108(1)

Całkę /, znajdujemy wg reguły 1

h — -j- J (1 — cos 4x)dx = I dx----*■ j' cos 4xd (4x) —

^{1    1}    • a

= - x — -g- sin 4x

Caikę /₂ znajdujemy wg reguły 3 i 2, biorąc sin2x = z. Mamy wtedy 2cos2xdx = dz oraz

a więc

sin 4x — -4- sin' 2x) + C 0

5)    Zgodnie z regułą 3 i 2 oddzielamy od nieparzystej potęgi jeden czynnik: cos³kx = cos²kxcoskx i zastępujemy jego cofunkcję przez nową zmienną, czyli bierzemy sin /car = z. Mamy wówczas k coskxdx = dz oraz

j sin⁶ kx cos-¹ kxdx — j sin⁶ kx (1 —sin² kx) cos kxdx —

= J, sin⁷A-x— -V sin⁹ kx+C 7k    9 k

6)    Stosujemy regułę 3 i 2; oddzielamy od jednej z nieparzystych potęg (od niższej) jeden czynnik sin³x = sin²xsinx i podstawiamy cos.* = z. Marny — sinxdx = dz oraz

I sin³ jccos⁵xć/x= j (1— cos² x) cos⁵ xsin xdx =

= — J (l—z²)z⁵dz= — z⁵ dz-}- I z⁷dz=-^-z⁸--^ z⁶+C'=

1 _s 1

=—₀ cos⁸ x— — cos⁶x+C

O    0

513. Obliczyć całki: 1) / tg⁴ xdx, 2) / sin 3x cos 5 xdx.

Rozwiązanie: 1) Stosujemy regułę 4; podstawiamy tg* = z, skąd

z^2-dz— ^ dz-f-	r dz z^3 J -2Tr = T-z+arctgz+C =

.    ,    dz

x = arc tg z, dx = _Ł oraz

1 Z"

=    tg³ *—tg *+*-|-C

2) Stosujemy regułę 5; korzystając z odpowiedniego wzoru trygonometrycznego nadajemy funkcji podcałkowej postać sumy, a następnie całkujemy

I sin 3* cos 5xdx— — J sin 8*-}-sin (—2x) \dx =

=    | sin 8*d(8*)— ~~ j sin 2xd(2x) =

16

= —1- cos 2x—cos 8*-!-C

Obliczyć całki:

515./ cos^s xdx

r

517. I sin³* cos²xdx 519. f sin^Axdx r 4

521. I cos — * cos 3*

523. | sin ot cos btdt 525*.J (tg z f ctg z)³ efe

514. j cos² 5xdx 516. I sin²* cos²*dx 518. I sin³ * cos³ xdx

520. f ctg⁴ ydy

522. I sin 5* sin 6xdx 524*. j sin 3* sin 4* sin 5xdx

§ 7. Całkowanie funkcji wymiernych

Całki funkcji wymiernych zawsze można wyrazić jako kombinacje funkcyj elementarnych.

Funkcje wymierne całkowite (wielomiany) całkuje się bezpośrednio J (oro-^+tf. *"-^ł+ ... +a„)dx = -^j-*’^,+1+-^-*"+ ... +a_nx+C

219