24415

Stąd F = G, więc (AB)C = A{BC), czyli mnożenie jest łączne.

3. Działanie jest rozdzielne względem +, zatem dla A.B.Ce M_n(K) mamy:

A{B + C) = AB + AC.

Dowodzi się to podobnie jak punkt 2.

4. Jednością pierścienia (czyli elementem neutralnym mnożenia macierzy) jest macierz /. która na głównej przekątnej ma jedynki, a w pozostałych miejscach 0, czyli I = [ó,j]. gdzie:

I

1 gdy i = j 0 gdy *źj

Funkcja 6_tJ nazywana jest deltą Kroneckera. Możemy zapisać macierz / wprost:

	■ 1	0	.. 0
I =	0	1	.. 0
	0	0	.. 1

Przykład Pierścień J/2(Z₂) składa się z IG macierzy 2x2 o współczynnikach z ciała Z₂.

Można wprowadzić też mnożenie macierzy przez elementy ciała. Niech A = [«o] ^e AIm^ i niech k e A', wtedy:

kA = I kaij).

3	1		12	16 ‘
-1	2	=	-4	8
0	-2		0	-8

Niech f(x) = a_nxⁿ + a_n_\Xⁿ 1 + • • • + a\x + o₀ będzie wielomianem o współczynnikach z ciała K i niech A € M_n(K), wtedy:

Przykład

f(A) = a„i4ⁿ + a_n_ji4^n-1 + • • • + (i\A + a^I.

Zadanie Wyznaczyć f(A). gdzie f(x) = x³ — 2x² -ł- 1.

A =

2 1 0 0 2 0 1 1 1

2