091

91

6.1. Testy parametryczne

która przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ ma rozkład N(0,1).

Dla hipotezy alternatywnej H_{ :/n/ m₀, obszar krytyczny jest dwustronny, symetryczny i dla poziomu istotności a ma postać Q — (—oo_; — u_a) U (%,<»), gdzie u_a wyznaczone jest z zależności Pr(|£/| > u_a) — a. Dla hipotezy alternatywnej //, : m < m₀ obszar krytyczny jest lewostronny i ma postać Q = (—oow_a), a dla H_{ : m > m₀ obszar krytyczny jest prawostronny i ma postać Q = (w_a,°o), gdzie u_a wyznaczone jest z zależności Pr(17 > a_a) — a. Zmienna losowa U ma tutaj rozkład normalny N(0,1).

Rozkład

normalny,

<T nieznane

Model II. Populacja generalna ma rozkład N(m,a), odchylenie standardowe jest nieznane. Hipoteza zerowa i hipotezy alternatywne są takie same jak w poprzednim modelu. Ponieważ a nie jest znane, więc statystyka służąca do weryfikacji hipotezy dana jest wzorem

X — m

o

y/n — 1 —

X — m

o

(6.1.3)

która przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ ma rozkład r-Studenta o n — 1 stopniach swobody. Wobec tego u_a jest zastąpione przez t_a, które wyznaczone jest ze wzorów: Pr(jf| > t_a) = cc dla dwustronnego obszaru krytycznego lub Pr(/ > t_a) — a dla jednostronnych obszarów krytycznych.

Jeżeli dostępne tablice statystyczne podają tylko wartość t_a dla danych a i n, to przy jednostronnych (lewo lub prawostronnych) obszarach krytycznych trzeba skorzystać z zależności

2Pr(? >t_a) =Pr(|f| >t_a).

Rozkład dowolny, duża próba, skończona wariancja

Model III. Populacja generalna ma rozkład dowolny o skończonej wariancji, parametr a może, ale nie musi być znany, natomiast próba jest duża (n co najmniej kilkadziesiąt). Wzory takie same jak w modelu I lub II, przy czym a jest zastąpione przez s lub s.

Przykład. Posłużmy się danymi z przykładu ze strony 85. Mamy dla nich x — 2.0031 i ś — 0.1967. Jeżeli postawimy hipotezę H₀ : m — 2 przeciw hipotezie H_{ : m yś 2 na poziomie istotności a — 0.05, to obliczamy ze wzoru (6.1.2) statystykę U i otrzymujemy \u\ — 0.16 < u_a — 1.96. Nie ma więc podstaw do odrzucenia hipotezy, że m — 2. Jeżeli jednak postawimy hipotezę H₀ : m — 2.1 przeciw hipotezie H_x : m < 2.1, to wtedy u = —4.92 oraz a_a = 1.64, a więc wartość statystyki należy do obszaru krytycznego (—°o_; 1.64), co powoduje odrzucenie hipotezy zerowej i przyjęcie m < 2.1.

Gdyby do obliczeń dostępne były tylko początkowe cztery dane, to I = 1.9650 oraz s~ 0.1464. Postawmy hipotezę H₀:m— 1.8 przeciw hipotezie //, : m > 1.8. Wtedy korzystając z tego, że Pr(r > t_a) = a, gdy Pr(|/j > t_a) = 2a dla rozkładu f-Studenta o trzech stopniach swobody (model II) otrzymamy t_ohs — 1.95 < t_a — 2.353. Oznacza to, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy