Wzory 8

 

WZORY 8:   zmienne losowe - statystyki z próby, estymatory - o rozkładach dokładnych, określonych przez stopnie swobody

Część I: Statystyki o rozkładzie t-Studenta i chi-kwadrat z n-elementowej próby prostej oraz o rozkładzie F-Snedecora z dwóch n1- i n2-elementowych prób prostych

Założenia I

1) Zmienna losowa X ma w populacji generalnej rozkład normalny, określony parametrami m oraz σ, parametry m i σ nie są znane. Próbę prostą n-elementową tworzy ciąg niezależnych zmiennych losowych (X1, X2, X3,..., Xn) o rozkładach identycznych i jednakowych z rozkładem zmiennej losowej X w populacji generalnej.

2) Jeżeli mamy do czynienia z dwiema populacjami generalnymi, to założenie 1) dotyczy obu populacji.

3) Statystyka z próby jest zmienną losową ⇐n będącą funkcją zmiennych losowych (X1, X2,..., Xn), które to zmienne stanowią próbę losową prostą. Realizacje zmiennych losowych (X1, X2,..., Xn) w konkretnej, n-elementowej próbie tworzą ciąg obserwacji liczbowych zapisywanych jako (x1, x2,..., xn).

4) Statystyka z próby ⇐n wybrana do celów estymacji parametru nazywana jest estymatorem i oznaczana symbolem Tn. Realizacja estymatora Tn w n-elementowej próbie oznaczana jest symbolem tn i traktowana jest jako punktowa ocena szacowanego parametru.

Rozkład t-Studenta	Rozkład chi-kwadrat	Rozkład F-Snedecora
(1)	(2)	(3)
Statystyki t-Studenta, chi-kwadrat z n-elementowej próby prostej i F-Snedecora z n1- i n2-elementowych prób prostych:
wzór (8.1.1)	wzór (8.2.1)	wzór (8.3.1)
stopnie swobody: v = n - 1,	stopnie swobody: v = n - 1	stopnie swobody: v1 = n1 - 1  v2 = n2 - 1lub
stopnie swobody: v = n - 1,	stopnie swobody: v = n - 1,	stopnie swobody:      v1 = n1 - 1 v2 = n2 - 1
gdzie
Średnie arytmetyczne z próby prostej (z prób prostych)
wzór (8.1.2)	wzór (8.2.2)	wzór (8.3.2)
, i = 1,..., n,	jak (8.1.2)	, i = 1,..., n1, , i = 1,..., n2,
Wariancje obciążone z próby prostej (z prób prostych)
wzór (8.1.3)	wzór (8.2.3)	wzór (8.3.3)
	jak (8.1.3)
Wariancje nieobciążone z próby prostej (z prób prostych)
wzór (8.1.4)	wzór (8.2.4)	wzór (8.3.4)
	jak (8.1.4)	Związek wariancji obciążonych i wariancji nieobciążonych
wzór (8.1.5)	wzór (8.2.5)	wzór (8.3.5)
	jak (8.1.5)
Związek wariancji nieobciążonych i wariancji obciążonych
wzór (8.1.6)	wzór (8.2.6)	wzór (8.3.6)
	jak (8.1.6)
Funkcje gęstości
wzór (8.1.7)	wzór (8.2.7)	wzór (8.3.7)
Dystrybuanty
wzór (8.1.8)	wzór (8.2.8)	wzór (8.3.8)
F(x) = P(t ≤ x)	F(x) = P( ≤ x)	F(x) = P(F ≤ x)
F(x) =	F(x) =	F(x) =
gdzie	gdzie	gdzie
Wartości oczekiwane
wzór (8.1.9)	wzór (8.2.9)	wzór (8.3.9)
E(t) =		E(F) =
E(t) = 0		E(F) =
Wariancje
wzór (8.1.10)	wzór (8.2.10)	wzór (8.3.10)
D^2(t) = dla n > 3		dla v2 > 4
Odchylenia standardowe
wzór (8.1.11)	wzór (8.2.11)	wzór (8.3.11)
Współczynniki zmienności
wzór (8.1.12)	wzór (8.2.12)	wzór (8.3.12)
V jest nieokreślone gdyż E(t)= 0
Mediany Me: wzory (8.13)
F(Me = 0) = 0,5	F(Me) = 0,5	F(Me) = 0,5
Kwantyle Kp rzędu p: wzory (8.14)
F(Kp) = p	F(Kp) = p	F(Kp) = p
gdzie: 0 < p < 1	gdzie: 0 < p < 1	gdzie: 0 < p < 1Dominanty Do: wzory (8.15)
Do = td = 0, gdyż:	Do = , gdy:	Do = Fd, gdy:
f(td = 0) =  f(t)		f(Fd) =  f(F)

Część II: Statystyki o rozkładzie t-Studenta z dwóch n1- i n2-elementowych prób prostych
Dodatkowe założenie:  (chociaż, jak pamiętamy z założeń I, parametry σ1 i σ2 nie są znane).
(8.16)  stopnie swobody: v = (n1 - 1) + (n2 - 1) = n1 + n2 - 2.
Dodatkowe założenie:  (chociaż, jak pamiętamy z założeń I, parametry  i  nie są znane).
(8.17) stopnie swobody:      (8.18)
gdzie
		i = 1,..., n1, i = 1,..., n2.
		i = 1,..., n1, i = 1,..., n2.
		i = 1,..., n1, i = 1,..., n2.
oraz gdzie wariancja łączna  określona jest wzorem (8.19)
(8.19)		i = 1,..., n1, i = 1,..., n2.
lub wzorem (8.20)
(8.20)
Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: M. Fisz: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1969; J. Greń: Statystyka matematyczna, podręcznik programowany, PWN, Warszawa 1987; J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998; P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, SGH, Warszawa 1998; J.M. Kenkel: Introductory Statistics for Management and Economics, PWS-Kent Publishing Company, Boston, Massachusetts 1984.

---