WYKŁAD 6 .

1.Równania ruchu .

(6.1)

(6.2)

(6.3)

(6.4)

(6.4)

(6.5)

(6.6)

(6.7)

Macierz (6.7) nazywana jest macierzą modalną .

(6.8)

(6.9)

(6.10)

Macierz opisana wzorem (6.10) nazywana jest macierzą spektralną.

Twierdzenie

Częstości drgań własnych układów nie zależą od wyboru układu współrzędnych .

Współrzędne główne są to współrzędne , w których uzyskuje się rozwiązanie układu

równań ruchu względem każdej postaci drgań.

Rys.6.1. Model układu drgającego .

2.Współrzędne układu .

(6.11)

(6.12)

(6.13)

(6.14)

3. Modele oscylatorów harmonicznych .

(6.15)

(6.16)

(6.17)

(6.18)

(6.19)

(6.20)

(6.21)

(6.22)

4.Warunki początkowe :

(6.23)

(6.24)

m

x

k

Rys.6..2. Model układu drgającego o wymuszeniu siłą F .

(6.25)

(6.26)

5. Zjawisko rezonansu

rezonans

Rys.6..3.Zjawisko rezonansu

6. Efekt dudnienia

ε (6.27)

Rys.6.4. Zjawisko dudnienia.

Postać 2 Postać 1

1

Rys.6. 5. Układ o dwóch masach drgających.

(6.28)

(6.29)

(6.30)

(6.31)

Równanie opisane wzorem (6.31) jest równaniem Lagrange`a .

(6.32)

Przekształcając powyższe zależności otrzymujemy :

(6.33a)

(6.33b)

(6.34a)

(6.34b)

(6.35)

Rozwiązując układ równań (6.35) otrzymujemy :

(6.36)

Doprowadzając układu równań do postaci (6.36) możemy utworzyć macierze .

(6.37)

(6.38)

(6.39)

(6.40)

(6.41)

(6.42)

Przekształcając układ równań (6.42) otrzymujemy :

(6. 43)

Korzystając z układu równań (6.43) tworzymy wyznacznik :

(6.44)

Rozwiązując powyższy wyznacznik otrzymujemy :

(6.45)

Dokonujemy podstawienia :

(6.45a)

(6.45b)

Dla naszego przypadku (rys.5) zachodzą następujące zależności :

(6.46)

Podstawiając powyższe zależności (6.46) do równania (6.45b) otrzymujemy :

(6.46a)

W celu rozwiązania powyższego równania kwadratowego obliczamy jego pierwiastki :

(6.47)

(6.47a)

(6.47b)

Korzystając ponownie z zależności (6.45a) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie rów-

nania :

(6.48)

7.Postacie drgań własnych układu.

(6.49)

Korzystając z zależności (6.46) otrzymujemy :

(6.49a)

(6.50)

(6.50a)

(6.50b)

Tworzymy macierz :

(6.51)

(6.52)

(6.52a)

Rozwiązujemy układ równań :

(6.53)

(6.53a)

Korzystając z rozwiązania układu (6.48) otrzymujemy :

(6.54)

gdzie:

(6.54a)

(6.55)

Podstawiając zależności (6.54) , (6.55) do układu równań (6.53a) otrzymujemy :

(6.56)

(6.56a)

Korzystając z zależności :

(6.57)

Otrzymujemy układ równań :

(6.58)

Układ posiada następujące rozwiązanie :

(6.59)

Podstawiając zależności (6.59) do równania (6.53a) otrzymujemy ostateczne rozwiąza-

nie :

(6.60)

m

1

1

1,6

węzeł

0.6

---