Calki 1

Całki oznaczone i ich zastosowania geometryczne

1) Obliczyć całki:

J e¹* cos xdx o

e*J^T

1 p&A    1    J £§ + '/*^{2 + 1}5Wi

0    1    o

K    K    1

J    J xcosnxdx,    \x¹śmnxdx_i \ {x-x¹)ś\nnxdx

2) Wykazać, że

ir    o

^ w * £ => | sin/zxsinAxdte = 0 A J cosnxcoskxdx = 0.

rt,tóV-{l}    0    -*

Obliczyć całki, gdy n-k.

X

3) Obliczyć całkę f J£x) ⁰⁰⁸ nxdx, jeśli

M

-x dla x e< ~;r,0) 7tx-x¹ dla X €< 0,7T >

4)

Rozwiązać równania:

X

X

In2

5)    Obliczyć wartość średnią funkcji fix) na przedziale < a, b >, jeśli

a)    Ax) h Jl~x², a = 0, 6 = -ys

b)    ./(*) = arcsinx, a = y, ó = 1;

c)    ./W = arctgjx, a = 1, b= J3;

4JH"4h ^{a = 2}-

■*#, ł-t-

6)    Obliczyć pole obszaru zawartego między krzywymi o równaniach:

a) y = x²e^-\    y = 0,    x = 1;

^b) y = |jj|    ^ = 0,    x = 1,    x = 2;

c)    y = J9 -x², y = 0, x = 0, x = y-/2;

d)    wykresem funkcji y[x) = ₁J_o--, osią Ox oraz prostymi

X = -y i X = y.

e)    krzywą o równaniu y = V2x + x², osią Ox oraz prostą x = 1.

7)    Zbadać, w jakim stosunku parabola o równaniu y² = 2x dzieli pole koła x² +y² < 8.