lastscan90

Ś*.

m - I

(6.6)

-2

m — I

Prawq stronę powyższej równości zapisujemy jako sumę wartości rat już /J płaconych i jeszcze nie zapłaconych do momentu j. czyli

fc₀(i+iy « E    £ ^(i + _fy—.    c6,u,

i

Z punktu widzenia wierzyciela równość ta pozwala sprawdzić, jaka wartoJ zainwestowanego kapitału K jest w momencie j już odzyskana, a jaka jeszcze ruj jest odzyskana, z punktu widzenia dłużnika zaś - jaka Wartość otrzymaniu kapitału K jest wraz z naliczonymi odsetkami już oddana, a jaka jeszcze nie oddantlj Długiem bieżącym K, nazywa się wartość kapitału K pozostałego do spłacei w momencie j po zapłaceniu raty R_r Mówiąc inaczej, dług bieżący K_j ozna( saldo długu obliczone na momenty. Z równości (6.4) wynika, źc dług bieżący / = 0,1...../i, jest dany następującymi dwoma wzorami³:

k, = *o(i +*y- £

m - I

oraz

<i= i rji +/y-

m —}+1

Zależność (6.5) długu bieżącego od długu początkowego i rat już zapłaconych nazywa się zależnością retrospektyw ną. a zależność (6.6) długu bieżącego od rat jeszcze nie zapłaconych - zależnością prospektywną. W szczególności z obu zależności wynika, że dług bieżący w momencie 0 wynosi K₀, w momencie n zaś. I czyli po zapłaceniu ostatniej raty, ma wartość K„ = 0.

Wartość długu bieżącego stanowi dla dłużnika i wierzyciela ważną informację I o tym. jakie jest saldo zadłużenia po wpłaceniu określonej liczby rat. Jest ona I również podstawą do skorygowania przyszłych rat, np. z powodu zmiany stopy I procentowej, albo do restrukturyzacji zadłużenia, gdy z pewnych powodów trzeba I zmienić wysokość przyszłych rat, ich liczbę lub terminy płatności. Różne tego typu I sytuacje będą szczegółowo omówione w przykładach 6.10 i 6.12. pokazują jc j również przykłady 6.4 i 6.5.

Przykład 6.3

Dla pożyczki z przykładu 6.1 obliczymy dług bieżący K₂, czyli saldo zadłużenia na koniec drugiego kwartału, po zapłaceniu drugiej raty. Z zależności retrospektywnej (6.5) wynika, że

¹ Suma wyMępiiJ*-. we w/or/c (6.5) ma wartość 0 dla j - 0. a suma z wzoru (6.6) ma wartość 0 dla j ^m n.

188

k    +/>-*: = 5000- l.06^:-2000- 1,06 - 2600 ■=

- 5618-2120-2600 = 898 zł.

rprctując powyższy wynik, możemy stwierdzić, że skoro wartość początkowego obliczona na koniec drugiego kwartału wynosi 5618 zł, a wartość zapłaconych R oraz R_: obliczona na ten moment wynosi, odpowiednio, 2120 zł oraz zł. to dług bieżący w tym momencie wynosi 898 zł. Obliczenie K₂ na stawie zależności prospektywnej (6.6) prowadzi oczywiście do tego samego tku

K₂ = *₃(I + 1)-’ + /?₄(1 +«r² = 1008.99 • 1.06-² = 898 zł

HiHC/a. że ponieważ na koniec drugiego kwartału nic zapłacone są raty R_? = 0 = 1008,99 zł, a ich wartość obliczona na ten moment wynosi 898 zł, więc ^rlitśme taka jest wartość długu na koniec drugiego kwartału.

_auważmy jeszcze, że gdyby na koniec drugiego kwartału dłużnik chciał

_:ić całość pozostałego długu, potrzebowałby kwoty 898 zł, oczywiście oprócz R, _t która także jest płacona na koniec drugiego kwartału, ale ponieważ dług \cy oblicza się po wpłacie raty. nie jest ona wliczona do długu bieżącego K₂.

Przykład 6.4

Kontynuujemy poprzedni przykład, przyjmując teraz, że w połowie roku obniżono kwartalną stopę oprocentowania długu z 6% na 5%, w związku z czym [tf/.eba skorygować ratę płatną na koniec roku. Nową wartość tej raty R\, 0d|H>wiadającą nowej stopie i' = 5%. obliczymy z zależności prospektywnej (6.6). póra dla bieżącego długu K₂ = 898 zł przyjmuje postać

898 = R'₄( 1+0.05)

; której wynika, że R\ = 990.05 zł.

Zmiana stopy powoduje, że warunek równoważności długu i rat w postaci (6 2) lub (6.3), dotyczący spłaty w^r warunkach oprocentowania stałego w czasie, nie może już być stosowany. Na podstawie zasady równoważności długu i rat zapisujemy wńęc warunek, który odpowiada aktualizacji wartości rat na moment 0 przy stopie zmiennej w czasie: i = 6% w pierwszym i w drugim kwartale oraz. «= 5% w trzecim i w czwartym kwartale

Ko - /?,(1 + i)'¹ +R₂(\+ i)"² + /?,(! + 0"²( 1+ O"¹ + /SO + 0"^:20 + O ²-

Jez. trudu można sprawdzić, że powyższy warunek jest spełniony, więc nowy ciąg [ rat jest równoważny długowi początkowemu przy stopie zmiennej w czasie. Gdy możymy ten warunek obustronnie przez (l + i)²(l +0². otrzymamy

K₀(I +i)²( 1 + i')² -*,(1 + 00 + O² + Ri( 1 + O² +    1 + O + *4•

czyli ten sam warunek równoważności, ale przy aktualizacji długu i rat na koniec roku. Można go zinterpretować analogicznie jak w przykładzie 6.1. Jeśli wierzyciel

189