4b (3)

t

ESTYMACJA PUNKTOWA

t

ZLS - Zmienne losowe skokowe

ZLC - Zmienne losowe ciągle

Wartość oczekiwana - nadzieja matematyczna - średnia

n

4-00

E(X_s) = Yx,_Pi

E(X_C) = Jx • f{x)dx

1=I

-co

Wariancja z próby losowej

n

D\X_s) = Y\x,-E{X)\ -p,

/=!

4-CO

D²(X_C)= f[i-    E{X)

-co

D¹ (X) = E[X - E(X)f D\X) = E(X¹)-[E(X)f

Odchylenie standardowe

D(X_c) = JD²(X_r)

D(X_S) = JD²(X_S)

Momenty zwykłe

n

4-CO

m

= E(X/) = Y_jx_i^kp_l

/ = ]

m_k = E(X_c^k) = JV • f(x) • dx

-co

Moment zwykły rzędu pierwszego to wartość oczekiwana m_x - E(X)

k - rząd momentu

Momenty centralne

n

4-CO

/=!

a =ji*-

-co

£(X)] /(*)<&

4

^ -

Pl ~ ^m2 ~ ^m\

/z₃ = m₃ -3m_]m₃ 4- 2/??,²

Moment centralny rzędu drugiego to wariancja Moment centralny rzędu trzeciego to asymetria stron

Współczynnik asymetrii

Pi Pi

g =

Pi

D\X)

dla g > 0 asymetria prawostronna ujemna dla g < 0 asymetria lewostronna dodatnia

Kurioza - skupienie, spłaszczenie rozkładu, ekscens

Pa Pa

k =

p\ D^Ą(X)

'C.ł

'U .Ti