191(1)

887. Znaleźć współrzędne środka ciężkości łuku AB linii śrubowej x — acost, y = asinr, z = bt, jeśli gęstość liniowa luku w każdym jego punkcie jest wprost proporcjonalna do współrzędnej z łuku; t_A = 0. t_B = n.

Rozwiązanie. Stęsujemy wzory (4). Obliczamy oddzielnie całki krzywoliniowe występujące w tych wzorach, przekształcając je na zwykłe całki oznaczone o zmiennej t. Mamy

x=— a sini, y = acost, ż — b, dl — \Zx²-{-y²-\-ż² dt =

71

Ą — J xddl = J a cos t ■ kbt j a²-fó² dt =

AB

o

= akb j/a²+ó² [r sin /+cos = —2abk | ć^+ó²

h — ! ySdl — J a sin t ■ kbt a²-)-b² dt =

AB

o

= abk\ a^2jrb² [sin t — /cos /]₀ = abkn \ a²Ą-b²

ab    o

71

AB    0

AB

0

Wobec tego

888 Jaką pracę wykona siła ciężkości przy przemieszczeniu punktu materialnego o masie m wzdłuż łuku AB pewnej krzywej?

Rozwiązanie. Obierzmy układ współrzędnych prostokątnych tak, aby kierunek osi Oz pokrywał się z. kierunkiem siły ciężkości. Wtedy siła działająca będzie co do wielkości i kierunku, określona wektorem F = mgk (k wektor jednostkowy osi Oz), a jej rzuty (składowe) na osie układu będą równe: F_x — P — 0, F_y = Q = 0, F_z = R = mg.

Zgodnie ze wzorem (5) szukana praca wyraża się caiką

²b

L - I PdX-'_rQdy \-Rdz = J mgdz '= mg J dz = mg(r_fl-;r,<)~

afl    /fi    ,

Jak widać, całka ta zależy tylko o'd różnicy współrzędnych początku i końca drogi, liczonych wzdłuż osi Oz, nie zależy natomiast od kształtu drogi.    ‘ '

889.    Znaleźć pracę pola sił, którego natężenie E (czyli siła działająca na jednostkę masy) w każdym punkcie (x, y) jest równe E = (x+y)i-xj, jeśli punkt o masie m zakreśla w tym polu okrąg x = acosf, y = asinf zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

Rozwiązanie. Podstawiając we wzorze (5) składowe F_x — => m(x-\ry)_} F_y = —mx siły działającej na dany punkt oraz przekształcając całkę krzywoliniową na zwykłą całkę ze zmienną t, otrzymujemy

L = f Pdx-\-Qdy = j m(xĄ-y)dx—mxdy —

—c    ~c

-Zn

m (a cos t-j-a sin t)d(a cos t)—ma cos td(a sin t) — o

— 2n

2xma^z

— —ma² | (1+sin/cost)dt — — ma¹ o

t-⁶

890.    Obliczyć długość łuku krzywej x = 2— y = — między punktami jej przecięcia się z osiami układu.

891.    Obliczyć długość łuku AB krzywej t1) = e~^x+l.; x_A — 1, Xb = 2.

892.    Obliczyć pole, ograniczone: 1) kardiodą x = 2cost—cost2t, y = =2sin/—sin2/, 2) asteroidą.Y = acós³t,y = uąin ³f.

893.    Obliczyć pole, ograniczone: 1) krzywą y² = x²—x⁴, 2) pętlą krzywej

y² — *²+w³ (przejść do równań parametrycznych krzywej, podstawiając y = xt).    '    ¹

894.    Obliczyć masę łuku O A kPzywej:

'"“l) 3y = 2x \Zx, jeżeli gęstość liniowa w punkcie M łuku jest wprost proporcjonalna do długości łuku OM; 0(0, 0), A

25 Metody rozwiązywania zadań 385