CCF20090120131

Podobnie, GE jest równe ubytkowi x, —Ax, więc w przybliżeniu, GE = EF sin t, co prowa-

dzi do wyniku — = — sin t.

Ponieważ x oznacza oos t, a y oznacza sin t, więc powyższe wyniki można zapisać w sposób następujący:

d (sin t)    , d (cos t)

dt

dt

= cos t, -—-= —sin t.

Jest to skrót określenia: „Jeżeli y — sin t, to cos t itd.”, a znaczy to samo. Przytoczymy ten wzór w tej postaci w rozdz. 14, gdy będziemy omawiali szeregi dla cos t i sin t albo raczej dla sinusa i cosinusa. Nie mogę obiecać, że zawsze będiziettny używali litery t, gdy pojawi się sinus lub cosinus.

RUCH PO OKRĘGU

W rozdz. 10 wyjaśniliśmy, że jeżeli znamy mx" i my", to możemy obliczyć siłę działającą na poruszające się ciało. Często zdarza się w różnych mechanizmach, że ciężkie ciało porusza się po okręgu, jak np. każda część koła zamachowego albo kawałek metalu przymocowany do koła lokomotywy (chociaż porusza się on także wzdłuż linia, prostej). Podobne zagadnienie powstaje, gdy samolot robi pętlę albo gdy zakręca samochód.

.Możemy przyjąć, że z punktem P na ryc. 44 związany jeslt pewien ciężar, i zbadać, jalka siła jest potrzebna, aby poruszał się on w żądany sposób. Ponieważ y = sin t, więc y = cos t i y" (tempo, w jakim zmienia się y')' wynosi —sin t. Podobnie znajdujemy x" — —cos t. Znalezienie x" i y" nie stanowłi żadnej trudności i każdy, kto orientuje się nieco w elementarnych problemach statyki i dynamiki, z łatwością znajdzie całkowitą siłę działającą na ciężar w punkcie P.

ĆWICZENIA

>1. Wytnij z kartonu krążek i zaznacz na jego krawędzi, metodą wyjaśnioną w tym rozdziale, skalę do mierzenia kątów w radianach. Na tym samym krążku zaznacz skalę do mierzenia kątów w stopniach.

3

Narysuj na kawałku kartonu kąt równy — radiana,

1 ⁸ 1 radianowi, 2 —radiana, 5 radianom, 10 radianom.

Ilu radianom równają się kąty 10°, 50⁰, 95°, 184°?

2.    Należy sporządzić model przedstawiony na ryc. 44. Posługując się tym modelem, należy wypisać tablicę podającą wartości sinusa i cosinusa kątów 5°, 1'0°, 15° itd. (aż do 90°) z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Porównaj swoje wyniki z wartościami podanymi w drukowanych tablicach sinusa i cosinusa.

3.    Wypisz, na podstawie wyników ćwiczenia 2, wartości sin 10°, sin 20:° itd.., aż do sin 80°. Wypisz wartości cosinusa w odwrotnej kolejności; cos 80°, cos 70°, ..., cos 10°. Co zauważasz porównując oba ciągi liczb? Co możesz powiedzieć o- sin x° i cos (99—x)°? Czy masz jakieś uzasadnienie swoich spostrzeżeń?

4.    Znajdź za pomocą modelu (ćwiczenie 2), z do

kładnością do dwóch miejsc po przecinku, wartości sin 100°, sin    ..., sin 179°. Porównaj je z wartościami sin 10°, sin 20°..... sin 80°. Co zauważasz, jeżeli

chodzi o te dwa ciągi ? Jaki wzór wiąże sin (180—a?)° i sin x°?

5.    Znajdź za pomocą modelu wartości cos 190°, cos 110°, cos IW (dla wszystkich tych kątów Q leży na lewo od O, więc wszystkie te cosinusy mają znak ujemny). Porównaj je z wartościami cos 10°, cos 20°, ..., cos 80°. Jaki wzór wiąże cos (180— o?)⁰ z cos x°?

Porównaj także zbiór cos 100°, ..., cos 170° ze zbiorem sin 10°, ..., sin 80°. Czy istnieje wzór wiążący cos (90 H-m)° oraiz sin x°? Jeżeli tak, jaki to wzór?

6.    Drukowane tablice podają wartości sinusa kątów pomiędzy 0° i 90°. Aby znaleźć wartości sinusa kątów pomiędzy 90° i 180° oraz wartości cosinusa, trzeba korzystać z wyników ćwiczeń 3, 4 i 5. W tablicach znaj-

265