MAT08

8

silnie większy od stopnia mianownika. Wobec tego. najpierw wykonujemy dzielenie wielomianów a-¹ - I

(a⁵ - 2v⁴ + 4a^: - 4a + 3) : (a³ - 2a¹ + a) a⁵ - 2a⁴ + A³ =    = — v³ + 4a¹ - 4a

-A³ + 2a¹ - A =    2a² - 3a + 3

i otrzymujemy

A⁵ - 2v⁴ ± 4.y¹ - 4a + 3 _{= a}.2 _ , ₊ 2-y¹ - 3a + 3 „

A³ - 2a¹ + A    A³ - 2a¹ + A

Teraz funkcję wymierną yf^F³ -. w której stopień licznika jest silnie mniejszy od stopnia mianownika, rozkładamy na ułamki proste. W tym celu mianownik a³ - 2v¹ +a rozkładamy na czynniki liniowe bądź kwadratowe z wyróżnikiem ujemnnym i funkcje wymierną ^,2^‘_v~'^v-

przestawiamy w postaci skończonej sumy ułamków prostych pierwszego lub drugiego rodzaju. Bardzo proste rachunki, opisane wcześniej, prowadzą do równości

2a¹ - 3a + 3 _ 3.    _2___!_

a(a-1)² v (a-l)² ' a- 1 *

Wobec tego.

a⁵ - 2v⁴ + 4a¹ - 4a + 3 _Jx _

A ³ - 2\- + A

(,v-ir

-    j-i⁾-x + 3lnM-2^4-j--^|n^-li

-    4-.v5-.v-2-L.Hn ^W’

A -

należy poprzedzić ustaleniem, iż jest to całka z funkcji wymiernej, w której stopień licznika jest silnie mniejszy od stopnia mianownika i która sama nie jest ułamkiem prosty m. Dlatego też najpierw trzeba rozłożyć mianownik, tj. wielomian a⁵ - 2v⁴ + 2x^} - 4a¹ + a - 2. na czynniki liniowe (w pewnej potędze) lub czynniki kwadratowe z wyróżnikiem ujemnym (w pewnej potędze). W tym celu skorzystamy z następującego twierdzenia

TW. Jeżeli wielomian W„ o współczynnikach cakowitych ma pierwiastek wymierny postaci ułamka nieskracalnego j (p jest liczbą całkowitą różną od zera. ą e N), to liczba q jest podzielnikiem wyrazu

wolnego wielomianu IV,,. ą zaś jest podzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej niezależnej tegoż wielomianu.

Z zacytowanego twierdzenia wynika, że wielomian a⁵ - 2a⁴ + 2v’ - 4a¹ + a - 2 może mieć pierwiastki wymierne jedynie postaci: -1.+ 1.-2.+2. Aby sprawdzić, czy któraś z tych liczb jest rzeczywiście pierwiastkiem mianownika stosujemy znany schemat Homera

1-22-41    2

1	-3 5	-9	10	-12
1	-1 1	-3	-2	-4
1	0 2	0	1	0

* 0 * 0

A = -1

A = 1

A = 2

Stąd wynika, że liczba 2 jest pierwiastkiem mianownika oraz, że

a⁵ - 2a⁴ + 2a³ - 4a¹ + a - 2 = (a - 2)(a⁴ + 2y¹ + 1) = (a - 2)(a¹ + I)'.

Wobec tego możemy już przystąpić do rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste

Opracował: Marian Malec

I

2v¹ + 2a + 13

r⁵ - 2.v^J + 2a³ - 4a¹ + a - 2

-dx

1

Proces liczenia całki