Wielomiany

W zadaniach 1-5 zaznacz prawidłową odpowiedź i rozwiąż zadania 6-8.

1. Wartość wielomianu W(x) = x³ + 1 dla argumentu
- 1 wynosi:

a)2
b) 5
- 6 c) 3
- 6 d) 5.

2. Liczby -1, 1 oraz 3 są pierwiastkami wielomianu W(x) stopnia trzeciego i W(5) = -96. Zatem współczynnik przy x³ ma wartość równą:

a) -0,5 b) 2 c) 0,5 d) -2.

3. Liczba pierwiastków wielomianu W(x) = (x⁴ + 9)(16x² + 81)(x² + x - 8) wynosi:

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6.

4. Suma wszystkich współczynników wielomianu W(x) = (x² + 2x - 4)²⁰¹⁰ - (1 - x - x²)²⁰⁰⁹ jest równa:

a) 2 b) 4019 c) 0 d) 2010 ⋅ 2009.

5. Wielomian W(x) = x³ + 12x² + bx + a ma pierwiastek trzykrotny. Wobec tego:

a)
b)
c)
d)

6. Dany jest wielomian W(x) = x³ + 3x² - 4.

a) Rozłóż wielomian W(x) na czynniki liniowe. Podaj pierwiastki wielomianu i określ ich krotność.

b) Zbadaj, czy istnieją takie wartości a i b, aby wielomiany W(x) oraz Q(x) = (x + a)(x² + bx + 1) były równe. Jeśli istnieją, to wyznacz je.

7. Dany jest wielomian W(x) = -3x³ + m²x² + 5x - 2, gdzie m jest parametrem i m ∈ R.

a) Dla jakich wartości parametru m, reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian
(x - 2) jest równa 20?

b) Ustal wzór wielomianu W(x), jeśli wiadomo, że jednym z pierwiastków tego wielomianu jest liczba -1. Następnie oblicz pozostałe pierwiastki wielomianu W(x).

8. Liczby a i b są liczbami pierwszymi i liczba b jest o 3 większa od liczby a. Podwojony sześcian liczby a jest o 9 mniejszy od kwadratu liczby b. Ułóż równanie z niewiadomą a. Wyznacz liczby spełniające warunki zadania.

W zadaniach 1-5 zaznacz prawidłową odpowiedź i rozwiąż zadania 6-8.

1. Stopień wielomianu W(x) = (3x⁵ + 1)(6x⁴ - 7)² jest równy:

a) 5⁴ b) 40 c) 13 d) 4⁵.

2. Wielomian W(x) = -3x⁴ + 3 nie jest podzielny przez:

a) -3x + 3 b) 6x - 6 c) x² + 1 d) x - 3.

3. Liczba różnych rozwiązań równania 2x⁴ = 6x³ wynosi:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4.

4. Wielomiany W(x) = ax(ax + 1)² oraz P(x) = 8x³ + 8x² + 2x są równe wtedy, gdy:

a) a = 1 b) a = 2 c) a = 4 d) a = 8.

5. Liczba -3 jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu
W(x) = (x² - 9)(x² + 6x + 9)(x³ + 27)(x² + 9). Zatem:

a) k = 2 b) k = 3 c) k = 4 d) k = 5.

6. Dany jest wielomian W(x) = 27x⁴ + 54x³ - x - 2.

a) Rozłóż wielomian W(x) na czynniki możliwie najniższego stopnia.

b) Podaj przykład wielomianu stopnia drugiego, który ma dwa pierwiastki i jest dzielnikiem wielomianu W(x).

c) Wyznacz iloraz i resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) = 9x² - 3.

d) Rozwiąż równanie W(x) = 27x⁴ + 51x³.

7. Dany jest wielomian W(x) = (x² - a)(x - 4) z parametrem a, gdzie a ∈ R. Oblicz wartość parametru a, jeśli wiadomo, że:

a) reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x + 2 wynosi 24

b) wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x) = x² - x - 12

c) wielomiany W(x) oraz Q(x) = x³ - 4x² - x + 4 mają takie same pierwiastki

d) wielomian W(x) ma pierwiastek wielokrotny. Podaj ten pierwiastek.

8. Krawędzie podstawy prostopadłościennego pudełka mają długość mniejszą od wysokości pudełka odpowiednio o 10 cm oraz 20 cm. Objętość pudełka jest równa 6 litrów. Wyznacz wymiary pudełka w decymetrach.

---