Seminarium I

Pomiar wielkości fizycznych

1. Wielkości fizyczne i ich jednostki

2. Pomiar wielkości fizycznych

3. Błędy pomiarów

4. Ocena błędów pomiarów

5. Rozkład statystyczny w pomiarach biologicznych

6. Reguły obliczania błędów w pomiarach pośrednich

7. Reguły podawania wyników

1. Wielkości fizyczne i ich jednostki

Podstawową metodą poznania w naukach przyrodniczych jest obserwacja. W celu dokonania ilościowego opisu zachodzących wokół nas zjawisk przeprowadzamy doświadczenia i dokonujemy pomiarów wielkości fizycznych. Każdy pomiar fizyczny sprowadza się do porównania mierzonej wielkości z jej wzorcem, czyli jednostką. W wyniku takiego porównania otrzymujemy liczbę, która określa ile razy jednostka zawiera się w mierzonej wielkości. Rodzaj stosowanych jednostek zależy od wielkości fizycznych, które są mierzone.

Prawa fizyki wiążą ze sobą różne wielkości fizyczne jak i jednostki fizyczne przy pomocy których wielkości te są wyrażone. Można więc wyróżnić zestaw kilku podstawowych jednostek, przy pomocy których można wyrazić wszystkie inne, stosowane w praktyce jednostki. W zależności od tego, które z jednostek przyjmiemy za podstawowe, jednostki wielkości fizycznych będą tworzyły różne układy jednostek. Jednostki podstawowe i pochodne można wybrać dowolnie, ale najlepiej zrobić to w taki sposób, aby było jak najmniej współczynników liczbowych we wzorach wyrażających prawa fizyczne.

Wszystkie przyrządy pomiarowe są kalibrowane bezpośrednio lub pośrednio względem wzorców jednostek podstawowych. Wzorce te są co pewien czas przedefiniowywane, w miarę wzrostu precyzji pomiarów.

Przykład 1.1.

W roku 1889 zdefiniowano wzorzec metra jako odległość pomiędzy dwoma rysami na irydowo-platynowym kształtowniku znajdującym się w Międzynarodowym Biurze Miar w Sèvres pod Paryżem. W 1960 zdefiniowano metr jako wielokrotność długości pomarańczowej linii ⁸⁴Kr, a w 1983 - długość drogi przebytej przez światło w czasie 1/299792458 s.

W Polsce od 1967 roku obowiązuje Międzynarodowy Układ Jednostek Miar - SI (Système International d'Unites). Układ SI oparty jest na siedmiu jednostkach podstawowych:

1. metr

2. kilogram

3. sekunda

4. amper

5. kelwin

6. mol

7. kandela

i dwóch jednostkach uzupełniających:

1. radian

2. steradian

Dopuszczono również stosowanie wielokrotności i podwielokrotności jednostek podstawowych (Tabela 1.1). Wielokrotności i podwielokrotności jednostek podstawowych określa się poprzez dodanie do nazwy jednostki stosownego przedrostka. Z przyczyn historycznych kilogram jest jedyną jednostką podstawową układu SI w nazwie której występuje przedrostek.

Tabela 1.1.

Wielokrotności i podwielokrotności jednostek układu SI. W tabeli zawarto jedynie te przykłady, które mają zastosowanie praktyczne.

Przedrostek	Wielokrotność	Oznaczenie
giga	10^9 (1 000 000 000)	G
mega	10^6 (1 000 000)	M
kilo	10^3 (1 000)	k
hekto	10^2 (100)	h
deka	10^1 (10)	da
decy	10^-1 (0.1)	d
centy	10^-2 (0.01)	c
mili	10^-3 (0.001)	m
mikro	10^-6 (0.000 001)	µ
nano	10^-9 (0.000 000 001)	n

Oprócz jednostek układu SI dopuszczono do stosowania jeszcze kilka innych jednostek (jednostki pozaukładowe). Mogą być one stosowane zamiennie z jednostkami układu SI. Są to m.in.:

1. godzina

2. minuta

3. doba

4. rok

5. tona

6. litr

Ograniczona liczba jednostek podstawowych pozwala na określanie jedynie kilku wielkości fizycznych. W przypadku pozostałych wielkości fizycznych tworzy się tzw. jednostki pochodne. Jednostki pochodne tworzone są w oparciu o równania fizyczne wiążące wielkości fizyczne. Aby określić jednostkę pochodną należy daną wielkość fizyczną wyrazić przy pomocy wielkości, które uznaje się w układzie SI za podstawowe (Przykład 1.2).

