Maksymalizacja zysku

przez firmę doskonale konkurencyjną:

podaż dóbr i popyt na czynniki

1. Maksymalizacja zysku i podaż w SR firmy doskonale konkurencyjnej

2. Zmiany podaży w SR

3. Zyski i zamknięcie w SR

4. Popyt na jeden zmienny czynnik w krótkim okresie

5. Popyt na dwa czynniki lub więcej w krótkim okresie

6. Przesunięcia funkcji popytu na czynnik w krótkim okresie

☼

Maksymalizacja zysku i podaż w SR

firmy doskonale konkurencyjnej

Rozwiązaliśmy problem minTC dla każdego poziomu produkcji w SR i LR. Teraz stoimy przed problemem: Jaką wielkość produkcji będzie wytwarzać firma minTC aby maxπ.

Maksymalizacja zysku

Funkcja zysku: π(x) = TR(x) - TC(x)

Maksymalizacja zysku:

Czyli max π(x) wymaga MR(x*) = MC(x*).

Podaż w SR

Firma jest ceno biorcą: TR(x) =
x

Różniczkując względem x:

Wstawiając wartość MR(x) do warunku max π(x): p_x = MC(x*)

Z powyższego równania wynika, że firma traktuje krzywą MC jako swą krzywą podaży.

Rys. 12.1: decyzje firmy doskonale konkurencyjnej interpretowane jako -)koszty, przychody, zyski lub -)popyt i podaż.

Przykład: Dla funkcji produkcji x = K^1/2L^1/2 wyprowadziliśmy

Zrównując cenę z MC:
: krzywa podaży w SR firmy - rys. 12.2.

Wyprowadzenie matematyczne

Uogólniając, funkcja podaży firmy:
, dla której technikę produkcji opisuje funkcja produkcji, z której wyprowadzamy funkcję SRS. Wykreślona krzywa podaży w SR jest odwróconą funkcją podaży w SR:
. Krzywą podaży w SR można wyprowadzić bezpośrednio z uogólnionej funkcji zysku:

π = π(x; p_x, w, r, p_y, K). Max π(x): π_x(x*; p_x, w, r, p_y, K) = 0, czyli jest to warunek konieczny funkcji całkowitej. Jeżeli założymy, że: π_xx < 0, to istnieje funkcja podaży w SR, x*(p_x).

Zmiany podaży w SR

Jeżeli parametry funkcji podaży zmienią się, to sama funkcja też się zmieni. Dla jednego zmiennego czynnika, zmiana jego ceny prowadzi do wzrostu MC w SR dla każdego poziomu produkcji. Wyprowadziliśmy:
. Ponieważ MP przy danej wielkości produkcji nie zmienia się jak funkcja ceny czynnika, to wzrost ceny tego czynnika musi doprowadzić do wzrostu SRMC dla każdego poziomu produkcji. Na przykład: jeżeli zróżniczkujemy
względem w, to:
.

Dla dwóch lub więcej zmiennych czynników wpływ zmiany cen na SRMC zależy, czy czynnik jest normalnym czynnikiem, czyli
. Jeżeli cena normalnego czynnika wzrośnie, to SRMC rosną dla każdej wielkości produkcji. Jeżeli cena czynnika niższego rzędu wzrośnie, to SRMC maleją.

Zmiany MC a przesunięcia podaży

Jeżeli SRMC ↑ dla każdej wielkości produkcji, to krzywa podaży w SR przesunie się do góry (lub na lewo). Jeżeli SRMC ↓ dla każdej wielkości produkcji, to krzywa podaży w SR przesunie się do dołu (lub na prawo) - rys. 12.3.

