8 (33)

159

Szeregi Fouriera

Ograniczymy się tutaj do podania niektórych podstawowych twierdzeń, do dowodu których wystarczą środki rozwinięte w poprzednich rozdziałach. W dokładniejszych badaniach naturalnym i podstawowym środkiem jest całka Lebesgue’a.

Początkowo zajmiemy się bardziej ogólnymi systemami funkcji, które mają własności analogiczne do (61).

8.10. Definicja. Niech {<p_n}, n — 1, 2, 3,..., będzie ciągiem funkcji o wartościach zespolonych określonych na <a, b) takich, że

(64)    f PnCs) <p_m(x) dx - 0 (n # m).

a

Wtedy {<p_n} nazywamy ortogonalnym układem funkcji określonych na (a, b). Jeżeli poza tym

(65)    S\n(x)\²dx = 1

a

przy każdym n, to układ {<p„} nazywamy ortonormalnym (ortogonalnym unormowanym).

_i_

Na przykład funkcje (2rc) 2 e'"^x tworzą układ ortonormalny na (—n, n). Taki układ

1 pnę y «in y rns?Y ciii /y

tworzą również funkcje rzeczywiste: —, ——, ——, ——, ——,... Jeżeli {?>„} jest układem

²ⁿ y/n y/n y/n    y/n

ortonormalnym na <a, b) i jeżeli

(66)

c„ = jft 9>»(t)dt (n = 1,2, 3,...),

to liczbę c„ będziemy nazywali n-tym współczynnikiem Fouriera funkcji/względem układu {<?„}. Napiszemy

(67)    f(x) ~ £ c„f„(x)

1

i nazwiemy ten szereg szeregiem Fouriera f (względem układu {?>„}).

Zauważmy, że pisząc znak ~ w (67) nie zakładamy niczego na temat zbieżności szeregu* symbol ten oznacza, że współczynniki szeregu są obliczone za pomocą wzorów (66).

Podane niżej twierdzenia pokazują, że sumy częściowe szeregu Fouriera funkcji / mają pewną własńość minimalności. Będziemy tu i w pozostałej części rozdziału zakładać, że funkcja fe di. Założenie to może być jednak osłabione.

8.11. TWIERDZENIE. Niech układ {<p„) będzie ortonormałny na <0, b>. Niech

n

(68)    s„(x) = £ c_m<p_m(x)

m=* 1

będzie n-tą sumą częściową szeregu Fouriera funkcji f i niech

n

tfx) = £ y« <pj.x).

«= 1

(69)