Przykład 1.2.

Do określania prędkości w układzie SI stosuje się jednostkę nazywaną metr na sekundę. Prędkość nie jest uznawana za wielkość podstawową, a więc musi być wyrażona przy pomocy wielkości podstawowych. Jak wiemy prędkość (v) opisuje długość drogi (dr) przebytej w określonym czasie (dt). Można więc napisać, że:

(1.1)

Z równania (1.1) wynika definicja jednostki prędkości używanej w układzie SI. W liczniku po prawej stronie równania (1.1) znajduje się wielkość wyrażana przy pomocy metra, a w mianowniku znajduje się wielkość, której jednostką jest sekunda, stąd „metr na sekundę”.

Jak wiadomo w praktyce używa się najczęściej bardziej wygodnych jednostek prędkości jak np. kilometry na godzinę (km/h).

Mimo tego, że układ SI jest układem obowiązującym na mocy umów międzynarodowych w starszych pracach fizycznych i podręcznikach stosowane są jednostki układu CGS (Centymetr-Gram-Sekunda) i MKGS (Metr-Kilogram-Sekunda). W praktyce wielkości fizyczne wyrażamy korzystając z jednostek pochodzących z różnych układów (Przykład 1.3). Każdy układ jednostek przyjmuje inne jednostki wielkości podstawowych, w konsekwencji różne są również jednostki pochodne (Przykład 1.4).

Przykład 1.3.

W praktyce istnieje kilka sposobów wyrażania temperatury, ale najważniejsze są skale Celciusza i Kelwina (SI). Posługujemy się w nich odpowiednio stopniami Celciusza (°C) i Kelwinami (K), i tak na przykład:

36.7 °C = (273.15 + 36.7) K = 309,85 K

W układzie SI ciśnienie wyraża się w pascalach (Pa), w medycynie używa się milimetrów słupa rtęci (mmHg), a w technice atmosfer (atm). Niekiedy stosuje się również bary (bar) lub tory (Tr). I tak:

1 atm = 760 mmHg = 760 Tr = 1.1013 bar = 101300 Pa

W różnych układach stosuje się różne jednostki energii. W układzie SI obowiązuje dżul (J), w układzie CGS stosowano calorię (cal). W fizyce stosuje się również elektronowolt (eV).

1 J = 0,24 cal = 0,624·10¹⁹ eV

Również w przypadku mocy stosuje się na co dzień różne jednostki. Moc silników spalinowych wyraża się zwykle w koniach mechanicznych (KM), a moc silników elektrycznych i innych urządzeń elektrycznych w watach (W) lub kilowatach (kW).

100 KM = 73.6 kW

Przykład 1.4.

Siła jest wyrażana w układzie SI przy pomocy newtonów (N) natomiast w układzie CGS stosowano jednostkę zwaną dyna (dyn).

10 N = 10⁶ dyn

Definicje w/w jednostek są następujące:

(1.2)

(1.3)

2. Pomiar wielkości fizycznych

Pomiar wielkości fizycznej polega na porównaniu jej z jednostką tej wielkości. W efekcie otrzymujemy liczbę, która podaje ile razy jednostka zawiera się w mierzonej wielkości. Pomiar może być bezpośredni lub pośredni. Pomiar bezpośredni polega na bezpośrednim pomiarze badanego parametru przy pomocy urządzenia lub przyrządu pomiarowego. W pomiarach pośrednich mierzymy wielkości, od których zależy badany parametr i na tej podstawie obliczamy jego wartość. Błąd pomiaru wielkości mierzonych bezpośrednio jest konsekwencją precyzji stosowanych urządzeń pomiarowych. W przypadku wielkości mierzonych pośrednio błąd pomiaru zależy od błędów poszczególnych pomiarów bezpośrednich z których korzysta się obliczając badany parametr.

Przykład 2.1.