Zmiany ilości stałych czynników

Wpływ na SRS zwiększenia zatrudnienia stałego czynnika, przy jednym zmiennym czynniku, zależy od wpływu tego wzrostu na MP zmiennego czynnika. Jeżeli zwiększenie zatrudnienia stałego czynnika prowadzi do wzrostu MP zmiennego czynnika przy każdym poziomie zatrudnienia zmiennego czynnika, to wzrost tego zatrudnienia prowadzi do zmniejszenia SRMC przy każdym poziomie produkcji, a więc do zwiększenia wielkości podaży firmy przy każdym poziomie ceny produktu. Jeżeli zwiększenie zatrudnienia stałego czynnika prowadzi do zmniejszenia MP zmiennego czynnika przy każdej wielkości zatrudnienia zmiennego czynnika, to wzrost tego zatrudnienia zwiększa SRMC przy każdym poziomie produkcji, a więc prowadzi do zmniejszenia SRS.

Zależność między MP zmiennego czynnika i zmianami stałego czynnika można przedstawić:
.

Pamiętając, że:
, zależność między SRMC i wzrostem zatrudnienia K można przedstawić:
. Jeżeli ta pochodna jest dodatnia, to SRMC maleją wraz ze wzrostem kapitału i odwrotnie. Dlatego rys. 12.3 może również przedstawiać skutek wzrostu (prawy) i spadku (lewy) zatrudnienia stałego czynnika, który zmniejsza (zwiększa) MP jednego zmiennego czynnika.

Zmiany techniki produkcji

Inny parametr SRS jest zawarty w samej funkcji produkcji. Zmiana techniki produkcji jest ulepszeniem umożliwiającym otrzymywanie większej produkcji z tych samych czynników.

1. zmiany neutralne techniki produkcji: nie zmieniają MRTS dla każdej kombinacji czynników;

2. zmiany obciążone techniki produkcji: zmieniają MRTS przy każdej możliwej kombinacji czynników.

Zmiany neutralne zwiększają produkcję (a przez to zmniejszają koszty) dla każdej kombinacji czynników. Zmiany obciążone zazwyczaj zmniejszają koszty dla pewnych kombinacji czynników.

Ad.1: Neutralne zmiany techniki produkcji są pozytywnym monotonicznym przekształceniem funkcji produkcji zwiększającym produkcję na każdej izokwancie bez zmieniania MRTS. Na przykład dla funkcji produkcji:

x = K^1/2L^1/2 neutralną zmianę techniki podwajającą produkcję dla tych samych czynników można zapisać jako: x = 2K^1/2L^1/2.

(Każdy wzrost współczynnika lub zwiększenie obu: kapitału i pracy do tej samej potęgi reprezentuje zmianę neutralną, gdyż jest dodatnim monotonicznym przekształceniem.)

Przykład: dla uogólnionej postaci funkcji produkcji: x = A(K^αL^β)^μ , gdzie A, α, β, μ to dodatnie parametry, neutralną zmianę może stanowić zwiększenie A lub μ. Zwiększenie A nie zmienia korzyści skali, a zwiększenie μ zwiększa je.

Dla funkcji produkcji postaci: x = AK^1/2L^1/2 o stałych korzyściach skali, funkcja SRS jest odwrotnością
z dodanym współczynnikiem A:
. Aby pokazać wzrost parametru A, różniczkujemy to wyrażenie względem A przy stałych pozostałych parametrach (cenie, płacy i kapitale):
. Z tej pochodnej wynika, że przy wzroście A, firma chce zwiększać podaż przy każdej cenie. Zmiany pokazywane przez tą pochodną można również analizować jako przesunięcie krzywej SRMC:
. Różniczkując wyrażenie opisujące krzywą SRMC względem A otrzymujemy:
, co pokazuje, że zwiększenie parametru A prowadzi do zmniejszenia SRMC dla każdego poziomu produkcji oznaczając przesunięcie na prawo krzywej SRS (jak na rys.12.3).

Rys. 12.4 pokazuje zmiany neutralne.

