4.9. B-funkcje sklejane

Jedna z bardzo użytecznych w wielu zastosowaniach możliwości przedstawienia wielomianowych funkcji sklejanych w innych, równoważnych postaciach polega na wykorzystaniu funkcji o ograniczonych nośnikach, tzn. funkcji określonych na całej osi rzeczywistej, ale różnych od zera, tylko na pewnym skończonym odcinku. Funkcje te mają kształt dzwonów (ang. bell) i stąd ich nazwa: B-funkcje sklejane; w dalszym ciągu nazywać je też będziemy krótko B-funkcjami.

Znormalizowane B-funkcje sklejane stopnia m oparte na węzłach:

(4.111)

można określić zależnościami rekurencyjnymi [20, 21]:

(4.112)

Z definicji tej oraz wzoru na pochodną funkcji

wynika, że funkcje są na siatce węzłów (4.111) wielomianowymi funkcjami sklejanymi stopnia m z defektem 1 o następujących własnościach [20, 21]:

Funkcje dla
są liniowo niezależne. Mogą one więc stano-wić bazę przestrzeni wielomianowych funkcji sklejanych stopnia m z defektem 1 po uzupełnieniu siatki (4.60) dodatkowymi punktami:

(4.113)

Zatem każdą wielomianową funkcję sklejaną z defektem 1 można zapisać w jedno-znaczny sposób w postaci

(4.114)

przy czym jest

Ze wzorów (4.112) wyznaczymy najpierw równanie funkcji

(4.115)

Rys. 4.20

Układ „kawałkami liniowych” funkcji dla
nazywanych niekiedy funkcjami „daszkowymi” ze względu na ich kształt (rys. 4.20), stanowi bazę w przestrzeni wielomianowych funkcji sklejanych pierwszego stopnia.

Równanie B-funkcji sklejanej trzeciego stopnia

otrzymujemy kolejno podstawiając:

Jest ono następujące:

(4.116)

gdzie:

W zastosowaniach praktycznych najczęściej przyjmujemy stały odstęp między węzłami: W tym przypadku wygodnie jest wyznaczyć najpierw funkcję
dla punktu środkowego

(4.117)

wykres tej funkcji został przedstawiony na rysunku 4.21.

Rys. 4.21

Dla skrócenia zapisu oznaczenie zastąpimy oznaczeniem . Kolejne funkcje definiujemy przy wykorzystaniu funkcji (4.117)

(4.118)

i następnie określamy bazę w przestrzeni wielomianowych funkcji sklejanych trzeciego stopnia:

(4.119)

Przedstawienie (4.97) dla funkcji sklejanej trzeciego stopnia przybiera zatem postać

(4.120)

w którym w każdym podprzedziale nie znikają tylko cztery

składniki sumy

(4.121)

co wynika z własności B-funkcji (rys. 4.22).

Rys. 4.22

Ze wzorów (4.121) i (4.1017 łatwo obliczamy:

(4.122)

Pełne określenie interpolacyjnej funkcji sklejanej trzeciego stopnia zapisanej w postaci (4.103) wymaga wyznaczenia
współczynników Z warunków interpolacji

(4.123)

mamy
równań, dwa dodatkowe równania dołączamy, podobnie jak np. (4.80) ÷ (4.84), albo z warunków okresowości, albo z zadanych warunków brzegowych.

Po obliczeniu wielkości wzory określające współczynniki wyprowadzamy z układu równań:

są one następujące:

(4.124)

Wynika stąd, że współczynniki mogą być określone w prosty sposób, z dokładnością wystarczającą w wielu zastosowaniach praktycznych (np. przybliżanie linii), za pomocą samych wartości funkcji w węzłach siatki.

W grafice komputerowej do opisu krzywych i powierzchni oprócz wielomianowych B-funkcji sklejanych stosowane są też wymierne B-funkcje sklejane (tzw. krzywe NURBS: Non - Uniform Rational B-Splines) zdefiniowane w następujący sposób [22]:

(4.125)

gdzie liczby rzeczywiste dodatnie są wagami.

Wymierne B-funkcje sklejane (4.125) są rozszerzeniem rodziny wielomianowych krzywych B-sklejanych; dla wszystkich redukują się one do klasycznych krzywych B-sklejanych. Analogicznie do wielomianowego przedstawienia tych krzywych, wymierne B-funkcje sklejane są funkcjami „kawałkami wymiernymi” np.

224 4. Interpolacja

4.9. B-funkcje sklejane 223