Mierząc linijką średnicę (d) znamienia na skórze dokonujemy pomiaru bezpośredniego. W przypadku pomiaru powierzchni znamienia (A) (przyjmujemy, że ma kształt koła) mierzymy najpierw linijką jego średnicę, a następnie obliczamy powierzchnię korzystając z zależności: A=π(d/2)². Powierzchnia jest więc mierzona pośrednio.

Aby precyzyjnie wyznaczyć wielkość fizyczną powinno się wielokrotnie powtórzyć jej pomiar. W wyniku tej procedury otrzymujemy serię wyników pomiarów x₁, x₂, ... , x_n. Nie znamy prawdziwej wartości wielkości x, ale za najbardziej prawdopodobną wartość przyjmujemy średnią arytmetyczną z uzyskanych wyników.

(2.1)

Poszczególne pomiary różnią się od średniej o
. Ponieważ odchylenia te mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne ich suma w przybliżeniu jest równa zero:

(2.2)

Rozkład wyników pomiarów można przedstawić graficznie przy pomocy histogramu. Histogram przedstawia zależność liczby wyników pomiarów z danego przedziału wartości od wartości środka przedziału. Najczęściej histogram pomiarów przedstawia się w postaci wykresu słupkowego. Wysokość poszczególnych słupków określa liczbę wyników obserwowanych w danym przedziale wartości (rys.2.1a).

a) b)

Rys. 2.1. Przykładowy histogram pomiarów długości. Kolejne pomiary były odczytywane z dokładnością do 1 mm (a). Histogram z rysunku (a) przybliżony krzywą Gaussa (b).

Dla dużej liczby pomiarów (n > 30) histogram może być przybliżony funkcją rozkładu normalnego. Krzywa rozkładu normalnego opisana jest funkcją Gaussa (rys. 2.1b):

(2.3)

Jak widać ze wzoru (2.3) funkcja Gaussa charakteryzowana jest dwoma parametrami:
oznacza średnią z wyników pomiarów (wzór 2.1), a σ jest związane z szerokością krzywej i jest równe:

(2.4)

Parametr σ nazywamy odchyleniem standardowym pojedynczego pomiaru. Wewnątrz przedziału (x-σ, x+σ) zawiera się 2/3 wykonanych pomiarów, w przedziale (x-2σ, x+2σ) około 95%, a w przedziale (x-3σ, x+3σ) ponad 99% pomiarów. Odchylenie standardowe opisuje rozrzut wyników pomiarów wokół wartości średniej, może więc służyć do określenia błędu Δx z jakim wyznaczamy wielkość fizyczną. Im przyrząd jest dokładniejszy a liczba pomiarów większa, tym odchylenie standardowe jest mniejsze. Im σ jest mniejsze tym rozrzut pomiarów jest mniejszy, a krzywa Gaussa węższa i wyższa.

3. Błędy pomiarów

Pomiary rzeczywiste zawsze obarczone są błędem; oznacza to, że wynik każdego pomiaru wielkości fizycznej odbiega od jej wartości rzeczywistej. Rozróżniamy trzy rodzaje błędów pomiarów:

1. błędy grube - omyłki. Np.: linijka, którą mierzymy długość pręta ma dwie skale: do pomiaru w centymetrach i w calach. Omyłkowo odczytujemy długość na skali calowej a zapisujemy w centymetrach.

2. błędy systematyczne - przy wielokrotnych pomiarach tej samej wielkości pozostają stałe. Pośród kilku typów błędów systematycznych najczęściej spotyka się tzw. błędy aparaturowe. Charakteryzują one przyrządy pomiarowe, w zależności od zastosowanego urządzenia błąd aparaturowy może być równy:

• połowę najmniejszej działki skali przyrządu (np. 0,5 mm dla linijki),

• wartość działki skali dla urządzeń ze wskazówką poruszającą się skokowo (1 s dla sekundnika),

• dla urządzeń z wyświetlaczem cyfrowym każdy przyrząd powinien mieć podaną w instrukcji procentową wartość błędu pomiaru przy czym błąd nie może być mniejszy niż ± 1 ostatniego miejsca na wyświetlaczu (Przykład 3.1).

3. błędy przypadkowe - błędy, których wartość bezwzględna i znak zmieniają się przy wielokrotnych pomiarach jednej i tej samej wielkości. Mogą być subiektywne (np. błąd paralaksy) i obiektywne (np. pyłki osiadające na szalce czułej wagi analitycznej). Błędy przypadkowe redukujemy powtarzając wielokrotnie pomiar, a do ich oceny stosujemy metody rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej.

