Rachunek zdań, kwantyfikatory, definicje i twierdzenia.

Zdaniami w logice nazywamy zdania orzekające, o których można powiedzieć, że są prawdziwe lub fałszywe (to znaczy można określić wartość logiczną zdania).

Np. Łódź jest stolicą Polski (zdanie fałszywe)

Kot jest ssakiem (zdanie prawdziwe)

Zdania proste można łączyć funktorami zdaniotwórczymi:
(lub),
(i),
(jeżeli...to...), ,
 (nieprawda, że...), tworząc w ten sposób zdanie złożone.

Zdania proste zapisujemy: p, q, r, s,

1. zdanie ~ p (nieprawda, że p) nazywamy zaprzeczeniem (negacją zdania).

Negacja zmienia wartość logiczną zdania na przeciwną

Zdanie: Dzisiaj jest wtorek (prawda) i jego negacja: Nieprawda, że dzisiaj jest wtorek (fałsz).

2. zdanie p
   q (p i q) nazywamy koniunkcją zdań p i q. Koniunkcja zdań jest prawdziwa, gdy oba zdania są prawdziwe. W przeciwnym wypadku jest fałszywa.

Koniunkcją zdań: Warszawa jest stolicą Polski (prawda). Warszawa leży nad Wisłą (prawda), jest zdanie: Warszawa jest stolicą Polski i leży nad Wisłą.

3. Zdanie p
   q (p lub q) nazywamy alternatywą zdań p i q. Alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa, gdy co najmniej jedno ze zdań jest prawdziwe, a fałszywa, gdy obydwa zdania są fałszywe.

Alternatywą zdań: Zakopane leży w górach (prawda). Zakopane leży nad morzem (fałsz) jest zdanie: Zakopane leży w górach lub nad morzem (prawda).

4. Zdanie p
   q (jeżeli p to q) nazywamy implikacją zdań p i q. Zdanie p nazywamy poprzednikiem implikacji, zdanie q jej następnikiem. Implikacja jest fałszywa tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy.

Implikacją zdań: Dzisiaj jest niedziela (fałsz). Nie idę do szkoły (prawda), jest zdanie: Jeżeli dzisiaj jest niedziela to nie idę do szkoły (prawda).

5. Zdanie p
   q (p wtedy i tylko wtedy gdy q) nazywamy równoważnością zdań p i q. Równowartość jest prawdziwa gdy zdania p i q są obydwa prawdziwe, albo obydwa fałszywe.

Równoważnością zdań: Punkt x jest równo odległy od ramion kąta. Punkt k leży na dwusiecznej kąta, jest zdanie: Punkt k jest równo odległy od ramion kąta wtedy i tylko wtedy, gdy leży na dwusiecznej tego kąta.

Niektóre prawa rachunku zdań.

~
~

Prawa de Morgana

~

~

Prawo podwójnego przeczenia.

Prawa przemienności

Prawa łączności

Prawa rozdzielności

Prawa tautologii

Kwantyfikatorami nazywamy zwroty: “dla każdego x” i oznaczamy symbolem

(kwantyfikator ogólny),

“istnieje x, takie że” i oznaczamy symbolem
(kwantyfikator szczegółowy).

np:
x^2≥ 0 (dla każdej liczby rzeczywistej x jej kwadrat jest liczbą nieujemną).

oraz
x²=4 (istnieje taka liczba rzeczywista, że jej kwadrat jest równy 4)
(istnieją dwie takie liczby x₁=2, x₂=-2

Definicje i twierdzenia

Wśród pojęć matematycznych wyróżniamy takie, których nie określamy - pojęcia pierwotne (np: punkt, liczba, zbiór) oraz takie, które należy określić czyli zdefiniować.

Definicja jest wyrażeniem opisującym znaczenie określonego terminu przy pomocy pojęć pierwotnych lub wcześniej zdefiniowanych.

np: równoległobokiem nazywamy czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

Dwie definicje tego samego pojęcia nazywamy równoważnymi.

Matematyka jest sformułowana w twierdzeniach. Mają one zwykle postać implikacji p
q.

Zdanie p jest założeniem twierdzenia, a zdanie q jego tezą.

Aksjomaty (pewniki) są twierdzeniami, które przyjmujemy bez dowodu. Wszystkie pozostałe twierdzenia wymagają dowodu.

W dowodzie wprost, wychodzimy od założeń twierdzenia, uważając je wszystkie za prawdziwe i wyciągając kolejne wnioski, dochodzimy do prawdziwości tezy.

Np.: twierdzenie: Niech a, b, c będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi to:

a>b
a+c>b+c

dowód: a>b
a-b>0
a+c-b-c>0
a+c-(b+c)>0
a+c>b+c. C.n.d.

Dowód nie wprost polega na uznaniu założeń twierdzenia za prawdziwe i dołączeniu do nich hipotezy, która jest zaprzeczeniem tezy twierdzenia. Następnie, poprzez kolejne wnioski, uznajemy koniunkcję założeń i tejże hipotezy za fałszywą, lub zdanie z niej wynikające za fałszywe. Ponieważ założenia twierdzenia uznaliśmy za prawdziwe, zatem zaprzeczenie tezy jest fałszem, a to oznacza, że prawdziwa jest teza twierdzenia.

Np.: Twierdzenie: Liczba
jest liczbą niewymierną.

dowód: Przypuśćmy, że liczba
jest liczbą wymierną, to znaczy, że
gdzie p i q są liczbami całkowitymi. Z tego wynika że,
=2, czyli p²=2q², a zatem p p=2q q. Jeżeli liczby p i q rozłożymy na czynniki pierwsze, czynnik 2 występuje w iloczynie p p parzystą liczbę razy (taką samą liczbę razy w każdym czynniku p), lub nie występuje wcale, a w iloczynie 2 q q nieparzystą liczbę razy. Zatem obydwa iloczyny nie mogą być równe. Z tego wynika, że
nie jest liczbą wymierną. C.n.d.

Jeżeli zdanie w postaci p
q nazwiemy twierdzeniem prostym, to zdanie q
p nazwiemy twierdzeniem odwrotnym, ~p
~q twierdzeniem przeciwnym, a zdanie ~q
~p twierdzeniem przeciwstawnym lub kontrapozycją twierdzenia. Twierdzenia proste i przeciwstawne są jednocześnie prawdziwe, albo jednocześnie fałszywe. Analogicznie, twierdzenie odwrotne i twierdzenie przeciwstawne.

Stąd wniosek, że zamiast dowodzić dane twierdzenie, można dowieść jego kontrapozycję.

Inną metodą dowodzenia jest zasada indukcji matematycznej, która zostanie omówiona w rozdziale X.

---