Procedura testu Liunga-Boxa (dokładniejsza niż integralna D-W)

Statystyka portfelowa- testuje brak autokorelacji dla dowolnego modelu.

Hipotezy: H₀ :pj = 0

H₁ :pj ≠ 0

Statystyka:

T- liczba obserwacji

P - autokorelacja rzędu j

Test Jarquea - Bery (JB)

Testowanie normalności rozkładu reszt

Hipotezy:

H₀: F(u_i) = F_N(u_i)

H₁: F(u_i) ≠ F_N(u_i)

Statystyka testu:

→ b. p. d. o. H₀. Rozkład składnika losowego jest rozkładem normalnym

→ hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej. Rozkład składnika losowego nie jest rozkładem normalnym

Testem alternatywnym dla testu JB jest test zgodności chi-kwadrat.

Test Fishera - Snedecora (F)

Hipotezy:

H₀: σ_² = σ_²

H₁: σ_² ≠ σ_²

Statystyka testowa

Statystyka F jest zbieżna do rozkładu Fishera- Snedecora o n₁, n₂ ssw

u₁ = n₁ - (k+1)

u₂ = n₂ - (k+1)

F ≥ F_ → hipoteza zerowa odrzucona na korzyść hipotezy alternatywnej. Oznacza to, że wariancje prób istotnie różnią się od zera, co oznacza heteroscedastyczne składniki losowe

F < F_ → b. p. d o. H0. Wariancja składników losowych jest jednorodna. Oznacza to, że składniki losowe modelu mają charakter homoscedastyczny

Wybór modelu poprzez kryterium informacyjne:

1. Kryterium informacyjne Akaike'a (AIC): \

T - liczba obserwacji

- estymator wariancji reszt uzyskany metodą największej

wiarygodności

k - liczba szacowanych parametrów

Wybrany zostaje model, dla którego AIC jest najmniejsze.

2. Bayesowskie rozszerzenie minimum AIC (BIC):

Kryterium BIC koryguje skłonność AIC do używania zbyt dużej liczby parametrów

- estymator wariancji szeregu czasowego

Wybrany zostaje model, dla którego BIC jest najmniejsze.

Jeżeli AIC i BIC mają wartości minimalne dla różnych rzędów opóźnień, wybierając model należy kierować się kryterium BIC.

WYKŁAD

Prognozowanie

• zdarzenie nastąpi, ponieważ nastąpiło w przeszłości

• zdarzenie nastąpi, ponieważ wskazuje na to częstość jego występowania

• zdarzenie nastąpi, ponieważ wskazuje na to silne powiązanie z innymi zdarzeniami, które wystąpiły

metody takie jak prognoza naiwna i średnia ruchoma umożliwiają budowę prognoz tylko na jeden okres przyszłości

Metody mechaniczne

1. prognoza naiwna

• zastosowanie: w przypadku, gdy zmienna prognozowana wskazuje stały przeciętny poziom przy niewielkich wahaniach przypadkowych, którego poziom mierzony jest współczynnikiem zmienności

• zalety: prostota obliczeń, brak efektu postarzania informacji

• wady: możliwa jest budowa jedynie prognoz krótkoterminowych, nie stosuje się jej w przypadku gdy zmienna wykazuje wahania sezonowe

metoda naiwna: Y_t* = Y_t-1

współczynnik zmienności:

S - odchylenie standardowe zmiennej prognozowanej

- średnia arytmetyczna zmiennej prognozowanej

• ocena trafności prognozy (błąd ex post)

(prognoza trafna jeżeli błąd ex post nie będzie większy od 5 % )

2. średnia ruchoma

• zastosowanie: w przypadku, gdy zmienna prognozowana wykazuje trend i wahania przypadkowe

• zalety: prostota obliczenia; umożliwia wygładzenie szeregu czasowego; stanowi wstępną metodę obróbki szeregu czasowego, brak efektu postarzania informacji

• wady: możliwa jest budowa jedynie prognoz krótkoterminowych, średniej ruchomej nie stosuje się w przypadku gdy zmienna prognozowana wykazuje wahania sezonowe

_\

średnia ruchoma:

k - okres średniej ruchomej

Im wyższy okres k średniej ruchomej, tym gładszy, ale zarazem krótszy szereg teoretyczny,

im niższy okres k średniej ruchomej, tym słabiej wygładzony szereg czasowy ale jednocześnie odpowiednio długi, okres k średniej ruchomej wybierany jest w oparciu o kryterium minimalizacji dowolnego błędu ex post prognoz wygasłych.