Przykład 3.1

Mierzymy napięcie zużytej baterii przy pomocy woltomierza cyfrowego. W instrukcji napisano, że błąd pomiaru dla zakresu 20V, który wykorzystujemy podczas pomiaru wynosi 1% wartości zmierzonej. Przy zakresie 20V nasz miernik wyświetla tylko jedną cyfrę po przecinku. W wyniku pomiaru otrzymujemy wartość napięcia 1,2V. Błąd wynikający z podanej przez producenta dokładności wynosi 1% z 1,2V, czyli 0,012V. Ponieważ jednak „1” na ostatnim miejscu wyświetlacza daje 0,1V, jako błąd przyjmujemy tę wartość.

4. Ocena błędów pomiarów

Wykonujemy n pomiarów wielkości fizycznej x, w wyniku uzyskujemy kolejno wartości x₁, x₂, ... , x_n. Ostateczny wynik pomiaru przedstawiamy w postaci
, gdzie
to średnia arytmetyczna (wzór 2.1), a Δx nazywamy błędem bezwzględnym pomiaru wielkości x. Można się również spotkać z pojęciem błąd względny. Jest on określany jako stosunek błędu bezwzględnego do wartości wyniku. Najczęściej wyraża się go w procentach:

(4.1)

W przypadku wielokrotnego pomiaru obarczonego jedynie błędem przypadkowym przyjmuje się, że błąd pomiaru wynosi:

(4.2)

gdzie σ oznacza odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru (wzór 2.4). Błąd taki nazywany jest błędem standardowym pomiaru, albo średnim błędem kwadratowym średniej i oznacza się go jako
. Jak widać ze wzoru (4.2) błąd wielkości mierzonej w przypadku występowania tylko błędów przypadkowych można minimalizować poprzez zwiększanie liczby pomiarów.

Jeżeli wyliczony błąd standardowy pomiarów jest mniejszy niż błąd aparaturowy, to jako błąd pomiaru podajemy błąd aparaturowy. W przeciwnym razie podajemy jako błąd pomiaru błąd standardowy, albo poprzez zwiększanie liczby pomiarów obniżamy go do wartości mniejszej niż błąd aparaturowy.

5. Rozkład statystyczny w pomiarach biologicznych

Wielokrotne powtarzanie pomiarów pozwala osiągnąć wysokie dokładności pomiaru w przypadku większości wielkości fizycznych. Podejście takie nie sprawdza się w przypadku cech biologicznych. Cechy biologiczne wykazują znaczne zróżnicowanie osobnicze, ponadto ich wartości zależą od wielu czynników i mogą zmieniać się w czasie nawet dla pojedynczych przypadków.

Przykład 5.1.

Mierząc tętno dorosłych ludzi otrzymujemy wartości różniące się między sobą ale nie zupełnie dowolne. Obserwowane praktycznie wartości tętna zawierają się w granicach 50 - 100 uderzeń na minutę. Tętno jest cechą osobniczą każdego człowieka i zależy od sprawności fizycznej, budowy ciała, ogólnego stanu zdrowia itd.

Rozkłady wartości cech biologicznych bada się metodami statystycznymi. W tym celu:

1. ustala się populację osobników wykazujących daną cechę (np. tętno studentów w wieku 20-22 lata),

2. losowo wybiera się grupę z badanej populacji,

3. określa się liczebność próby (liczba osób w grupie),

4. dla każdej osoby mierzona jest wartość cechy,

5. oblicza się wartość średnią i odchylenie standardowe.

Rozkład badanej cechy w grupie opisujemy podając liczebność grupy, średnią wartość cechy i średni błąd kwadratowy średniej. Pewne dodatkowe informacje na temat rozkładu cechy można uzyskać na podstawie analizy jego histogramu.

Przykład 5.2.

