125(1)

Gdy natomiast bryła powstaje przez obrót trapezu krzywoliniowego }\ABy₂ wokół osi Oy (rys. 107, trapez przylega do tej osi), to dV = jtx²dy oraz

yi

V = n J ćdy 0,<y₂)    (B)

*

632. Obliczyć objętość bryły, powstałej przez obrót figury ograniczonej liniami:

(J)y² = 2px, x = a wokół osi Ox @    = 1 wokół osi Oy

3) 2y = x²,    2x-r2y—3 = 0 wokół osi O.c

@)x = ncos³r, y = osin³/ wokół osi Ox

5)y = 4—x², y = 0 dookoła prostej jc = 3

Rozwiązanie: 1) Sporzrdzając wykres paraboli >-² = 2px i prostej * = a, otrzymamy odcinek pa’ tboli OAB (rys. 108). Przy obrocie tego odcinka wokół osi Ox powstaji odcinek paraboloidy obrotowej. Objętość bryły, w myśl podanych wskazówek ogólnych, obliczamy na podstawie wzoru (A)

*2    a

V = 71 J y²dx = Ti I 2pxdx = 7ip[x²\l —na²p

x,    ó

2) Jeśli dla danej elipsy b < a, to przy obrocie dookoła małej osi elipsy powstaje spłaszczona elipsoida obrotowa (rys. 109). W myśl podanych zasad, obliczamy jej objętość V, wg wzoru (B)

yj    i /    21    i—    2 —ify    a

Vi = n j X² dy = na² j y-~    d}’= 2na^l\y-    = —na²b

yi    -*    ^L    J°

Przy' obrocie elipsy wokół jej dużej osi powstaje wydłużona elipsoida obrotowa (rys. 110), której objętość wynosi V₂ = nab². Oczywiście

r_t >r»    .

3) Objętość bryły', utworzonej przez obrót wokół osi Ox figury O AB ograniczonej danymi liniami (rys. 111), będzie różnicą objętości brył, powstałych przez obrót wokół osi Ox trapezów A\ABB\ VAiAOBB_t.

Objętość Vi bryły utworzonej przez obrót trapezu AiABBi można obliczyć ze wzoru (A)

*2    i

-3

Vi= jy²dx = 7i j (1,5—x)²dx —

x\

■ n

r    ,    f n(x—1,5)³1‘

=    (x-l,5fd(x-l,5) = I -    ₃ : ^J \ ₃ =

91

253