Ad.2: Zmiany obciążone techniki produkcji mogą być podzielone na te, które prowadzą do zwiększenia względnego MP_L (zwane pracochłonnymi lub kapitałooszczędnymi) i na te, które zwiększają względny MP_K (zwane kapitałochłonnymi lub pracooszczędnymi). W wielu przypadkach technologie pracochłonne zmniejszają koszty tylko wtedy, gdy praca jest względnie tania, a technologie kapitałochłonne zmniejszają koszty tylko wtedy, gdy kapitał jest względnie tani.

Rys. 12.5 przedstawia obydwa rodzaje obciążonych zmian techniki produkcji, gdy zmniejszają koszty tylko w pewnych przedziałach cen czynników.

W lewej części - pracochłonna technika - izokwanta zwiększa nachylenie, co oznacza wzrost względnego MP_L. Koszty maleją w dolnej części i rosną w górnej. Firmy nie wejdą w zacieniony (górny) obszar, ale w dolny, gdzie można obniżyć koszty. W prawej części - kapitałochłonna technika - izokwanta zmniejsza nachylenie, czyli zwiększa się względny MP_K. Koszty zmniejszają się w górnej części rysunku i maleją w dolnej. Firma wejdzie w górny obszar, a nie w dolny (zacieniony). Praca i kapitał są względnie tanie w tych regionach.

Obciążone zmiany techniki zwiększą SRS, gdy jeden z poniższych warunków zostanie spełniony:

1. Jeżeli doprowadzą one do bezpośredniego wzrostu MP czynnika zmiennego, to obniżą się SRMC i Zwiększy się SRS.

2. Jeżeli wprowadzenie nowej techniki wymaga zwiększenia zatrudnienia stałego czynnika, i jeżeli to zwiększenie prowadzi do wzrostu MP zmiennego czynnika, to SRMC również ulegną obniżeniu.

Podsumowanie:

Następujące zmiany parametryczne prowadzą do wzrostu SRS:

1. Obniżenie ceny czynnika, gdy tylko jeden czynnik jest zmienny;

2. Obniżenie ceny normalnego czynnika (dwa lub więcej zmiennych czynników);

3. Wzrost ceny czynnika niższego rzędu (dwa lub więcej zmiennych czynników);

4. Wzrost zatrudnienia czynnika stałego, który prowadzi do wzrostu MP pojedynczego zmiennego czynnika;

5. Zmniejszenie zatrudnienia czynnika stałego, który prowadzi do zmniejszenia MP pojedynczego zmiennego czynnika;

6. Neutralna zmiana techniki;

7. Obciążona zmiana techniki, która prowadzi do wzrostu MP czynnika zmiennego bezpośrednio lub pośrednio;

Następujące zmiany parametryczne prowadzą do zmniejszenia SRS:

8. Wzrost ceny czynnika, gdy tylko jeden czynnik jest zmienny;

9. Wzrost ceny normalnego czynnika (dwa lub więcej zmiennych czynników);

10. Obniżenie ceny czynnika niższego rzędu (dwa lub więcej zmiennych czynników);

11. Zmniejszenie zatrudnienia czynnika stałego, który prowadzi do wzrostu MP pojedynczego zmiennego czynnika;

12. Zwiększenie zatrudnienia czynnika stałego, który prowadzi do zmniejszenia MP pojedynczego zmiennego czynnika;

Zyski i zamknięcie w SR

Funkcja zysku firmy: π(x) = TR(x) - TC(x).

Pomnóżmy prawą stronę przez x/x:

π(x) = x [ TR(x)/x - TC(x)/x] = x[p_xx/x - ATC(x)]

czyli zyski w SR można zapisać: SRπ(x) = x(p_x - SRATC)

Zyski i straty

(Rys. 12.6 - do obu części ma zastosowanie p_x = SRMC)

W lewej części: p_x¹ i x₁*:

SRπ( x₁*) = x₁* [p_x¹ - SRATC(x₁*)] > 0.

W prawej części: p_x² i x₂*:

SRπ( x₂*) = x₂*[p_x² - SRATC(x₂*)] < 0.

