CCF20141113000

Zastosowania matematyki w ekonomii

2. Funkcje jednej zmiennej

Zadanie 2.1. Pani Krysia ulokowała w banku 1000 zł na lokacie z oprocentowaniem prostym przy rocznej stopie procentowej r=5%.

1)    Przykładem jakiego typu ciągu są wartości odsetek (lub kapitału wraz z odsetkami) w kolejnych latach?

2)    Jaką kwotę otrzyma pani Krysia po upływie:

a) 3 lat? b) 6 miesięcy?    c) 3 miesięcy?    d) 2 lat i 3 miesięcy?

3)    Po jakim okresie pani Krysia podwoi zainwestowany kapitał?

4)    Na jaki okres należałoby założyć lokatę, aby odsetki wyniosły 320 zł?

5)    Jaką kwotę musiałaby złożyć na lokacie p. Krysia, aby po upływie 5 lat uzyskać zwrot 5000 zł?

6)    Przy jakiej stopie procentowej p. Krysia uzyskałaby zwrot 2000 zł, inwestując na początku 1500 zł na okres 3 lat?

7)    Jaka musiałaby być roczna stopa procentowa, aby podwoić dowolną kwotę po upływie n lat?

Zadanie 2.2. Pan Zygfryd ulokowała w banku 1000 zł na lokacie z oprocentowaniem składanym przy rocznej stopie procentowej r=5%.

1)    Przykładem jakiego typu ciągu są wartości kapitału wraz z odsetkami w kolejnych latach?

2)    Jaką kwotę otrzyma p. Zygfryd po upływie 3 lat, jeżeli kapitalizacja będzie następować:

a) raz w roku?    b) co pół roku?    c) co kwartał?

3)    Jaką kwotę otrzyma p. Zygfryd po upływie 3 lat, jeżeli kapitalizacja będzie następować w sposób ciągły?

4)    Po jakim okresie p. Zygfryd podwoi zainwestowany kapitał przy kapitalizacji:

a) rocznej?    b) półrocznej?    c) ciągłej?

5)    Jaką kwotę musiałby złożyć na lokacie p. Zygfryd, aby po upływie 5 lat uzyskać zwrot 5000 zł przy kapitalizacji określonej w 4)?

6)    Przy jakiej stopie procentowej p. Zygfryd uzyskałaby zwrot 2000 zł, inwestując na początku 1500 zł na okres 3 lat przy kapitalizacji określonej w 4)?

Zadanie 2.3. Wypisać pięć pierwszych wyrazów poniższych ciągów oraz zbadać, czy są one monotoniczne i ograniczone:

a) a_r=(-l)ⁿ b) a_n=(-2)ⁿ c) a_n=(l/2)ⁿ d) a_n=-n    e) a_n=(-l/nf f) a_n=(l-l/n) g) a_n=n-n²

. ,    3    ..    2n-3    n²

^h) ^an = —    0 ^an = ^ J) O,

k) a_n =

2n+l a_n_i+a_n_₂

n² +1

gdzie a!=3, a₂=5 I) a_n = (a_n_! + a_n_₂) mod 10 gdzie ai=l, a₂=l

Zadanie 2.4. Obliczyć granice ciągów:

⁴ⁿ~³ u\ „    (2n+3)(n-l)

a) ^Un = ~n+l ^ ^an -

n²+2n-l

\ ³ , ¹

^c) ^an ~ _n + ^

d) a_n = (-0 +V5    e) a_r

(-1)”

371+2

2

^f)a" ⁼ £r)^{3 g)a}* = frr ^h) a" ⁼ (^)²ⁿ⁺³ i) ^an — ^2ⁿ + 3ⁿ + 5    j) a-n — 3^² + 2ⁿ

k)a_n = V^+5^ l)a_n = (l+0ⁿ ł)a_n = (^)³

Zadanie 2.5. Podać, które wyrazy ciągów leżą poza otoczeniem granicy o promieniu e=0,3:

a) a_n = ² +-

b) a_n =

3n-l

n+2

str. 3