4. Obwód elektryczny rozgałęziony prądu stałego
gałęzie i oznaczono je literami k i /. Następnie włączono w gałąź k idealne źródło napięcia stałego E, zaznaczając jego biegunowość (+) i (—), zaś w gałąź / włączono idealny amperomierz prądu stałego zaznaczając jego zaciski (+) oraz (—). Przez amperomierz płynie prąd /,. Po włączeniu tego samego źródła napięcia E w gałąź /, a amperomierza w gałąź k, z zachowaniem biegunowości, przez amperomierz płynie prąd Ik (rys. 4.28b).
Doświadczalnie stwierdza się, że wychylenie wskazówki amperomierza nie ulega zmianie.
Prawdziwość twierdzenia o wzajemności, można łatwo udowodnić posługując się równaniami Oczkowymi. W tym celu należy tak dobierać oczka, aby każda z wybranych dwóch gałęzi k i / wchodziła w skład tylko jednego oczka, jak to pokazano na rys. 4.28c. Należy zacząć od przyjęcia oczka k tak, aby obejmowało gałąź k, ale nie obejmowało gałęzi /, a następnie zaznaczyć przekreśleniem gałąź k, w tym celu, aby ją ominąć przy doborze następnych oczek. Z kolei należy przyjąć oczko obejmujące gałąź / i skreślić ją. Następne oczka nie będą już zawierały gałęzi k i /, wobec czego prądy oczkowe Ik, /, będą jednocześnie prądami gałęziowymi. Równania oczkowe przy źródle napięcia włączonym w gałąź k przyjmą postać ogólną
Rtl Ii +R12I2 + ■ |
■ +Rikh+ •• |
• +R11I1+ ■■ |
0 II + | |
Rn Ii +R2212 + • |
.. +R2kh+ ■■ |
■ +^21^1 + •• |
• +^2/1 = 0 | |
Rkl ll +Rk2 I2+ • |
■ +Rkk lk+ •• |
• +Rkl ll + |
+ Rkn 7„ = £ |
(4.36) |
Rn I± +R/2 I2 + ■ |
• +Rj* lk+ •• |
+ Rn Ii + .. |
+ I„ = 0 | |
R-nl 11+Rn2 I2+ ■ |
• +^nk h + ■■ |
+ R„i /(+ .. |
+ £;in 7„ = 0 |
Prąd I, obliczony metodą wyznaczników
/, = (-])*+' Bg-E (4.37)
Po przełączeniu źródła napięcie. E do gałęzi / równania (4.36) zmienią się tylko o tyle, że napięcie źródłowe E wystąpi tylko w wierszu /. Wówczas prąd Ik wyraża się zależnością
h = (-l)l+k^E (4.38)
Ponieważ podwyznaczniki Du i Dlk są sobie równe ze względu na symetrię wyznacznika charakterystycznego względem przekątnej głównej, musi zachodzić równość Ik = /j, co jest dowodem słuszności twierdzenia o wzajemności.
1. Do jakich obwodów stosuje się twierdzenie o wzajemności?
2. Sformułować dokładnie twierdzenie o wzajemności i przeprowadzić jego dowód.
3. Dlaczego twierdzenie o wzajemności jest słuszne tylko przy założeniu, że zastosowane zostanie idealne źródło napięcia i idealny amperomierz ?
4. Czy przy użyciu rzeczywistego źródła napięcia o rezystancji R„ i amperomierza o rezystancji Ra = twierdzenie o wzajemności byłoby spełnione?
Na rys. 4.29a przedstawiono gałąź rezystancyjną R o zaciskach a, b, stanowiącą fragment obwodu elektrycznego. Gdy przez tę gałąź płynie prąd 1, to napięcie na jej końcach U = RI.
Rys. 4.29. Rysunek objaśniający twierdzenie o kompensacji: a) gałąź rezystancyjna o prądzie /; b) ta sama gałąź, z włączonymi w szereg przeciwsobnie źródłami napięcia E = E' = RI; c) gałąź skompensowana jednym źródłem napięcia
Na rys. 4.29b przedstawiono tę samą gałąź z włączonymi w szereg z opornikiem R dwoma idealnymi źródłami napięcia E, E’ o jednakowych wartościach napięć źródłowych E = E' = U — RI, ale o przeciwnych zwrotach. Ich napięcia kompensują się wzajemnie tak, że nie wystąpią w równaniach napięciowych Kirchhoffa, więc nie wpływają na rozpływ prądów w obwodzie, a w szczególności na wartość prądu 7 w gałęzi a — b.
Różnica potencjałów punktów c i b przy założeniu, że E’ = U
Vc-Vb = (Vc-VJ + (Vi-Vb)= -E’ + U = 0
czyli, że punkty c i b są punktami ekwipotencjalnymi.
Punkty ekwipotencjalne u’ obwodzie elektrycznym można ze sobą zewrzeć nie powodując przez to zmian w rozpływie prądów.
Po zwarciu punktów c i b przewodem bezrezystancyjnym (o znikomo małej rezystancji), jak to zaznaczono linią przerywaną na rys. 4.29b, można usunąć źródło
97
7 Podstawy elektrotechniki