AGH	Wydział: EAIiE		Imię Nazwisko: Mateusz Serafin
ELEKTROTECHNIKA				Semestr: IV
Laboratorium Teorii Sterowania i Technik Regulacji
Temat ćwiczenia: Układy wielowymiarowe			Rok: 2 Grupa: 5.2	Nr ćw: 3	Rok akademicki: 2009/2010
Data oddania:			Data zaliczenia:

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z własnościami elementów dyskretnych i transformatą „Z”, oraz układem automatycznej regulacji, w którym za utrzymanie zadanych parametrów obiektu o działaniu ciągłym jest odpowiedzialny regulator cyfrowy, oraz poznanie metody doboru transmitancji tegoż regulatora.

Badanie podstawowych członów dyskretnych:

1. Wstęp teoretyczny

W ćwiczeniu zostały zbadane elementy układów dyskretnych. Poddaliśmy w nich czas dyskretyzacji. Obrazuje to przykładowa funkcja y(t) gdzie czas został podzielony na równej długości przedziały T:

t = nT n = 0,1,2,...., gdzie T jest to czas dyskretyzacji:

Dzięki temu, otrzymujemy ciąg impulsów o wartościach odpowiadających wartości funkcji w punktach pobierania sygnału (po czasie T, 2T, 3T ...). Kolejne impulsy są opóźnione względem siebie o T. Zastosowanie transformaty „Z” zamiast transformaty Laplace'a ma na celu uzyskanie mniej uciążliwego zapisu. Z tego też względu nie stosuje się przy dyskretyzacji transformaty Laplace'a, ale transformatę „Z”. Warunkiem stosowania transformaty „Z” (również transformatę Laplace'a ) jest założenie, że t > 0. Transformata „Z” funkcji f(t) jest funkcją zmiennej zespolonej „Z” określoną następująco:

Z [f(t)] = Z(z) = Σ^∝_n=0 f(nT) ⋅ z ^-n

dla IzI>R=
gdzie ρ-promień zbieżności szeregu

Jeżeli T = 1 to Z [f_n] = Σ^∝_n=0 f_n ⋅ z ^-n

Transmitancję G(z) podobnie jak w przypadku transformaty Laplace'a możemy przedstawić na dwa sposoby:

a) jako transmitancje w postaci TF:

b) oraz jako transmitancje w postaci ZP:

gdzie:

z_n1 , z_n2 , z_n3 , ... - zera z_d1 , z_d2 , z_d3 , ... - bieguny

2. Przebieg ćwiczenia

• element opóźniający:

Sygnał wejściowy: Sygnał wyjściowy:

• element różniczkujący:

Sygnał wejściowy: Sygnał wyjściowy:

Sygnał wejściowy jest skokiem jednostkowym opóźnionym o 1.

• 
  element oscylacyjny:

Sygnał wejściowy: Sygnał wyjściowy:

element całkujący:

Sygnał wejściowy : Sygnał wyjściowy:

Wnioski:

Przy układzie opóźniającym na wyjściu otrzymujemy opóźnienie sygnału w stosunku do wejściowego. Im licznik jest coraz większy tym opóźnienie staje się także coraz większe.

Kolejnym elementem jest układ różniczkujący, którego na wyjściu otrzymaliśmy wykres, który przypomina nam charakterystykę wyjściową dla układu rzeczywistego różniczkującego liniowego, przedstawiony w postaci dyskretnej. Układ ten jest opisany transmitancją G(z)=(z-1)/z(z-a). Stała czasowa zwiększy się jeśli zwiększymy parametr `a', tzn. że przedział czasu po którym sygnał wynosi zero zwiększa się. Gdy ustawimy a=1 to badany układ staje się układem opóźniającym o opóźnieniu równym jeden. Jeśli jednak nasz parametr a>1 to badany układ różniczkujący nie jest już układem stabilnym i po skoku jednostkowym podanym na wejście na wyjściu pojawia się sygnał zdążający do nieskończoności.

W układzie oscylacyjnym po zadaniu na wejście skoku jednostkowego na wyjściu pojawiły się oscylacje tłumione, które po pewnym czasie zanikły. Świadczy to o tym, że po zadziałaniu na dany układ zakłócenia w postaci skoku jednostkowego, sygnał wyjściowy będzie oscylował wokół pewnej wartości, która zależy od parametrów układu i nastepnie po pewnym czasie się ustabilizuje. Zatem taki układ jest układem stabilnym. Można było to przewidzieć na podstawie tego, że pierwiastek charakterystyczny mianownika jest ujemny, a właśnie warunkiem stabilności jest to aby pierwiastki charakterystyczne mianownika były ujemne. Jeśli mamy do czynienia z zespolonymi pierwiastkami to układ jest stabilny tylko wtedy, kiedy część rzeczywista tych pierwiastków jest ujemna.

