Strona0110

5. DRGANIA LINIOWE UKŁADÓW O SKOŃCZONEJ LICZBIE STOPNI SWOBODY

Układ o skończonej liczbie stopni swobody przyjęto jako zbiór punktów materialnych połączonych bezmasowymi sprężynami i tłumikami.

Obiektem rozważań będą układy liniowe, tj. takie, w których siły sprężyste i tłumienia są liniowymi funkcjami przemieszczeń i prędkości punktów materialnych. Są to układy holonomiczne, a liczba stopni swobody równa się liczbie współrzędnych uogólnionych. Współrzędne uogólnione są przesunięciami lub kątami obrotu mas.

5.1. Drgania swobodne nietłumione

Najbardziej uogólnioną postacią równań różniczkowych ruchu są równania Lagrange’a drugiego rodzaju. Ruch układu holonomicznego, sklerono-micznego o n stopniach swobody, opisany we współrzędnych uogólnionych q_j9 j = 1, 2,..., n za pomocą tych równań, ma postać:

(5-1)

gdzie: E - energia kinetyczna układu,

Qj— zewnętrzna siła uogólniona odpowiadająca współrzędnej qj, skierowana zgodnie z dodatnim zwrotem tej współrzędnej.

Energia kinetyczna rozpatrywanego układu ma postać kwantowej formy prędkości uogólnionych:

(5-2)

^aiMj ⁼ l’²>

¹ L /=1

Liczby ay - aji nazywają się współczynnikami bezwładności układu. W przypadku drgań swobodnych układów sprężystych bez tłumienia siły uogólnione Qj wyrażają się przez energię potencjalną układu: