Rozdział 7

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

7.1. Uwagi ogólne

Równania różniczkowe cząstkowe opisują większość problemów występujących w zagadnieniach techniki, fizyki i fizyki matematycznej, a metody ich przybliżonego rozwiązywania stanowią obecnie jedną z najbardziej rozwijających się gałęzi analizy numerycznej.

Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy równanie różniczkowe postaci

(7.1)

z całkowitymi nieujemnymi indeksami w którym występuje funkcja niewiadoma

(7.2)

n zmiennych niezależnych Najwyższy rząd pochodnej m funkcji niewiadomej (7.2) nazywamy rzędem równania różniczkowego cząstkowego. Lewa strona równości (7.1) nazywa się operatorem różniczkowym o pochodnych cząstkowych rzędu m.

Wśród równań postaci (7.1) wyróżniamy:

1) równania liniowe, gdy F zależy liniowo od funkcji u i jej pochodnych,

2) równania quasi-liniowe, gdy F zależy liniowo tylko od pochodnych m-tego rzędu funkcji u,

3) równania prawie liniowe, w którym współczynniki przy pochodnych m-tego rzędu zależą tylko od

4) równania nieliniowe.

Rozwiązaniem równania różniczkowego cząstkowego m-tego rzędu (7.1) w obszarze nazywamy taką funkcję (7.2) wielu zmiennych klasy w tym obszarze, która po podstawieniu wraz ze swymi pochodnymi do tego równania zamienia je w tożsamość. Na przykład dla danego równania różniczkowego cząstkowego drugiego rzędu

po pierwszym scałkowaniu mamy

i następnie otrzymujemy rozwiązanie

gdzie
i są dowolnymi funkcjami klasy

Równanie różniczkowe cząstkowe (7.1) ma na ogół nieskończenie wiele rozwiązań. Dlatego też do rozważanego równania należy jeszcze dołączyć pewne warunki dodatkowe. Te dodatkowe warunki, nazywane warunkami granicznymi, składają się z warunków początkowych i warunków brzegowych. Warunki początkowe, zwane także warunkami Cauchy'ego, stawiane są wtedy, gdy jedna ze zmiennych niezależnych spełnia rolę czasu - są to warunki związane z pewną początkową chwilą czasu. Warunki brzegowe są natomiast warunkami odnoszącymi się do ustalonych wartości współrzędnych przestrzennych; zwykle są to współrzędne punktów brzegu rozważanego obszaru

Głównym problemem w teorii równań różniczkowych cząstkowych jest udowodnienie istnienia i jednoznaczności takich rozwiązań, które spełniają warunki graniczne. Jeśli małe zmiany danych, występujących zarówno w równaniu (7.1) jak i warunkach granicznych, powodują małe zmiany odpowiadającego im rozwiązania to szukane rozwiązanie jest stabilne, a zagadnienie nazywamy poprawnie postawionym. Warunki graniczne dla zagadnień, które powinny spełniać szukane rozwiązania, istotnie zależą od postaci rozpatrywanego równania.

W zagadnieniach fizyki matematycznej bardzo ważną rolę odgrywają równania różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu postaci

(7.3)

gdzie współczynniki
przybierają wartości: −1, 0 lub 1, a
, i są danymi w obszarze funkcjami punktu
Równania te dzielimy na różne typy, w zależności od wartości współczynników kanonicznej formy charakterystycznej

(7.4)

Jeśli wszystkie
= 1 albo wszystkie
= −1, tzn. gdy forma kanoniczna jest określona dodatnio lub ujemnie, to równanie (7.3) nazywa się eliptycznym. Jeżeli jeden ze współczynników
jest ujemny, a wszystkie pozostałe są dodatnie (albo odwrotnie) to mówimy, że równanie (7.3) jest hiperboliczne. Jeżeli chociaż jeden ze współczynników
jest zerem, to równanie (7.3) nazywa się równaniem parabolicznym.

W przypadku równań różniczkowych cząstkowych drugiego rzędu na funkcję (7.2) mogą być nakładane trzy rodzaje warunków brzegowych:

1) warunki Dirichleta (warunki brzegowe pierwszego rodzaju), gdy funkcja (7.2) przyjmuje zadane wartości na brzegu

(7.5)

2) warunki Neumanna (warunki brzegowe drugiego rodzaju), gdy poszukiwane jest rozwiązanie równania (7.3) spełniające na brzegu warunek

(7.6)

3) warunki Hankela (warunki brzegowe trzeciego rodzaju, warunki mieszane), gdy należy znaleźć funkcję (7.2) taką, że

(7.7)

gdzie

Badania różnych stacjonarnych procesów natury fizycznej prowadzą często do podstawowych równań eliptycznych, jakimi są: równanie Laplace'a

(7.8)

lub równanie Poissona

(7.9)

w których przez Δ oznaczono operator różniczkowy cząstkowy drugiego rzędu

(7.10)

nazywany operatorem Laplace'a lub krótko laplasjanem.

Dla równań typu eliptycznego formułuje się tylko zagadnienia brzegowe z warunkami (7.5) - (7.7), gdyż zagadnienie Cauchy'ego dla równań typu eliptycznego jest z reguły zdefiniowane niepoprawnie.

Bardzo często występujące zjawiska fal i ruchów falowych (drgań) są opisywane równaniami hiperbolicznymi, z których najbardziej znane jest równanie falowe

(7.11)

Przy n = 2 równanie (7.11) opisuje zjawisko rozchodzenia się dźwięku w przestrzeni jednowymiarowej

(7.12)

Równaniem o podobnych własnościach, związanym z równaniem falowym, jest równanie adwekcji

c > 0, (7.13)

opisujące sytuację, w której własności ośrodka ulegają unoszeniu (adwekcji lub kon-wekcji). Istotnie po zróżniczkowaniu równania (7.13) najpierw względem t, a na-stępnie względem x i odjęciu tych zależności stronami otrzymamy równanie (7.12).

Często pojawiające się w wielu zagadnieniach fizyki zjawisko dyfuzji (przepływu ciepła) jest opisywane równaniem parabolicznym, nazywanym równaniem dyfuzji (przewodnictwa cieplnego)

(7.14)

które w najprostszym przypadku jednego wymiaru przestrzennego przyjmuje postać

(7.15)

gdzie κ jest współczynnikiem dyfuzji.

W przypadku równań typów: hiperbolicznego i parabolicznego formułuje się zagadnienia początkowo-brzegowe, stawiając warunki dla funkcji u w chwili t = 0 oraz warunki (7.5) - (7.7) na brzegu rozważanego obszaru

Proste własności równań różniczkowych cząstkowych, wiążących punkty w przestrzeni i czasie, można opisać przez zachowanie się fali w przestrzeni i czasie. Ograniczając się do funkcji zmiennej przestrzennej x i zmiennej czasowej t, rozważymy wynik działania każdego z przedstawionych operatorów różniczkowych na pojedynczą falę (mod Fouriera)

(7.16)

gdzie jest amplitudą, ω - częstością fali, a k - liczbą falową, związaną z długością fali λ

(7.17)

Po podstawieniu tego modu do równania różniczkowego cząstkowego uzyskamy związek dyspersyjny

(7.18)

opisujący relację między częstotliwością lub skalą czasową τ

(7.19)

a odpowiednią długością fali.

W przypadku równania eliptycznego

łatwo uzyskujemy wynik: k = 0 - co oznacza, że fala (7.16) jest nieskończenie długa. Zatem równania eliptyczne opisują zjawiska, w których następuje natychmiastowe przenoszenie się informacji.

426 7. Równania różniczkowe cząstkowe

7.1. Uwagi ogólne 427

---