Ostatnim zbadanym przez nas elementem był układ całkujący. Jeśli na wejściu mamy sygnał większy od zera to wtedy następuje jego całkowanie. Jeśli natomiast sygnał zanika, to układ przestaje całkować i sygnał wyjściowy stabilizuje się na pewnym poziomie, zależnym od parametrów danego układu. Gdy zmienia się wartość licznika transmitancji opisującej ten układ to zmienia się jednocześnie wartość poszczególnych stopni całkowania w ten sposób, że im mniejsza wartość licznika tym mamy więcej schodków i układ jest bardziej czuły.

Układ ciągły z regulatorem cyfrowym.

1. Wstęp teoretyczny:

Schemat blokowy układu:

Wartości z “*” to wartości dyskretne.

Ekstrapolator przetwarza sygnał dyskretny u* na sygnał ciągły.

Definiujemy transmitancje:
,

Aby przejść do układu dyskretnego tworzymy
, następnie zdyskretyzujemy czas
, później określamy transformatę „z” obiektu
.

Przystępujemy do przekształceń korzystając pzy okazji z rokładu na ułamki proste:

=

Dokonujemy dyskretyzacji czasu: T_i=1 i otrzymujemy:

Wyznaczam transmitancję obiektu za pomocą transformaty „Z”:

Podstawiając dane liczbowe otrzymujemy:

Wyliczamy transmitancję zastepczą układu G_z:

przyjmując:
oraz

stąd otrzymujemy:

=

W celu optymalnego określenia transmitancji regulatora definiujemy dwa warunki, które muszą być spełnione:

Wykorzystując warunek 1) możemy cały mianownik ułamka G_Z(z) zastąpić przez z^k, gdzie k jest rzędem obiektu. W naszym badanym układzie k=2.

Otrzymujemy:

, gdzie K jest to wzmocnienie naszego badanego układu.

Z warunku 2) transformata uchybowa wyraża się:

Teraz musimy znależć współczynniki K, a₀, a₁, korzystając przy tym z warunku 1)

Porównując stronami otrzymujemy rozwiązanie:

a₁ = 1 a₀ = 0.4585 K = 2.5411

Stąd mamy już w pełni zdefiniowaną transformację zastępczą naszego układu zamkniętego:

Możemy teraz wyznaczyć transmitancję G_R(z) z warunku:

Stąd:

2. Przebieg ćwiczenia:

Schemat pomiarowy :

Współczynniki postaci dyskretnej obiektu:

Ld	0	0.2131	0,1804
Md	1.0000	-1.6065	0.6065

Współczynniki postaci dyskretnej czynnikowej obiektu:

Nd	-0.8467
Dd	1.0000	0.6065
K	0.2131

Nastawy regulatora cyfrowego:

Zrc	0.6065
Prc	-0.4585
Krc	2.5411

Sygnał wejściowy : Sygnał wyjściowy

Wnioski:

Transformata `Z' jest wykorzystywana do badania członów dyskretnych. Badając je można zaobserwować, że w wyniku przejścia zadanego sygnału prze ten człon następuje zmiana jego ocylacji lub całkowity zanik, w zależności od tego, jaki nastawimy człon. Porównując wykresy sygnału wejścia i wyjścia widzimy tą różnicę.

Warunek na minimalny czas regulacji oraz zerowy uchyb regulacji pozwala nam dobrać odpowiedni regulator. W celu dobrania odpowiedniego regulatora do danego obiektu należy wykorzystać warunek na minimalny czas regulacji oraz na zerowy uchyb regulacji. Dobrze dobrany regulator pozwala na skrócenie czasu ustalania się układu. Stabilizacja naszego układu nastąpiła po czasie t=2s od chwili zadziałania na wejściu skoku jednostkowego. Układ z regulatorem ma dużo mniejszą stałą czasową, niż układ z samym tylko obiektem regulacji. Dlatego też bardzo uzasadnione jest stosowanie regulatorów cyfrowych.

1/7

u(t)

u^*(t)

- minimalny czas regulacji

jednostkowy

Skok

Wykres2

Wykres1

Obiekt

(z-Dd)

K(z-Nd)

cyfrowy

Regulator

(z-Prc)

Krc(z-Zrc)

sumacyjny

Węzeł

-

+

---