WYKŁAD 3 .

3.1.Drgania wymuszone tłumione układu o jednym stopniu swobody .

3.1.1.Układ drgający .

Schemat układu drgającego z wymuszeniem i tłumieniem przedstawiono na rys.3.1.

Rys.3.1. Układ drgający z wymuszeniem i tłumieniem.

3.1.2.Podział sił wymuszających .

Rys.3.2.Siły wymuszające .

3.1.3.Drgania tłumione układu o jednym stopniu swobody z wymuszeniem harmonicznym .

Wymuszenie harmoniczne ma postać :

(3.1)

Równanie ruchu :

(3.2)

Warunki początkowe :

(3.3)

Równania można rozwiązać według częstości lub według czasu . Postacie zespolone powyższych równań :

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Wyrażenie składa się z części rzeczywistej i części urojonej . Amplituda drgań masy wyniesie :

(3.11)

Częstość własna układu :

(3.12)

Współczynnik rozstrojenia :

(3.13)

Tłumienie krytyczne :

(3.14)

Współczynnik tłumienia γ :

(3.15)

(3.16)

Uwzględniając (3.12) , (3.13) i (3.14) oraz λ_st w (3.11) otrzymujemy :

(3.17)

Bezwymiarowa amplituda α :

(3.18)

α zwane jest też współczynnikiem uwielokrotnienia amplitudy , jeśli jest mniejsze od 1 , wówczas mamy do czynienia z dobrym tłumieniem (czym α mniejsze , tym tłumienie większe). Jeśli γ=0 ( brak tłumienia ) , wówczas

(3.19)

Zależność α od z widzimy na rys. 3.3.

Rys.3.3.Rodzina krzywych α=f(z).

Amplituda α powinna być mniejsza od 1 . Jest ona równa 1 , gdy γ=. Powyżej tej wielkości tłumienia układ ( maszyna ) jest wibroizolowany :

(3.20)

(3.21)

Warunek (3.21) nazywamy warunkiem posadowienia przy częstości wymuszenia ω .

3.1.3.1.Rozwiązanie równania ruchu bez korzystania z form zespolonych .

Równanie (3.2) można rozwiązywać nie korzystając z form zespolonych :

(3.2)

Rozwiązanie będzie sumą całek ogólnej i szczególnej :

(3.22)

Do równania (3.2) podstawimy teraz zwyczajną postać wymuszenia (3.1) :

(3.23)

(3.24)

Całka ogólna :

(3.25)

(3.26)

gdzie : ω₀-częstość własna ,

ω_t--częstość tłumiona ,

2h=c/m .

(3.27)

Bez wymuszenia rozwiązaniem równania (3.23) jest całka szczególna , z wymuszeniem - suma całek szczególnej i ogólnej .

Podstawiamy (3.24) do (3.27) otrzymujemy :

(3.28)

(3.28a)

Uwzględniając , że :

(3.29)

mamy:

(3.30)

(3.31)

Aby uzyskać wynik według czasu , posługujemy się całką Duhamela .

Rys.3.4. Obiekt z wymuszeniem jednostkowym(a) i funkcja impulsowa Diraca(b) .

Całka Duhamela - odpowiedź układu na dowolne wymuszenie F :

(3.32)

Równanie (3.2) przyjmuje teraz postać :

(3.33)

(3.34)

Bazujemy na przekształceniach Laplace'a :

(3.35)

(3.36)

Na podstawie (3.35) i (3.36) uzyskujemy z (3.34) :

(3.37)

(3.38)

Uwzględniając:

(3.39)

Otrzymujemy teraz :

(3.40)

Odpowiedź układu na dowolne wymuszenie będzie zatem jak poniżej :

(3.41)

3.1.4. Drgania tłumione układu o jednym stopniu swobody z wymuszeniem nieharmonicznym .

Wymuszenie może mieć postać jak na rys. 3.5.

Rys.3.5.Przykładowa postać wymuszenia .

Na podstawie (3.41) mamy :

(3.42)

Aby teraz znaleźć wynik według częstości , skorzystamy z transformaty Fouriera i widmowej funkcji przejścia H(jω) :

Rys.3.6.Obiekt i transmitancja widmowa .

(3.43)

Widmowa funkcja przejścia :

(3.44)

3.1.4.1.Siły losowe .

Wróćmy do równania (3.2)

(3.2)

Wymuszenie F(t) oznaczać teraz będzie siłę losową . Można wyznaczyć jej wartość średnią , odchylenie standardowe i funkcję gęstości widmowej .Niech oznacza elementarną funkcję gęstości widmowej .

(3.45)

(3.46)

Funkcja korelacyjna R odpowiadająca przesunięciu τ :

(3.47)

(3.48)

Przez transformatę Fouriera otrzymuje się z korelacji funkcję gęstości widmowej .

Rysunek 3.7. charakteryzuje biały szum , funkcją korelacyjną jest impuls Diraca .

Rys.3.7. Biały szum .

y(t)

k

c

m

F(t)-siła wymuszająca

SIŁY WYMUSZAJĄCE

ZDETERMINOWANE

LOSOWE

STACJONARNE

NIE STACJONARNE

IMPULSOWE

HARMONICZNIE ZMIENNE

ciąg impulsów itd.

∞

z

α

∞

γ=0

1

Obszar wibroizolacji

1

γ>0.5

F

δ(t)-impuls jednostkowy

y

h(t)-impulsowa funkcja przejścia

∞

0

t

a)

b)

F₀

F

t₁

t

F

F(jω)

y

Y(jω)

h(t)

H(jω)

S_x

S₀

R ∞

---