CCF20090120103

mnieliśmy w rozidz. 6, że suwak logarytmiczny można sporządzić stosując dowolną skalę. Jeżeli liczbę 10 zaznaczymy w odległości 1 cm od początku skali, to liczba x pojawi się w odległości logx cm. Ale moglibyśmy zaznaczyć 10 w dowolnej innej odległości i sporządzić dobry suwak logarytmiczny. Nasz wynik dotyczący y' odpowiadającego wzorowi y = log x sugeruje, że warto by ustalić skalę w pewien szczególny sposób, Stwier-

0 434294...

dziliśmy, że y' jest równe —--——. Gdybyśmy za

łóg x

miast wzoru y = log x wzięli wzór y = _Q > ^to otrzymalibyśmy prostszy wynik: y' równałoby się wówczas po prostu -—. Jeżeli każdą liczbę x zaznaczymy

w odległości

log x

cm od początku sikali, to otrzy-

0,434294...

mamy suwak logarytmiczny o większej skali, który jednak poza tym niczym nie różni się od poprzedniego suwaka. 10 pojawia się teraz w odległości równej log 10

0,434294...

■. Ponieważ loglO = 1, więc tę odległość można

obliczyć: wynosi ona 2,30258... cm. Liczba, która pojawia się teraz w odległości jednego cm, jest równa 2,71828... Liczba ta ma w matematyce duże znaczenie. Nadano jej specjalną nazwę: jest to liczba e. Odległość, w jakiej pojawia się w tym nowyim suwaku 'dowolna liczba, nosi nazwę logarytmu naturalnego tej liczby. Lo-garytm naturalny liczby x zapisujemy jako log_ex lub Ina:.

Gdy poprzednio wyjaśnialiśmy logarytmy na przykładzie liny nawijanej na słup, efekt jednego pełnego obrotu przyjęliśmy za 10. Jedynym powodem tego był przypadkowy fakt, że mamy liO palców u rąk. Gdybyśmy mieli 8 palców, to prawdopodobnie przyjęlibyśmy, że jednemu obrotowi odpowiada 8 i otrzymalibyśmy równie dobrą tablicę logarytmów. Logarytmy te oznaczalibyśmy przez log₅:r. Zamiast 8 można by wziąć jakąś liczbę. Nie musi to być liczba całkowita. Mogłaby 5

to być np. liczba 2— . Na podstawie tych rozmaitych

O

liczb można by sporządzić dobre suwaki logarytmiczne, ale o różnych skalach. Stwierdzilibyśmy, że zawsze

y' ~~ , gdzie a jest „pewną ustaloną liczbą”. Jest

rzeczą naturalną wybrać ten układ logarytmów, w którym a = 1. Z tego powodu w zagadnieniach teoretycznych używamy- zazwyczaj logarytmu naturalnego, ln x.

Jeżeli y — ln x, to y' — — • x

ZAGADNIENIE TOCZĄCEGO SIĘ KOŁA

Rozpatrzymy teraz inny problem, w rozwiązaniu którego ogólnie nakreślona metoda oddaje usługi. Jeżeli po płaskiej drodze toczy się koło, np. koło wozu, to jak szybko poruszają się różne części koła? Z pewnością części te nie poruszają się z tą samą prędkością. Gdy przejeżdża motor, to szprychy znajdujące sdę u dołu koła można dość dokładnie zauważyć, ale szprychy znajdujące się u góry koła poruszają się tak szybko, że są niewidoczne. Jak to wytłumaczyć?

Dla wielu ludzi wyobrażenie sobie toczącego się koła jest zbyt trudne — oczywiście nie chodzi tu o wyobrażenie sobie ruchu z grubsza, ale

0    takie wyobrażenie, aby można było odróżnić prędkość każdej części koła. Zastąpmy więc ten problem problemem prostszym. Dość łatwo można wyobrazić sobie toczący się kwadrat jako np. duży kloc o przekroju kwadratowym pchany po chodniku. Początkowo jeden bok kwadratu leży płasko na chodniku. Następnie kwadrat obraca się wokół jednego wierzchołka tak długo, aż następny jego bok będzie leżał płasko na chodniku. Potem obraca się wokół następnego wierzchołka itd. Łatwo spostrzec, że wierzchołek u dołu kwadratu — wokół którego kwadrat się obraca — pozostaje w spoczynku. Im dalej od tego wierzchołka znajduje się jakiś punkt, tym szybciej się on porusza.

Upodobnijmy teraz naszą kwadratową kłodę bardziej do koła, dokonując czterech cięć piłą

1    usuwając cztery rogi kwadratu, jak to widzimy

209

14 Matem, nauką przyj.