SRπ(x) dla funkcji produkcji x = K^1/2L^1/2 :

Wiemy, że:
i
i wstawiamy je do

SRπ(x) = x(p_x - SRATC):

Zamknięcia w SR

Firma ponosząca straty nie musi produkować w SR. Funkcją celu jest minimalizacja strat. Decyzję o zamknięciu firma podejmuje w następujący sposób. Dzieli SRATC na SRAVC + AFC: SRπ(x) = x{p_x - [SRAVC(x) + AFC]}

= x[p_x - SRAVC(x) - AFC]. Jeżeli firma ma zamiar zaprzestać produkcji w SR, czyli nie ponosić kosztów zmiennych i nie otrzymywać przychodów, to jej straty równają się tylko kosztom stałym, gdyż te są ponoszone niezależnie od tego, czy firma produkuje, czy nie. Tak długo, jak cena jest większa lub równa SRAVC, to sytuacja firmy jest co najmniej tak dobra, jak byłaby gdyby firma zaprzestała produkcji. Ponieważ cena zawsze równa się MC i ponieważ SRMC równają się AVC w ich minimum, to firma prowadzi działalność tak długo, jak cena jest większa od minimum AVC. Wielkość produkcji, dla której cena równa się minimum AVC nazywana jest punktem zamknięcia: p_x = min(SRAVC).

Efektywna krzywa podaży firmy

Ponieważ firma nie produkuje, gdy p_x < min(SRAVC), to krzywa SRS jest ograniczona do części SRMC dla wielkości produkcji większej lub równej tej, jaka odpowiada min(SRAVC). Jest ona nieciągła. (rys.12.7).

Skutki malejących przychodów zmiennego czynnika

Kolejna ważna cecha wynikająca z malejących MP zmiennych czynników: jeżeli jest jeden zmienny czynnik i jego MP w końcu maleje wraz ze wzrostem zatrudnienia, to krzywa SRS ma nachylenie dodatnie. (Jeżeli PM_L maleje, to funkcja SRAVC musi w końcu rosnąć, czyli krzywa SRS będzie określona wyłącznie dla rosnącej części krzywej SRMC przy produkcji co najmniej równej wielkości produkcji punktu zamknięcia.)

Jeżeli funkcja produkcji wykazuje malejący MP jednego zmiennego czynnika dla każdego poziomu zatrudnienia, to nie będzie punktu zamknięcia w SR, gdyż SRMC i SRAVC „wychodzą” z początku układu współrzędnych i SRMC rośnie szybciej dla każdej wielkości produkcji. (rys. 12.8)

Jeżeli firma zatrudnia dwa lub więcej zmiennych czynników, to funkcja produkcji musi wykazywać malejące przychody wszystkich czynników jednocześnie, aby SRAVC i SRMC rosły. Można to osiągnąć jeżeli VC rosną szybciej od produkcji przy wzroście zatrudnienia wszystkich zmiennych czynników.

Popyt na jeden zmienny czynnik w krótkim okresie

Popyt pochodny

Wybór wielkości produkcji maksymalizującej zysk oznacza popyt na czynniki umożliwiający wytworzenie takiej produkcji - dlatego popyt na czynniki nazywamy popytem pochodnym.

Aby scharakteryzować ten popyt zaczniemy od sformułowania funkcji zysku w oparciu o czynniki:

.

Aby wyznaczyć popyt na czynniki maksymalizujący zysk przy stałym zatrudnieniu kapitału, zapisujemy pierwszą pochodną względem pracy i przyrównujemy ją do zera:

.

Po rozwiązaniu:

w = p_xMP_L

Analogicznie dla kapitału:

i r = p_xMP_K .

Krańcowe i przeciętne przychody z czynnika

Z równania w = p_xMP_L wiemy, że jeżeli praca jest jedynym czynnikiem, to popyt na pracę w SR na rynku doskonale konkurencyjnym jest proporcjonalny do jego produktu krańcowego. Praca zatrudniana jest do momentu aż jej koszt krańcowy (w) zrówna się z krańcowym wkładem do przychodów całkowitych firmy, czyli iloczynem ceny dobra i MP_L. Ten krańcowy wkład do przychodów nazywamy: przychodem krańcowym z czynnika (z pracy: MRP_L lub kapitału: MRP_K).

