SCN
11

7. Wektory własne i wartości własne macierzy

Niech A jest dowolną macierzą kwadratową stopnia n-tego (czyli A ⁼ A„x_n)-

Definicja

Niezerowy wektor X€ Rⁿ nazywamy wektorem własnym macierzy A, jeżeli spełniony jest następujący warunek:

, AX = XX A € R

Liczbę X nazywamy wtedy wartością własną macierzy A.

Uwaga

Równanie z powyższego wzoru, za pomocą którego określono pojęcia wektorów i wartość własnych ma rozwiązanie niezerowe, wtedy gdy rozwiązania niezerowe ma następujący układ równań:

(A - XE) X = 0

gdzie:

E — macierz jednostkowa.

Z teorii układów jednorodnych wynika, że powyższy układ ma rozwiązania niezerowe, gdy rząd macierzy:

rz (A - XE) < n Ta równość jest spełniona gdy:

det (A - XE) = 0

co wynika z własności wyznaczników.

Definicja

Równanie det (A - AE) - O nazywamy równaniem charakterystycznym macierzy A.

Równanie charakterystyczne dla macierzy kwadratowej A można zapisać w następującej postaci:

	'an-X	al2 .	•• ^a\n
J(A) = det (A - AE) =	^a2l	^a22-A •	^a2n
	^anl	^an2	^Qnn- A

= A” - p.A"-' + p₂A"'² -... + (-1)" p„ = 0

gdzie:

liczby pi, p₂.....p_n - nazywamy współczynnikami równania

charakterystycznego.

Wnioski

1.    Wartości własne macierzy są równe pierwiastkom równania charakterystycznego.

2.    Równanie charakterystyczne n-tego stopnia ma dokładnie n pierwiastków charakterystycznych zespolonych, które oznaczamy symbolami: A|, A₂,.... An.

Uwaga

Nie wszystkie pierwiastki charakterystyczne równania charakterystycznego muszą być różne, niektóre mogą być wielokrotne.

99