Błędy prognoz ex post

• cechy błędów: wartość błędu nie ulega zmianie wraz ze wzrostem horyzontu prognozy, liczone są zawsze na podstawie prognoz wygasłych, istnieją modele dla których nie można obliczyć niektórych błędów z uwagi na założenia teoretyczne modelu

bezwzględny błąd prognozy liczony na moment t:

względny błąd prognozy (procentowy)

ME - średni błąd ex post:

MAE - średni absolutny błąd bez postarzania

MSE - średni kwadratowy błąd ex post

RMSE - pierwiastek błędu średnio kwadratowego ex post

MPE - średni błąd procentowy ex post

MAPE - średni absolutny błąd procentowy prognoz ex post

Prognozy na podstawie modelu ekonometrycznego:

Zgromadzono następujące dane :

• Y_t - zgony niemowląt na 1000 urodzeń żywych

• X_1t - spożycie wódki czystej i gatunkowej w przeliczeniu na alkohol 100% w litrach na osobę w ciągu roku

• X_2t - PKB na jednego mieszkańca w $

na podstawie danych oszacowano dla X_1t:

Y_t = -0,24t + 4,19 + u_t

w latach 92' - 2000 spożycie alkoholu spadało średnio rzecz biorąc o 0,24 jednostki

w roku 91 przeciętne spożycie alkoholu wynosiło 4,19 jednostki

prognoza dla t=10: Y_t = 1,79

prognozy dla X_1t i X_2t podstawiamy do wyznaczonego modelu, obliczamy błędy predykcji.

Modelowanie zmiennych jakościowych

Wybrane zagadnienia przy modelowaniu których stosowane są zmienne jakościowe:

• determinanty zatrudnienia bezrobotnych,

• modelowanie wyboru zawodu,

• czynniki determinujące decyzje konsumentów dotyczące zakupu określonego dobra,

• kondycja finansowa przedsiębiorstwa,

• identyfikacja zmiany trendu określonej zmiennej.

Zmienne jakościowe w modelu mogą pełnić rolę zmiennych endogenicznych oraz zmiennych objaśniających.

W modelowaniu ekonometrycznym zmiennych jakościowych można wyróżnić podejścia:

• metody polegające na wyznaczeniu prawdopodobieństwa wystąpienia danej kategorii zmiennej jakościowej w zależności od określonych czynników

• metody polegające na określeniu reguł postępowania mającego na celu przyporządkowanie obiektów do populacji odpowiadającej danej kategorii cechy/zmiennej

Jakościowa zmienna endogeniczna reprezentowana jest przez sztuczną zmienną, która może:

• przyjmować różne przypisane jej wartości (zgodnie z przyjętą skalą pomiaru)

• stanowić zmienną o charakterze dychotomicznym, czyli tzw zmienną zero-jedynkową

Do podstawowych modeli regresji, które wykorzystują zmienne zero-jedynkowe w roli zmiennych endogenicznych zalicza się: liniowy model prawdopodobieństwa, mający ścisły związek z funkcją dyskryminacyjną

W przypadku, gdy zmienna endogeniczna modelu ekonometrycznego jest zmienną tzw ukrytą - zmienna, której wartości nie można bezpośrednio obserwować; to stanowi to podstawę do formowania:

1. modele logitowe

2. modele probitowe

Modele z dychotomiczną zmienną endogeniczną:

Przyjmijmy, zę Y oznacza zero-jedynkową zmienną losową

p = F(₀ + ₁X₁ + … + _kX_k + )

p^* = F(b₀ + b₁X_1t + … + b_kX_ik)

Szacowanie parametrów modelu z wykorzystaniem MNK:

1. y_i = ₀ + x+ u_i

2. obliczanie wagi:
   

Wady modelu:

• wagi mogą okazać się ujemne

• składniki losowe nie mają rozkładu normalnego, pojawia się problem ze stosowaniem testów klasycznych istotności parametrów

• w wielu przypadkach wartość warunkowa E(y_i|x_i) = ₀ + x_i może leżeć poza przedziałem <0,1>

Model probitowy

W modelu probitowym funkcja F jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego N(0,1)

Model dany jest jako:

p = F(₀ + ₁X₁+...+_kX_k + )

Probitem nazywać będziemy wielkość daną jako:

Pr = ^-1 (p) +5 = ^-1(P(Y=1)) +5

Szacowanie parametrów modelu probitowego:

• UMNK

• metoda największej wiarygodności

Model logitowy

p =

Logitem, czyli funkcją odwrotną do funkcji F nazywamy wyrażenie postaci:

L =

Przekształcenie L sprowadza zależność prawdopodobieństwa p (zmiennej endogenicznej) od zmiennych objaśniających do postaci liniowej

L = ₀ + ₁X₁ + … + _kX_k + 

Szacowanie parametrów modelu:

• UMNK

• metoda największej wiarygodności

UMNK modelu probitowego

Wektor ocen parametrów strukturalnych dla modelu probitowego uzyskany UMNK dany jest jako:

b = (X'V^-1X)^-1X'V^-1Pr gdzie b - wektor ocen parametrów strukturalnych

Przykład modelu probitowego - odległość metodą Warda

Miary dopasowania modeli:

• R²

• R² = 1 -
  

• R² McFaddena

Uwaga: wymagane jest aby w liczniku znalazła się większą wartość estymatora wariancji składnika losowego

Można je policzyć

po wygaśnięciu

prognozy

---