073

73

5.1. Estymacja punktowa

Zadania

Zadanie 5.1.1.

Niech Xy,X₂,X₃ będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie z nieznaną wartością oczekiwaną m i skończoną wariancją er². Udowodnić, że poniższe trzy statystyki

^Tl - 2^Xl + 2^X2 + ^^X3> ^T2 ~ c*l + ą^X2 + I^x2’ ^T2 -    + o^X2 + ^^X2

są nieobciążonymi estymatorami parametru m. Który z nich jest najlepszy?

Zadanie 5.1.2.

Niech Ty i T₂ będą nieobciążonymi i niezależnymi estymatorami parametru 6 oraz D²7’ = a² dla / = 1,2.

a)    Sprawdzić, czy statystyka T = aT_x + (1 — a)T₂ jest estymatorem nieobciążonym dla każdego a.

b)    Wyznaczyć taką wartość a, dla której wariancja estymatora T jest najmniejsza.

Zadanie 5.1.3.

Niech X_l,X₂,...,X_n będzie próbą prostą pochodzącą z populacji o rozkładzie Poissona z nieznanym parametrem A. Do oszacowania A użyto estymatorów X i S². Który z nich jest estymatorem nieobciążonym parametru A?

Zadanie 5.1.4.

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z parametrami nip, gdzie n € N, 0 < p < 1 oraz p jest nieznane.

X

a)    Sprawdzić, czy statystyka — jest estymatorem nieobciążonym parametru p.

ⁿ    X ( X\

b)    Dla jakiej wartości c statystyka T = c— ( 1--) jest estymatorem nieobciążonym

n \ nj

parametru d = p(l — p)?

Zadanie 5.1.5.

Niech Xj,X₂,...,X_n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowych rozkładach normalnych N(m, er), a) Sprawdzić, że statystyka

i n—1

n—1

W² =

jest estymatorem nieobciążonym wariancji a². b) Sprawdzić, że statystyka

1 ⁿ~^l    o

w²

i

1=1

jest estymatorem asymptotycznie nieobciążonym wariancji o²