215(1)

999. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregów potęgowych:

+ CO

1) Y ⁽.-^v)n,

jLi 3-¹ y_n

(x+8)^3a

n= 1

+ oo

+ 00

i 2ⁿn\

(2 n)\

n=l

+ Q0

4) Y 10²ⁿ(2.Y—3)^2n_I

tj=0

Rozwiązanie: 1) W ogólnym wyrazie szeregu u„ zastępujemy n przez n+1, otrzymując w ten sposób następny z kolei wyraz. Mamy

U„ —

(-*)"    (-A')ⁿ⁺¹

“n+1

3ⁿ“‘ ]/n    ""    3” ] ;;+l

Następnie, zgodnie z kryterium d’Alemberta, szukamy granicy

o = lim

rt->+0C

«n |    | 3*j/«+l X"

W

'3

i badamy, dla jakich wartości x granica ta jest mniejsza od jedności, czyli •    •    JyI

rozwiązujemy nierówność-j- < 1; |x| < 3; • 3 < x < 3.

Zatem na mocy kryterium d’Alemberta dla dowolnej wartości x ze znalezionego przedziału dany szereg jest zbieżny (przy tyra bezwzględnie), a dla jaj > 3 szereg jest rozbieżny.

Punkty graniczne .v — ±3 tego przedziału, dla których q = 1 i. dla których kryterium d'Alembcrta nie rozstrzyga o zbieżności szeregu, badamy oddzielnie.

Dla ,v = —3 otrzymujemy szereg liczbowy V -³_: o wyrazach dodatnich.

4—i yn

Szereg ten jest rozbieżny, o czym można się przekonać przez porównanie go z rozbieżnym szeregiem harmonicznym Y (każdy wyraz badanego

szeregu jest większy od odpowiadającego mu wyrazu w szeregu harmonicznym).

Yl    ³

Dla .V = 3 otrzymujemy szereg przemienny 2. (—1)" —, który jest

yn

zbieżny na mocy kryterium Leibniza G^eg° wyrazy stale maleją co do wartości bezwzględnej, dążąc do zera).

Wobec tego przedziałem zbieżności danego szeregu potęgowego jest półotwarty przedział — 3 < ,v < 3.

2) W tym przypadku

2"+¹(«-f-l)!

(2n+2)l

= 2x² lim--—--= O < 1

n n-

czyli dla danego szeregu q < 1 dla każdej wartości x.

Zatem na mocy kryterium d’Alemberta szereg ten jest zbieżny dla każdej wartości x, a jego przedziałem zbieżności jest cała oś liczbowa — oo < x <

< +00.

3) Mamy

(x+8)³ⁿ

(x+8)^{3n+3 Wn+1 -}    (n+1)¹

h²(x+8)³

(«+D²

q = lim ^itn+l- = lim

|x+8|² < 1;    |x+8| < 1;    -l<x+8<l;    -9 < x < -7

Punkty graniczne znalezionego przedziału badamy oddzielnie.

Dla x — —9 otrzymujemy szereg liczbowy przemienny, o wyrazie ogól-(-1)²" (-1)"

nym a_n = ——— = ———. Szereg ten jest zbieżny na mocy kryterium Lbibniza.

Dla x = —7 otrzymujemy szereg £ o wyrazach dodatnich. Badamy go za pomocą kryterium całkowego

Metody rozwiązywania zadań 433

1

Wobec tego przedziałem zbieżności rozważanego szeregu potęgowego będzie przedział —9    x < —7.

2

4) Dla danego szeregu

u_n = lO^CŁc-3)¹""³,    u„₊₁ = 10²ⁿ⁺²(2x—3)²ⁿ⁺

e = lim    = 10¹(2x—3)¹

3

stwierdzamy, że jest on zbieżny.