Macierze wyznacznik

Z definicji wynikają bezpośrednio następujące rozwinięcia wyznaczników stopnia drugiego i trzeciego

dla n	-    O —    4-	^all ^a21
dla n	= 3
a n	^a12	a 13
^a 21	^a22	a 23
^a31	a 32	«33

^a 12 ^a 22

= a na 22 - a2iai2

= ana22a33 -ł-^ai2^a23a3i -ł-^ai3a2ia32 — aiia23^a32 — ^ai2^a2ia33 — ai3a22^a3i

Dla n = 3 istnieje dokładnie 3! = 6 permutacji. a mianowicie 123. 231. 312. 132. 213. 321

Wypisanym sześciu permutacjom odpowiada sześć składników:

+ d\\d22^all- ⁺ a\2^a23^a3b + ^a\l^a2\^a32> ~ ^aU^a23^a32> ~ ^a12^a2\^a3b ~ ^a\3^a22^a3b Dodając te wyrazy otrzymujemy powyższy wzór.

Istnieje prosty sposób mnemotechniczny zapamiętywania budowy wyznaczników⁷ stopnia 3. zwany regułą Sarrusa. Dopisujemy z prawej strony raz jeszcze pierwszą i drugą kolumnę i następnie tworzymy iloczyny ze znakami według następującego schematu:

^11    ^12    ^13 <2ll ^12

X X X X

<321    <322    <323 <321    <222

X X X \

<331    <332    <333    <331    <332

+ + +

Dla macierzy stopnia czwartego i wyższych obliczanie wyznaczników⁷ bezpośrednio z definicji jest na ogół uciążliwe. Wygodnie jest wówczas stosować rozwinięcie Laplace'a.

Macierz kwadratową, której wyznacznik jest równy zero nazywamy macierzą osobliwą, natomiast macierz kwadratową, której wyznacznik jest różny od zera nazywamy macierzą nieosobliwą.