3. MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA
Definicja 3.16 Rządem macierzy A = [a1.a2,..., aTI] nazywamy maksymalną liczbę, kolumn liniowo niezależnych.
Przykład 3.10 Macierz
|
5 |
3 |
4 |
-18 | |
|
A = |
3 |
0 |
1 |
— 7 |
|
6 |
3 |
6 |
-27 |
ma rząd równy 3 (/?(A) = 3). gdyż kolumny ai,%, i a;{ są liniowo niezależne.
Rozwiązanie 3.10 Rzeczywiście
|
5 |
3 |
4 |
0 |
f | ||||
|
a |
3 |
+ 0 |
0 |
+ 7 |
1 |
= |
0 |
•H |
|
6 |
3 |
6 |
0 |
1 |
a =0 0 = 0 7=0
D
Definicja 3.17 Mówimy, że macierz A jest równoważna macierzy B (A = B. A = B) wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A możemy otrzyma6 z macierzy B przez wykonanie na niej skończonej liczby operacji, elementarnych (są one opisane w punkcie 3.6 i 4-5).
Definicja 3.18 Macierzą dołączoną macierzy kwadratowej A = [r^J nazywamy macierz Al) = [Ajbi], czyli macierz transportowaną macierzy dopełnień algebraicznych, Al> = [Aik]1. Relacje rniądzy macierzami A i AD opisuje twierdzenie.
Twierdzenie 3.10 Jeżeli An jest macierzą dołączoną macierzy kwadratowej A. to zachodzą wzory
AAd = AdA = (clct A) I (118)
Pamiętamy, że Aik jest dopełnieniem algebraicznym elementu o,-* macierzy A (patrz (06)) obliczanym z wzoru
Aik = (-\j+k Mik (119)
gdzie: Mik— minor.
Biorąc pod uwagę Definicję 3.11 oraz wzór (07) możemy macierz dołączoną A1’ przedstawić jako
A" = (flA)1 = \Aikf (120)
Przykład 3.11 Mając daną macierz A
|
2 |
1 |
3 |
|
0 |
4 |
-1 |
|
1 |
0 |
2 |
zbuduj macierz dopełnień algebraicznych u A oraz macierz dołączoną An.
50