Piotr Łoza 05. 02. 2012

ETI I, gr. 6

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego.

1. Cel ćwiczenia: zapoznanie się z budową i zasadą działania wahadła rewersyjnego oraz wyznaczenie za jego pomocą przyspieszenia ziemskiego.

2. Część teoretyczna

Wahadło matematyczne to punkt materialny o masie m zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej linie o długości l. Okres drgań T takiego wahadła określa następujący wzór:

[s]

l - długość wahadła wyrażona w [m]

g - przyspieszenie ziemskie wyrażone w [m/s²]

Wahadło fizyczne to ciało sztywne o dowolnym kształcie mogące się wahać wokół osi poziomej znajdującej się powyżej środka masy.

Wahadła matematyczne i fizyczne wykonują ruch drgający pod działaniem siły ciężkości. Częstość kołowa drgań wahadła jest określona zależnością:

Ω = 2π/T

m - masa [kg]

g - przyspieszenie ziemskie [m/s²]

d - odległość punktu zawieszenia od punktu ciężkości

I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu (zawieszenia)

Ostatecznie okres drgań takiego wahadła określa się wzorem:

[s]

Dla każdego wahadła fizycznego można dobrać wahadło matematyczne o takiej długości, którego okres wahań będzie równy okresowi wahań wahadła fizycznego. Długością zredukowana danego wahadła fizycznego nazywamy długość wahadła matematycznego. Długość zredukowaną l_z możemy obliczyć porównując ze sobą wzory:

[m]

Ponieważ trudno jest zrealizować model wahadła matematycznego, do dokładnego wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego wykorzystuje się wahadło fizyczne o specjalnej konstrukcji zwane wahadłem rewersyjnym. Dla wyznaczenia długości zredukowanej wykorzystuje się tę właściwość, że wahadło rewersyjne posiada dwa punkty zawieszenia, którym odpowiada ten sam okres drgań, a długość między tymi punktami jest równa długości zredukowanej. Jeżeli w punkcie O umieszczono oś obrotu to okres wahań można opisać wzorem:

[s]

Gdy wahadło obrócimy tak, że oś obrotu będzie w punkcie O' leżącym w odległości l_z = l od punktu O wówczas otrzymamy wzór:

[s]

Momenty bezwładności względem osi przechodzące przez punkty O i O' można wyrazić przez moment I_C względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy. Na podstawie twierdzenia Steinera odpowiednie momenty określa się wzorami:

I_O = I_C + md², I_O' = I_C + m(l - d)²

dlatego:

I_O' = I_O + ml(l - 2d)

Na odstawie powyższych wzorów możemy zapisać, że:

Ostatecznie można zapisać okres drgań jako wyrażenie:

Podsumowując:

Korzystając z wahadła rewersyjnego i zależności
można wyznaczyć przyspieszenie ziemskie g:

[m/s²]

3. Część obliczeniowa:

Lp.	wahadło O T[s]	wahadło O' T[s]
1	20,30	20,33
2	20,08	20,07
3	19,87	19,89
4	19,74	19,79
5	19,71	19,81
6	19,76	19,86
7	19,86	19,94
8	20,02	20,13
9	20,26	20,31
10	20,55	20,50

Dla punktu 2 wykonano pomiary:

• Wahadło O

n = 100 wahnięć

t_O = 3min i 19,01s = 199,01s

l = 1m

• Wahadło O'

n = 100 wahnięć

t_O' = 3min i 18,87s = 198,87s

l = 1m

Obliczenie okresu drgań:

= 1,9894 [s]

Na podstawie wzoru
obliczamy przyspieszenie ziemskie:

g = 9,975 [m/s²]

4. Wnioski:

Rzeczywista wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi 9,81 m/s². Na podstawie wykonanego doświadczenia w laboratorium otrzymaliśmy wynik 9,975 m/s², który różni się tylko o około 1,7% od wartości rzeczywistej. Można przyjąć, że sposób pomiaru przyspieszenia ziemskiego jest skuteczny i prosty do wykonania. Błąd może wynikać z niedokładności ustalenia punktu, w którym okresy drgań dla obu wahadeł są takie same.

---