W celu wyznaczenia rozkładu wartości tętna wśród osób w wieku 20-22 lata wybrano 29-cio osobową grupę studentów i zbadano ich tętno. W wyniku badania uzyskano następujące wyniki: 53, 56, 58, 60, 61, 61, 63, 64, 64, 65, 66, 66, 68, 69, 70, 71, 71, 72, 72, 72, 72, 73, 74, 74, 77, 80, 81, 85, 85. Na podstawie wyników sporządzono histogram pokazany na rys. 5.1. Pomiary klasyfikowano w przedziałach co 5 uderzeń na sekundę. Obliczono średnią i średni błąd kwadratowy średniej dla wykonanych pomiarów. W wyniku obliczeń otrzymano średnie tętno równe 69,1 uderzeń na sekundę, oraz średni błąd kwadratowy średniej równy 1,5. Zgodnie z regułami zaokrąglania wyników pomiarów ostateczny wynik pomiaru wynosi 69 ± 2 Hz.

Rys. 5.1. Histogram rozkładu tętna w 29-cio osobowej grupie studentów. Wartość średnia wynosi 69 Hz, odchylenie standardowe 8Hz, a średni błąd kwadratowy średniej 2 Hz.

6. Reguły obliczania błędów w pomiarach pośrednich

W przypadku pomiarów pośrednich wielkości y (czyli w sytuacji kiedy y wyznacza się jako funkcję zależną od innych wielkości mierzonych bezpośrednio
) błąd Δy oblicza się na podstawie błędów
. Istnieją ścisłe reguły obliczania błędów wielkości mierzonych pośrednio w oparciu o rachunek różniczkowy. Poniżej podajemy bez wyprowadzenia jedynie metody obliczania błędów w najprostszych przypadkach.

Jeżeli wielkość mierzona pośrednio jest sumą (lub różnicą!) wielkości mierzonych bezpośrednio (wzór 6.1), to jej błąd równy jest sumie błędów poszczególnych wielkości mierzonych bezpośrednio (wzór 6.2).

(6.1)

(6.2)

Przykład 6.1.

W przypadku, gdy nie dysponujemy wystarczająco długą linijką do pomiaru szerokości stołu d możemy ją zmierzyć w dwóch etapach. Najpierw odkładamy całą długość linijki zaznaczając ją, a następnie mierzymy pozostały odcinek. W wyniku dostajemy dwie wartości np. a = 50,0 cm i b = 15,7 cm zmierzone z dokładnością określoną poprzez najmniejszą działkę linijki. W tym przypadku Δa = Δb = 0,05 cm. Błąd pomiaru szerokości będzie równy sumie błędów pomiaru wielkości a oraz b, czyli: Δd = Δa + Δb = 0,05 cm + 0,05 cm = 0,1 cm. wynik powinien być podany w następującej formie: d = 65,7 ± 0,1 cm.

Przykład 6.2.

Przypuśćmy, że ważymy określoną objętość cieczy. W tym celu wykorzystujemy wagę elektroniczną której dokładność określono w instrukcji obsługi jako 1%. W pierwszej kolejności ważymy naczynie do którego wlejemy ciecz uzyskując w wyniku m_n = 89 ± 1 g (reguły podawania wyników i błędów opisano w rozdziale 7). Następnie do naczynia wlewamy badaną ciecz i ważymy naczynie z cieczą uzyskując m_n+c = 184 ± 2 g. Masa cieczy stanowi różnicę pomiędzy obydwoma wynikami: m_c = m_n+c - m_n = 184 g - 89 g = 95 g.

Błąd pomiaru masy cieczy Δm_c jest sumą (!) błędu pomiaru masy naczynia z cieczą Δm_n+c oraz błędu pomiaru pustego naczynia Δm_n. A zatem: Δm_c = Δm_n+c + Δm_n = 2 g + 1 g = 3 g. Masa badanej cieczy wynosi więc 95 ± 3 g.

Innym prostym przypadkiem jest sytuacja, gdy mierzona pośrednio wielkość jest iloczynem wielkości mierzonych bezpośrednio (wzór 6.3). W takiej sytuacji można obliczyć błąd względny wielkości mierzonej pośrednio na podstawie błędów względnych wielkości mierzonych bezpośrednio (wzór 6.4), a następnie obliczyć szukany błąd bezwzględny (wzór 6.5).

(6.3)

(6.4)

(6.5)

Przykład 6.3.

