img045

któro z założenia 39 otwarte. Ich przecięcie

A . A₁HA₂ - [x£Z: «£<f(xj - f($)<fe}

Jest również zbiorem otwartym. Zbiór A zawiera oczywiście punkt 5, a wraz z nim i kulę K(x,<5) - £xeZ: d(x,8)4£} co oznacza, że f jeer funkcję cięgłę w punkcie 8. Ponieważ 8 jest dowolnym punktem zbioru 2. więc funkcja f Jest cięgła w całym zbiorze Z, co kończy dowód twierdzenie 4.2.""

Definicja 4,1. Przestrzeń metrycznę (Z,d) nazywamy przeStrzenię prezwartę Jeśli każdy podzbiór Ac Z majęcy nieekończonę ilość elementów zawiera cięg fundamentalny.

Niżej pokażemy, że Jeśli alb eę liczbami rzeczywistymi, to przedział otwarty (e,b) wraz z metrykę d_k(x,y) o łx-y l Jest przestrzenią prezwartę. Przedtem Jednak udowodnimy dwa ważne twierdzenia.

Twierdzenie 4.3 {Bolzano^4S - Weieretrassa⁴⁵ ). W przestrzeni E^{1 2} każdy nieskończony i ograniczony zbiór liczb rzeczywistych I ma co najmniej Jeden punkt skupienia.

Dowód. Ponieważ zbiór I Jest ograniczony, więc Jest on zawarty w pewnym przedziale domkniętym 4.    • Podzielmy odcinek

na dwie równe części obustronnie domknięte⁴⁴ i zauważmy, że w przynajmniej Jednej z nich leży nieskończenie wiele liczb zbioru I, gdyż w prze

i. +a

1

Fodobnie postępujemy w dalszej części dowodu twierdzenia H.U

1

^Pcrnard aolzgno *3 X 17^1 - 18 XII l8k8, - czeski matematyk, filozof i logik. Ze życia opublikował tylko 5 niedużych prac matematycznych

2

nie wiele więcej filozoficznych, które wydał anonimowo. Większa część jego wyników została wydrukowana dopiero w kilkadziesiąt lat po Jego śmierci. Spis prac Bolzano obejmuje 83 pozycje. Zajmował się analizy i teorii* funkcji. W początkach Ift trzydziestych zeszłego stulecia podał próbę tworzenia teorii liczb rzeczywistych, która po pewnych uściśleniach pokrywa się z teorią G. Cantora. Bolzano wprowadził współczesne pojęcie zbieżności szereęów na kilka lat przed wyjściem w świat "Analizy fi 1gebroicznej" Ceuchy ego, a na 30 lat przed Weieratrasaen: podał przy kłód krzywej ciągłej nie mającej stycznej w żadnym punkcie,

^Karl '■■eierstrose (31 X 1815 - 19 II 1697!’ - matematyk niemiecki, który w swej działalności naukowej zajmował się, między innymi teorią funkcji analitycznych, którą rozwinął do tego stopnie, ze dał jej zupełnie nowe podstawy. Znane jest Jego twierdzenie o zbieżności szeregów. Był zwolennikiem wyłączenie geometrii ze wszystkich dowodów w algebrze. Jego rewelacyjne wyniki zostały wydane po r»z pierwszy w całości dopiero w roku 1898.

*Przoz części równe rozumiemy tu odcinki mające równe długości. Dokładniej , przedział    przedstawiamy w postaci