129 3

LU -—

-o g(x) lim g(x)

x-0

Obliczamy pochodne:

/'(x) = a*(l + xlna), skąd /'(0)=1,    g'(A') = a*lna, skąd g'(0) = lnu#0.

Jak widać, spełnione są warunki stosowalności reguły (12.1.2), a więc

lim

lim

czyli ostatecznie

2 c

-»o sin 5x

2<v    50-

257

lim

*-•0

x² x⁴ x⁶

(I)

°tiew;

256    XII. Wyrażenia nieoznaczone

Zadanie 12.1. Obliczyć

.. /(*) ^hm ~TT’

x->o g(x)

gdzie f(x) = xa^x, g(x) = a^x-1 przy a>0 i a^l.

Rozwiązanie. Mamy tu lim/(x)=/(0) = 0 i limg(x)=g(0) = 0, więc nie

*-o    *-.o    ¹¹⁰zemy

zastosować wzoru

/w 1™/^W

lim

xa^x 1 o a^x —1 Ina

Zadanie 12.2. Obliczyć

e^3x— 3x— 1 x-.o sin² 5x

Rozwiązanie. Oznaczmy: /(x) = e³*-3.v—1, g(.v) = sin² 5x. Mamy tu lim/(x)=

x-*0

=/(0) = 0 i lim g(x) = g(0) = 0. Obliczamy pochodne:

x-0

f'(x) = 3e^3x — 3, skąd /'(0) = 0, g'(*) = 2sin 5xcos5x-5 = 5sin 10x ,    skąd g'(0) = 0-

Widzimy, że iloraz f'(x)lg'(x) w punkcie x = 0 jest również wyrażeniem nieoznaczonym postaci §.

Obliczamy drugie pochodne:

f"(x) = 9e^3x , skąd /"(0) = 9,    g''(x) = 50cosl0x, skąd g"(0) = 50.

Warunki reguły (12.1.2) dla ilorazu f'(x)lg'(x) w punkcie x = 0 są spełnione, a ""e

/'(*) f"(0) ₉ «” '(*) g"®) ⁵⁰'

Na podstawie zaś reguły (12.1.1) mamy

.. m    f\_x) ₉

lim-=hm-=    .

g{x) x~0 g'(x) ⁵⁰

e³* —3x —1 ₉ lim

§ 12.1. Wyrażenia nieoznaczone postaci ^

2cosx — 2+x~

Zadanie 12.3. Obliczyć lim-₂ . ₂-

_x_»o x sin x

Rozwiązanie. Oznaczmy: f(x) = 2 cos x — 2 + x², g(x) = x² sin² x; mamy /(0) = 0,

jr(⁰⁾=^a

Obliczmy pochodne:

f'(x) = — 2 sin x + 2x ,    skąd /'(O) = 0 ,

g'(*) = 2xsin²x + x²sin2x ,    skąd g'(0) = 0.

ponieważ obie pochodne są równe zeru, obliczamy drugie pochodne:

/"(*)=— 2cosx+2, skąd /"(0) = 0, g''(x) = 2sin²x + 4xsin2x + 2x²cos2x,    skąd    g"(0) = 0.

Wobec tego obliczamy trzecie pochodne:

/"'(x') = 2sin x,    skąd /'"(0) = 0,

g'"(x)=6sin2x+12xcos2x-4x²sin2x, skąd g"'(0) = 0.

Następnie obliczamy czwarte pochodne:

y⁽⁴⁾(x) = 2cosx, skąd /⁽⁴⁾(0) = 2. g⁽*\x) = 24 cos 2x - 32x sin 2x — 8x² cos 2x , skąd g^(4,(0) = 24 .

Stosując łańcuch wzorów według reguły de L’Hospitala ostatecznie otrzymujemy

2 cos x — 2 + x² _/ ⁽⁴⁾(0)    ,

x²sin²x g^<4)(0)

Zadanie to rozwiążemy jeszcze innym sposobem. Już z postaci licznika, a szczególniej mianownika jest widoczne, że kilka kolejnych pochodnych przybiera w punkcie x = 0 Wartość 0. Zamiast więc stosować kilkakrotnie regułę de L’Hospitala, zastosujemy rozcięcie licznika i mianownika w szereg nieskończony. Wiemy, że (por. zad. 11.10):

cosx= 1--H-----K.. ,

2!    4!    6!

Cc licznik przybiera postać

2x⁴ 2x⁶

/(x)=---+ ...

4!    6!

aż (por. zad. 11.17):

sin² x = x²--x⁴ +...

4!

Waliza matematyczna cz. I