Załóżmy, że chcemy znać pole powierzchni stołu A. Jak wiadomo pole powierzchni prostokąta oblicza się jako iloczyn długości jego boków: A=ab. W wyniku pomiaru bezpośredniego otrzymujemy długości a = 60,0 ± 0,1 cm, oraz b = 120,0 ± 0,1 cm. Obliczone pole powierzchni wynosi: A = 60,0 cm × 120,0 cm = 7200,0 cm². W celu obliczenia błędu powierzchni obliczamy najpierw sumę błędów względnych a i b (wzór 6.4): ΔA/A = Δa/a + Δb/b, czyli ΔA/A = 0,1/60,0 + 0,1/120,0 = 0,3/120,0. Stąd obliczamy na podstawie wzoru (6.5) ΔA = 7200,0 cm² × 0,3/120,0 = 18 cm². Zgodnie z zasadami podawania wyników podajemy: A = 7200 ± 20 cm².

7. Reguły podawania wyników

Współczesne urządzenia wykorzystywane do obliczeń są w stanie wykonywać obliczenia z bardzo wysoką dokładnością. W wyniku dzielenia za pomocą kalkulatora otrzymujemy na przykład dziesięć miejsc po przecinku. W przypadku pomiarów podawanie liczb będących wynikiem obliczeń z dokładnością oferowaną przez urządzenie nie ma sensu wobec ograniczonej dokładności pomiarów (Przykład 7.1). Ostatnia cyfra znacząca wyniku powinna być tego samego rzędu (stać na tym samym miejscu dziesiętnym ) co błąd pomiaru (Tabela 7.1).

Przykład 7.1.

W wyniku obliczeń otrzymano wartość wielkości mierzonej pośrednio jako 72,3256789113. Błąd tej wielkości obliczono natomiast jako 2. W tym przypadku nie ma sensu podawanie dziesięciu miejsc po przecinku skoro dokładność pomiaru jest rzędu jedności. Wynik obliczeń powinien być w tym przypadku zaokrąglony na pierwszej pozycji na lewo od przecinka. Prawidłowo podany wynik powinien wyglądać następująco: 72 ± 2.

Tabela 7.1.

Przykłady określania miejsc znaczących w wynikach obliczeń.

Wynik obliczeń	Oszacowany błąd pomiaru po zaokrągleniu	Wynik obliczeń po usunięciu zbędnych miejsc dziesiętnych i zaokrągleniu.
72,3256789113	2	72
72,3256789113	0,2	72,3
72,3256789113	0,02	72,33
7232,56789113	10	7230
7232,56789113	100	7200
7,23256789113 10^5	0,3 10^5	7,2 10^5

Zarówno obliczony błąd pomiaru jak i wynik powinny być w odpowiedni sposób zaokrąglone (a nie po prostu obcięte). Błędy pomiarowe zwykle zaokrągla się na pierwszym miejscu znaczącym od lewej. Na pracowni biofizycznej przyjmujemy regułę, że błąd zaokrągla się zawsze w górę.

Wynik pomiaru zaokrągla się na tym samym miejscu znaczącym co błąd. Wynik zaokrągla się w dół lub w górę w zależności od wartości obcinanej pozycji dziesiętnej. Jeśli obcinana cyfra jest mniejsza od „5”, wynik zaokrąglamy w dół. Jeśli obcinana pozycja dziesiętna jest większa niż „5”, wynik zaokrąglamy w górę. W przypadku, gdy obcinana cyfra jest równa „5” bierze się pod uwagę kolejne cyfry. W praktyce stosuje się różne reguły w sytuacji kiedy „5” jest ostatnią cyfrą. Niektóre źródła sugerują zaokrąglanie w dół inne w górę. Na pracowni biofizycznej przyjmiemy regułę, że „5” zaokrągla się w taki sposób, by ostatnia pozostawiona w wyniku cyfra była parzysta. W tabeli 7.2 podano kilka przykładów zaokrąglania wyników pomiarów i ich błędów.

Tabela 7.2.

Przykłady zaokrąglania wyników obliczeń i ich błędów.

Obliczony wynik	Obliczona wartość błędu	Ostateczny wynik
10,435879	0,05674	10,44 ± 0,06
10,435879	0,433245	10,4 ± 0,5
10,435879	1,459876	10 ± 2
123,5	5,7657	124 ± 6
124,5	5,7657	124 ± 6
123,4012	5,7657	123 ± 6
123,6012	5,7657	124 ± 6

11

---