Picture0

Działanie „n” jest rozdzielne prawostronnie względem o <=> A (a o b) □ c - (a □ c)⁰ (/> a c).

a_sb,ceA

Definicja 3.3

Działaniem zewnętrznym w niepustym zbiorze A nad zbiorem operatorów F nazywamy każde odwzorowanie g: F x A -> A; możemy je oznaczać tzn.

A A g(a, a) = a * a .

ue/*' aeA

Przykład 3.1

W zbiorze liczb naturalnych N działanie „°” a ° b - -2a + 3b nie jest działaniem wewnętrznym w N, gdyż np. a — 10, /; = 1 to a ° b =-20 + 3 =-17, a ° b € M.

Przykład 3.2

W zbiorze liczb rzeczywistych R działanie a ° b =-2a + 3b jest działaniem wewnętrznym, gdyż A a ° b e R.

a,he R

Sprawdzamy, czy działanie wewnętrzne w R jest przemienne, łączne, czy ma element neutralny.

1° Obliczamy b ° a = -2b + 3a.

Ponieważ V -2a + 3b *-2b + 3a, np. dla a = l, b = 0, a ° b = -2, b ° a - 3

a,be R

działanie    nie jest przemienne.

2° Obliczamy (a° b)° c = -2(-2a + 3b) + 3c oraz a° {b ° c) =

= -2a + 3(-2b + 3c).

V (a ° b) ° c a ° (b » c), np. a = 0, b = 1, c = -2

a,b,ce R

(a° b)° c = -12, a ⁰ (b ⁰ c) = -24.

Działanie ' nie jest łączne.

3° Szukamy elementu neutralnego działania Rozwiązując równania: a⁰ e = a a e ° a = a, tzn. -2 a + 3 e- a a -2e + 3 a- a, otrzymujemy e = a, co oznacza, że a e R spełnia równanie a ° a = a, ale to nie oznacza, że dowolne a e R jest elementem neutralnym tego działania. Wybierzmy a e R, np. a= 10. Gdyby e= 10, to zgodnie z definicją:

A o°10 = aA 10 ° a = a.

ae R

l>iluiojł| a < R, lakic że a " K) / a. np u I: I 10    2 • 10 2X / I D/ialmiK

nic ma elementu neutralnego.

4° Jeżeli działanie nie ma elementu neutralnego, nie wyznaczamy clemeii tów odwrotnych do elementów a e R.

%

Przykład 3.3

Odwzorowanie g:Nx R, -* R. określone wzorem g(n, a) a" lub //♦</• a" jest działaniem zewnętrznym w R..

Zadania

	1. Zbadać, czy działanie	”jest działaniem wewnętrznym w zbiorze 1
«)	a ° b = a + b,	A =
b)	a ° b = ab,	A = {-\,0, 1},
c)	a ° b = a - b,	A = C+,
d)	a ° b = a^1 + b^1,	A = C+,
e)	u° b = \a\ + |ó|,	A = CL,
0	a ^0 b = a + b - 3,	zl = R,
B)	a ° b = ab + 2a + 2b + 2,	A = (-2, +«),
h)	a°b = ab-a-b + 2,	zl = R\{l},
i)	a^0 b = a + b,	A = {o: a = m + »\/2 ; a/;, neRj,
j)	a^0 b = ab + a + b,	Zl =(-!,+«>),
k)	a ° b = ab + a + b,	^ = R\{—1},
1)	a ° b = ab - 2a - 2b + 6,	zł = (2, +oo),
1)	a ° b = ab - 2a - 2b + 6,	A = R\{2},
m)	a°b = ab + a + b,	zł = (-00,-1),
n)	a° b = 5a - Ib,	zł = C.

Jeżeli odpowiedź jest negatywna, należy wskazać takie a, b e A, a° b <£ A.

1

W zbiorze liczb całkowitych C określono działanie wewnętrzne Zba dać, czy działanie to jest przemienne, łączne, ma element neutralny.

a)    a ° b = ab + b,

b)    a° b = a,

c)    a ° b = 4a + b,

d)    a ° b = 5(a + h),

e)    a ° h = a - b,

0 a° b = 2a-lb.