2

Kolokwium nr 2 z matematyki Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 2, r.ak. 2007/2008

Zad.l. [ 4p - rozwiązanie piszemy na stronie 1 ]

Obliczyć pochodną y'(l) funkcji uwikłanej określonej równaniem

cos(zy) - x - 2y = 0.

Następnie napisać równanie stycznej do wykresu funkcji y(x) w punkcie (1.0).

Zad.2.    [ 6p - rozwiązanie piszemy na stronie 2 ]

Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji

_{f/ x}    o    2    1

/(x.y) = *V + - + -•

x y

Zad.3.    [ 2p-f 5p - rozwiązanie piszemy na stronie 3 ]

a)    Sformułować zagadnienie początkowe Cauchy’ego dła równania różniczkowego rzędu drugiego.

b)    W przedziale (0,-foo) rozwiązać równanie

y

n

t

X

1

X

Zad.4.    | 6p - rozwiązanie piszemy na stronie 4 ]

Rozwiązać równanie liniowe jednorodne:

y^{4) - 4y'" + 13/ = 0

i przewidzieć (bez wyznaczania stałych) postać całki szczególnej dla równania niejednorodnego

yW - 4y"' + i3y" = i+l + 5e^3xsin2x.

Zad.5.    [ 2p+5p - rozwiązanie piszemy na stronie 5 ]

a) Podać definicję obszaru normalnego V c R¹ względem osi OX. Czy obszar ograniczony liniami x = aresin y> x = 0, y — 1 jest normalny względem osi OX. Podać opis tego obszaru i wykonać jego

rysunek.

b) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami:

1

= 0 i z = ~ 4- y¹ 4- 1.