Wyprowadzenie funkcji popytu na pracę w SR dla funkcji produkcji: x = K^1/2L^1/2. Różniczkujemy funkcję produkcji względem L:

. Wstawiamy powyższy wzór do w = p_xMP_L :

.

Otrzymane równanie rozwiązujemy dla L otrzymując funkcję popytu w SR:

,

dla danego zatrudnienia kapitału.

Możemy wyprowadzić wzory:

ARP_L = TR/L =
: przeciętny przychód z pracy

ARP_K = TR/K =
: przeciętny przychód z kapitału.

Rys. 12.9: zależność między produktem krańcowym, produktem przeciętnym, krańcowym przychodem z czynnika i przeciętnym przychodem z czynnika. Ponieważ p_x jest stałe, to funkcje krańcowego przychodu z czynnika i przeciętnego przychodu z czynnika są proporcjonalne do funkcji produktu krańcowego i produktu przeciętnego. Z tego wynika, że maksimum MRP zostaje osiągnięte dla tej samej wielkości produkcji, co maksimum MP. Ta sama zależność istnieje dla ARP i AP.

Zamknięcie w SR i krzywa efektywnego popytu na pracę

Wiemy, że firma zaprzestaje działalności, gdy cena produktu zrównuje się z min AVC. Utrzymując cenę produktu na niezmienionym poziomie i pozwalając zmieniać się płacy, przy pracy jako jedynym zmiennym czynniku

P_x = SRAVC = wL/x w punkcie zamknięcia w SR. Czyli w tym punkcie: w = p_xx/L = ARP_L.

Ponieważ jednak w = MRP_L w każdym punkcie krzywej popytu na pracę w SR, to w musi zrównywać maxARP w punkcie zamknięcia w SR. Dzieje się tak, gdyż MRP zrównuje się z ARP w max ARP. Krzywa popytu na pracę w SR przebiega wzdłuż osi płac dla płac większych niż maxARP, a następnie przeskakuje do krzywej MRP dla płac mniejszych od (lub równych) maxARP - rys. 12.10.

Zamknięcie w SR przy uwzględnieniu popytu na pracę i podaży produktu

Punkt zamknięcia w SR firmy doskonale konkurencyjnej można wyrazić jako:

• minSRAVC

• maxARP.

Jeżeli ceny są parametrami, to punkt zamknięcia w SR można traktować jako własność „fizyczną” funkcji produkcji, niezależną od płacy lub ceny produktu. Istnieje więc tylko jedna wielkość pracy, czyli jedna wielkość produktu dla punktu zamknięcia w SR. Zmiany płacy - parametru przesuwają cenę zamknięcia w dół lub w górę, bez oddziaływania na wielkość produkcji przy minAVC. Podobnie, zmiany ceny produktu - parametru przesuwają płacę zamknięcia w górę lub w dół, bez zmieniania wielkości zatrudnienia pracy przy maxARP. Dzieje się tak, gdyż:

SRAVC = wL/x(L;
) i ARP_L = p_xx(L;
)/L, następnie zróżniczkujmy względem pracy przyjmując, że cena produktu i płaca są parametrami oraz przyrównajmy otrzymane różniczki do 0:

,

Z powyższych równań wynika, że w przypadku firmy doskonale konkurencyjnej, z punktu zamknięcia w SR wynika, że wielkość pracy dla której produkcja równa się pracy pomnożonej przez MP_L jest niezależna od ceny produktu i płacy.

Dalsze skutki malejących przychodów

Pomnożenie obu stron równania:
przez p_x wzmacnia spostrzeżenie:

.

