140(1)

Współrzędne środka ciężkości jednorodnego trapezu krzywoliniowego, przylegającego do osi Ox (patrz rys. 93), dane są wzorami

/ y-dx

y_c = —_b—

b

f xydx *c = —_b-

(2)

/ ydx

2 i ydx

Jeżeli jednorodna linia materialna lub figura mają oś symetrii, to środek ciężkości tej linii (figury) leży na tej osi.

680. Wyznaczyć środek ciężkości ćwiartki okręgu x²+y^l = a², położonej w pierwszej ćwiartce płaszczyzny, jeżeli w każdym punkcie tego łuku gęstość liniowa jest wprost proporcjonalna do iloczynu współrzędnych punktu.

Rozwiązanie. Z równania okręgu znajdujemy najpierw y , a potem dl) mamy

2x4%/= 0,    / = — y

dl = ) WG')²dx = j/l +y dx = |/—dx = j- dx

Następnie obliczamy całki występujące we wzorach (1), przy czym na podstawie warunku zadania podstawramy <5 = kxy

j 6xdl = j kxy • x ■ — dx = ka J x²dx —    [/]? =

;a)    o    ^y    o

(B)    a    a

I 8y dl = ka | xydx = ka | x\ a²—x^z dx =

(B)

ka^Ą

~T

2 J

C

(B)

= ~j (a²—x²)' d(a²—x²) = ^kf [(o²-*²)²]] =

| ódl = ka I xdx = ~ [./]£ = (A)    o

Podstawiając obliczone wartości całek do wzorów (1), otrzymamy

x_c = yc = -₃«

Znaleziony punkt nie leży oczywiście na danym luku, lecz poniżej.

681. Wyznaczyć środek ciężkości luku cykloidy x = a(t~ sint), y = =a(l—cost) (rys. 132), zakładając, że jest on jednorodny.

Rozwiązanie. Dany luk jest jednorodny i symetryczny względem prostej x =7ia. Na prostej tej leży więc także środek ciężkości, czyli x_c — = na. Aby wyznaczyć y_c znajdujemy różniczkę długości łuku cykloidy

dl — ) tf+y² dt — ]/a²(l — cosf)²+a²sin²1 dt — 2a sin ~ dt

i obliczamy całki występujące w drugim ze wzorów (1)

(B)    2n

h— I Sydl—2óa² I (1 —cos t)sin-^-*ft = (A)    o

(B)    2.1

Iz— f 8dl = 28a | sin~ dt

(A)    o

Ze wzoru (1) znajdujemy y_c = 4- a.

682. Wyznaczyć środek ciężkości jednorodnej figury (płytki), ograniczonej parabolą j x + )^/'y a i osiami układu współrzędnych.

Rozwiązanie. Dana figura jednorodna jest symetryczna względem dwusiecznej kąta utworzonego przez osie współrzędnych (rys. 133), dlatego *c = >’c-

283