zespolonych na siebie, jest zatem automorfizmem. Oprócz tożsamości jest to jedyny ciągły automorfizm tego ciała, moc zbioru nieciągłych automorfizmów wynosi zaś
. Działanie sprzężenia zespolonego jest inwolucją:
.

XIII.Relacja porządku

Choć można sztucznie wprowadzić jakiś porządek liczb zespolonych (np. porządek leksykograficzny), to jednak taka relacja nie została określona i szerzej przyjęta. Nie da się bowiem sformułować jej w taki sposób, aby w zbiorze liczb zespolonych spełniała aksjomaty ciała uporządkowanego, jak w przypadku liczb rzeczywistych. Tak więc nie da się określić, która z dwóch liczb jest większa lub mniejsza. Można natomiast porównywać ich moduły oraz argumenty (główne), gdyż zarówno moduł jak i argument liczby zespolonej są liczbami rzeczywistymi.

Przykłady

Przedstawmy liczbę
(zob. sekcję dot. konstrukcji) w postaciach: algebraicznej, trygonometrycznej (biegunowej) i wykładniczej obliczając za każdym razem jej sprzężenie.

• Postać algebraiczna:

,

.

Obliczamy

,

,

,

.

• Stąd postać trygonometryczna u oraz
  to

,

,

• zaś wykładnicza

,

.

---