CCF20090120061

8

SPOSOBY WZROSTU

„Jeśli zważyć, jak rozległe zastosowanie mają wzory w różnorodnych zawodach i pracach, od zakładania wodociągów ;po budowę okrętów wojennych, nie będzie żadnej przesady w stwierdzeniu, że wyrobienie umiejętności posługiwania się wzorami, ich interpretacji i stosowania należy do najważniejszych celów, do jakich powinno zmierzać nauczanie matematyki w podstawowym zakresie”.

T. Percy Nunn The Teaching oj Algebra

Bardzo często zdarza się, że potrzebna nam jest informacja o tym, z jaką szybkością coś wzrasta. Jeżeli jeden wieżowiec jest dwa razy wyższy od drugiego, jego konstrukcja, aby mogła unieść o wiele większy ciężar, musi być znacznie mocniejsza. Budowa dwa razy wyższego gmachu będzie kosztować ponad dwukrotnie drożej. O ile drożej? Cztery razy? Osiem razy?

Jeśli posuwająca się naprzód armia wchodzi coraz głębiej na terytorium nieprzyjaciela, rosną trudności w zapewnieniu dostaw dla wojska i w komunikacji. Pokonanie odległości 1000 km wymaga ponad dziesięciokrotnie większej liczby samochodów ciężarowych niż pokonanie 100 km. Ile razy większej ?

Może się zdarzyć, że podczas pożaru zajdzie konieczność zeskoczenia w dół. Czy skok z wysokości 20 m jest dwa razy bardziej niebezpieczny niż Skok z wysokości 10 m? Czy też więcej niż dwa razy? Albo może mniej?

Jeśli drewno opałowe kosztuje 10 zł za wiązkę, której obwód wynosi 30 cm, ile powinna kosztować wiązka o obwodzie 15 cm?

We wszystkich tych pytaniach przedmiotem naszego zainteresowania jest sposób, w jaki coś wzrasta. Odpowiedzi mogą mieć duże znaczenie praktyczne. Każdy przedsiębiorca budowlany, któremu zależy na opłacalności, powinien umieć odpowiedzieć na pierwsze z nich; w przeciwnym przypadku okaże się, że wszystko, co zaoszczędził na kosztach działki budowlanej, pochłoną dodatkowe koszty materiałów.

Nieznajomość skutków, jakie powoduje zmiana skali, była przyczyną gorzkiego rozczarowania wielu niedoszłych wynalazców. W przeszłości wielokrotnie ludzie wymyślali maszyny latające i z powodzeniem konstruowali małe modele, które latały doskonałe. Wobec tego powiększano taki model i budowano maszynę normalnej wielkości, która jednak w ogóle nie unosiła się w powietrze. Przyczyna leży w tym, że ciężar maszyny i nośność jej skrzydeł zmieniają się w zupełnie inny sposób. Gdyby komuś udało się skonstruować pchłę powiększoną do rozmiarów słonia, jej zachowanie byłoby — jak sobie zresztą można wyobrazić -— całkiem odmienne od zachowania prawdziwej pchły.

Dlatego też jest rzeczą zupełnie naturalną, że inżynierowie i naukowcy oczekują od matematyków dostarczenia im prostej metody opisywania sposobów wzrostu, właściwych dowolnym wielkościom.

Różne rzeczy wzrastają, oczywiście, w różny sposób. Jeśli np. będziemy analizowali liczbę ludności Manchesteru w ciągu ostatnich 150 lat, stwierdzimy, że wielkość ta zmieniała się w sposób niezwykle skomplikowany. Matematyk może zbadać i opisać taki wzrost, nie należy jednak spodziewać się, by był to opis krótki i prosty. W grę wchodzi wiele czynników — rewolucja

125