4 i, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numeryczne [2009], Kosma Z - Metody i algorytmy numeryczne [2009]


4.9. B-funkcje sklejane

Jedna z bardzo użytecznych w wielu zastosowaniach możliwości przedstawienia wielomianowych funkcji sklejanych w innych, równoważnych postaciach polega na wykorzystaniu funkcji o ograniczonych nośnikach, tzn. funkcji określonych na całej osi rzeczywistej, ale różnych od zera, tylko na pewnym skończonym odcinku. Funkcje te mają kształt dzwonów (ang. bell) i stąd ich nazwa: B-funkcje sklejane; w dalszym ciągu nazywać je też będziemy krótko B-funkcjami.

Znormalizowane B-funkcje sklejane stopnia m oparte na węzłach:

(4.111)

można określić zależnościami rekurencyjnymi [20, 21]:

0x01 graphic
(4.112)

Z definicji tej oraz wzoru na pochodną funkcji

wynika, że funkcje są na siatce węzłów (4.111) wielomianowymi funkcjami sklejanymi stopnia m z defektem 1 o następujących własnościach [20, 21]:

Funkcje dla 0x01 graphic
są liniowo niezależne. Mogą one więc stano-wić bazę przestrzeni wielomianowych funkcji sklejanych stopnia m z defektem 1 po uzupełnieniu siatki (4.60) dodatkowymi punktami:

(4.113)

Zatem każdą wielomianową funkcję sklejaną z defektem 1 można zapisać w jedno-znaczny sposób w postaci

0x01 graphic
(4.114)

przy czym jest

0x01 graphic

Ze wzorów (4.112) wyznaczymy najpierw równanie funkcji 0x01 graphic

0x01 graphic
(4.115)

0x01 graphic

Rys. 4.20

Układ „kawałkami liniowych” funkcji dla 0x01 graphic
nazywanych niekiedy funkcjami „daszkowymi” ze względu na ich kształt (rys. 4.20), stanowi bazę w przestrzeni wielomianowych funkcji sklejanych pierwszego stopnia.

Równanie B-funkcji sklejanej trzeciego stopnia

otrzymujemy kolejno podstawiając:

Jest ono następujące:

0x01 graphic
(4.116)

gdzie:

0x01 graphic

W zastosowaniach praktycznych najczęściej przyjmujemy stały odstęp między węzłami: W tym przypadku wygodnie jest wyznaczyć najpierw funkcję 0x01 graphic
dla punktu środkowego

0x01 graphic
(4.117)

wykres tej funkcji został przedstawiony na rysunku 4.21.

0x01 graphic

Rys. 4.21

Dla skrócenia zapisu oznaczenie zastąpimy oznaczeniem . Kolejne funkcje definiujemy przy wykorzystaniu funkcji (4.117)

0x01 graphic
(4.118)

i następnie określamy bazę w przestrzeni wielomianowych funkcji sklejanych trzeciego stopnia:

(4.119)

Przedstawienie (4.97) dla funkcji sklejanej trzeciego stopnia przybiera zatem postać

0x01 graphic
(4.120)

w którym w każdym podprzedziale nie znikają tylko cztery

składniki sumy

(4.121)

co wynika z własności B-funkcji (rys. 4.22).

0x01 graphic

Rys. 4.22

Ze wzorów (4.121) i (4.1017 łatwo obliczamy:

0x01 graphic
(4.122)

Pełne określenie interpolacyjnej funkcji sklejanej trzeciego stopnia zapisanej w postaci (4.103) wymaga wyznaczenia 0x01 graphic
współczynników Z warunków interpolacji

0x01 graphic
(4.123)

mamy 0x01 graphic
równań, dwa dodatkowe równania dołączamy, podobnie jak np. (4.80) ÷ (4.84), albo z warunków okresowości, albo z zadanych warunków brzegowych.

Po obliczeniu wielkości wzory określające współczynniki wyprowadzamy z układu równań:

0x01 graphic

są one następujące:

0x01 graphic
(4.124)

Wynika stąd, że współczynniki mogą być określone w prosty sposób, z dokładnością wystarczającą w wielu zastosowaniach praktycznych (np. przybliżanie linii), za pomocą samych wartości funkcji w węzłach siatki.

W grafice komputerowej do opisu krzywych i powierzchni oprócz wielomianowych B-funkcji sklejanych stosowane są też wymierne B-funkcje sklejane (tzw. krzywe NURBS: Non - Uniform Rational B-Splines) zdefiniowane w następujący sposób [22]:

0x01 graphic
(4.125)

gdzie liczby rzeczywiste dodatnie są wagami.

Wymierne B-funkcje sklejane (4.125) są rozszerzeniem rodziny wielomianowych krzywych B-sklejanych; dla wszystkich redukują się one do klasycznych krzywych B-sklejanych. Analogicznie do wielomianowego przedstawienia tych krzywych, wymierne B-funkcje sklejane są funkcjami „kawałkami wymiernymi” np.

224 4. Interpolacja

4.9. B-funkcje sklejane 223



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
7 h, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numerycz
Spis tresci, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy
4 a, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numerycz
1 c, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numerycz
4 m, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numerycz
Okladka, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy nume
1 h, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numerycz
Przedmowa, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy nu
Contents, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy num
6 c, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numerycz
5 f, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numerycz
2 c, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numerycz
2 f, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numerycz
1 d, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numerycz
7 c 2, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numery
5 h, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numerycz
7 b, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numerycz
1 e, Informatyka, Informatyka, Informatyka. Metody numeryczne, Kosma Z - Metody i algorytmy numerycz

więcej podobnych podstron