lastscan39

•    Dla n > O krzywa D nie ma punktów wspólnych z prosta A. ponicw wariant kapitalizacji ciągłej daje odsetki większe nie tylko od każdego inne wariantu oprocentowania składanego, lecz również od oprocentowania proste naliczanego za dowolny czas.

Na zakończenie tego punktu rozdziału porównamy jeszcze model oprocc towania ciągłego z rozpatrywanym wcześniej modelem oprocentowania podok sowego. Nie wyróżniamy przy tym kapitalizacji rocznej, ponieważ - jak j wiadomo - jest ona szczególnym przypadkiem kapitalizacji podokresowej.

•    Przy kapitalizacji podokresowej określenie warunków oprocentowani wymaga ustalenia podokresu kapitalizacji oraz stopy podokresowej (lub nominalnej przy kapitalizacji ciągłej zaś warunki oprocentowania są określone jedynie prze stopę nominalną.

•    Model z kapitalizacją podokresową pozwala obliczać wartość kapitał końcowego i odsetki tylko na koniec kolejnych lat, kwartałów, miesięcy itp natomiast według modelu oprocentowania ciągłego zarówno wartość kapitał końcowego, jak i odsetki można obliczać dla dowolnego n e /? ⁺ .

•    Z powyższego wniosku bezpośrednio wynika, że oprocentowanie ciągi eliminuje potrzebę aproksymacji procentu składanego procentem prostym w czasi krótszym od okresu kapitalizacji, występującą przy obliczeniach bankowye opartych na modelu oprocentowania podokresowego (por. punkt 3.10).

•    Posługiwanie się modelem kapitalizacji ciągłej wymaga obliczania wartość funkcji wykładniczej o niewymiernej podstawie e, lecz przy obecnej powszechność

lputerów nic oznacza to ani większej trudności i złożoności, ani mniejs/e dokładności obliczeń w porównaniu z tymi, jakie wykonuje się przy kapitalizaej jkresowej.

Model kapitalizacji ciągłej, mimo korzyści, jakie stwarza dla wszelkiego typ obliczeń finansowych, wciąż jeszcze jest mało znany i nie dość wykorzystywali w praktyce.

3.5. Równoważne stopy oprocentowania składanego

Porównywanie różnych warunków oprocentowania składanego może być bardzo łatwe; niekiedy wręcz ..na oko” możemy ocenić dane warunki jako mniej korzystne od innych, bardziej korzystne albo równoważne. Tego typu przypadki] występują w następującym przykładzie.

Przykład 3.10

Mamy do wyboru następujące warunki oprocentowania lokat rocznych:

a)    stopa kwartalna 3%, kapitalizacja kwartalna.

b)    stopa nominalna 12%, kapitalizacja kwartalna,

c)    stopa nominalna 11%. kapitalizacja miesięczna,

d)    stopa miesięczna 1%. kapitalizacja miesięczna.

Spróbujemy ustalić, nic używając komputera ani kalkulatora, które warunki ^Kocentouamu lokaty s;i Icps/e. a które gors/e od innych, porównując je parami ^Bo/na łatwo sprawdzić, że jest 6 takich par).

•    W przypadku pary (a) i (b) widzimy, że są to warunki równoważne, ponieważ w obu wariantach występuje ten sam okres kapitalizacji oraz taka sama Kopa nominalna (oczywiście, stopa kwartalna też jest taka sama).

•    Dla pary (a) i (c) zauważamy, że w wariancie (a) stopa nominalna jest większa niż w (c) oraz okres kapitalizacji w (a) jest dłuższy niż w (c). Skoro ■Włość kapitału rośnie szybciej przy większej stopie nominalnej, ale wolniej przy

ym okresie kapitalizacji, to bez dokładnych obliczeń nie możemy rozstrzygnąć. czy mamy do czynienia z równoważnymi warunkami oprocentowania, czy K^reś z nich są dla nas korzystniejsze.

W przypadku pary (a) i (d) takich wątpliwości nie mamy. W obu itach stopa nominalna jest jednakowa, a okres kapitalizacji jest krótszy w (d), c warunki oprocentowania (d) są dla nas korzystniejsze.

•    Jeśli chodzi o parę (b) i (c). to znowu nie potrafimy bez obliczeń wybrać iantu bardziej korzystnego, ponieważ w (b) stopa nominalna jest większa niż

), a okres kapitalizacji w (b) jest dłuższy niż w (c).

•    O parze (b) i (d) od razu możemy powiedzieć, że wariant (d) jest bardziej pstny od (b), ponieważ wczcvśniej stwierdziliśmy równoważność (b) i (a) oraz

uwagę (d) nad (a).

•    Do porównania pozostała już ostatnia para (c) i (d), dla której bez idu zauważamy, że ten sam okres kapitalizacji oraz większa stopa nominalna

K(d) niż w (c) oznaczają, iż warunki oprocentowania (d) są dla nas korzystniejsze Tt (c).

Z przeprowadzonych porównań wynika, że warunki oprocentowania lokaty pisane w punkcie (d) są korzystniejsze niż w' dowolnym innym punkcie: (a), (b) (c). Ponadto wiemy, że warunki opisane w punktach (a) i (b) są równoważne, mych wniosków nie potrafimy jednak - bez dodatkowych obliczeń przy (tyciu komputera lub kalkulatora - sformułować dla par (a) i (c) oraz (b) i (c).

W powyższym przykładzie podstawą do stwierdzenia równoważności warunków oprocentowania była identyczność odpowiednich stóp nominalnych i okresów Kapitalizacji. Jednakże różne warunki oprocentowania składanego mogą być Równoważne nie tylko w- takich sytuacjach. Ogólne kryterium równoważności warunków oprocentowania składanego wyprowadzimy z zasady równoważności I ntóp procentowych podanej w rozdziale 1. Stosując tę zasadę do stóp oprocentowania układanego, powiemy, że stopy oprocentowania składanego i_t| oraz i_4j są równoważne, jeśli przy każdej z nich odsetki składane od kapitału P po czasie [ h mają tę samą wartość. Uwzględniając dodatkowo, że równość wartości odsetek | oznacza równość końcowych wartości kapitału, stwierdzamy, iż stopy oprocentowania składanego i_4j oraz i_kj są równoważne, jeśli przy każdej z nich kapitał ¹ początkowy P przyjmuje tę samą wartość F po czasie n.

87