Do powyższego równania wstawiamy w = p_xMP_L:

p_xx = wL,

czyli w punkcie zamknięcia przychody równają się kosztom zmiennym.

W dyskusji przedstawiona została ostatnia, ważna cecha wynikająca z malejących produktów krańcowych. Jeżeli firma zatrudnia tylko jeden zmienny czynnik, a funkcja produkcji w końcu osiąga malejące przychody krańcowe z tego czynnika, to krzywa popytu firmy w SR na ten czynnik ma nachylenie ujemne. Z malejącego produktu krańcowego wynikają malejące krańcowe przychody z czynnika, a to oznacza opadającą krzywą popytu na czynnik w SR.

Popyt na dwa czynniki lub więcej w krótkim okresie

Przy dwóch lub więcej zmiennych czynnikach zasadnicza zasada maksymalizacji zysku jest taka sama, jak przy jednym. Na przykład, dla trzech zmiennych czynników funkcja zysku przyjmuje postać:

.

Aby znaleźć wielkość popytu maksymalizującą zysk zapisujemy pochodne cząstkowe powyższej funkcji zysku względem czynników i przyrównujemy je do zera:

.

Jeżeli cena jednego ze zmiennych czynników zmienia się, to działają efekty „dochodowy” i substytucyjny”. Poruszając się wzdłuż izokwanty firma zawsze zastępuje droższy czynnik tańszym. Ale, gdy wielkość produkcji zmienia się, to firma może zwiększać lub zmniejszać zatrudnienie danego czynnika. Jeżeli czynnik jest normalny, krzywa popytu na czynnik w SR będzie miała nachylenie ujemne. Wynika to z faktu, że MC rośnie przy każdej wielkości produkcji przy wzroście ceny normalnego czynnika. To zmniejsza wielkość produkcji maksymalizującej zysk dla danej ceny produktu. Jeżeli czynnik jest normalny, to zmniejszenie wielkości produkcji prowadzącej do maksymalizacji zysku, oznacza, zmniejszenie optymalnej wielkości popytu na ten czynnik - rys. 12.11.

Przesunięcia funkcji popytu na czynnik

w krótkim okresie

Parametrami funkcji popytu na czynniki w SR są: cena produktu, wielkość zatrudnienia czynników stałych i technika. Funkcja ta ulega przesunięciu przy zmianie któregoś z tych parametrów.

Zmiana MP_L

Skutki zmian stałych czynników są nie do przewidzenia. Ale jeśli zwiększenie zatrudnienia czynnika stałego prowadzi do zwiększenia MP jedynego zmiennego czynnika dla wszystkich poziomów zatrudnienia tego czynnika, to zwiększenie zatrudnienia stałego czynnika spowoduje przesunięcie na prawo krzywej popytu na zmienny czynnik w SR. Skutek zmiany techniki zależy od tego, czy prowadzi do zwiększenia MP zmiennego czynnika. Jeśli tak, to popyt w SR zwiększy się, gdyż wzrost MP prowadzi do wzrostu MRP dla danej ceny produktu - rys. 12.12.

Zmiana ceny produktu

Przy jednym zmiennym czynniku, jeżeli cena produktu rośnie, to popyt w SR musi również wzrosnąć dla każdego poziomu produkcji. Znamy wyrażenie na funkcję popytu na pracę w SR: w = p_xMP_L. Jeżeli p_x rośnie, to firma chętniej zapłaci wyższą płacę każdej jednostce pracy. Ponieważ jednak firmy są cenobiorcami, to rośnie zapotrzebowanie firmy na pracę przy każdej płacy. Przy wzroście ceny produktu, krzywa popytu na pracę w SR przesuwa się więc na prawo - rys. 12.13.

Jeśli krzywa podaży w SR ma nachylenie dodatnie i większa ilość zmiennego czynnika znajduje zatrudnienie przy wzroście produkcji, to wzrost ceny produktu spowoduje przesunięcie krzywej popytu na zmienny czynnik w SR na prawo.

17

---