Skanˆ

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Die Elementargeometrie erlaubt es die Flacheninhaltsfunktion von f(x)=ax zu finden. Sie ist nSmlich dem Inhalt des in Fig.7. schraffierten FlachÄ™ gleich und ergibt sich aus

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der Formef ftir den Flacheninhalt eines Dreiecks

Funktion	Flacheninhaltsfunktion
f(x) = x	«„(*)=
/(*) = X^1	5„(x) = ix^3
H II w	50(x) = ix^44
X II ^/x	S0(x) = |x^

In der Tabelle sind den oben betrachteten Funktionen jeweils ihre FlacheninhaltsfunktiorPgegenubergestellt. Es zeigt sich bei genauem Hinsehen ein uberraschend einfacher Zusammenhang:

Die gegebeiMFunktion f ist also die Ableitung der zugehorigen Flacheninhaltsfunktion.

Aufeabe 1. Ermittle nach Definition die Flacheninhaltsfunktion yń zur unteren Grenze 0.

a)    f(x) = x³ und /(x) = V* ;

b)    /(x) = x⁴ und /(x) = Vx ;

c)    /(x) = sinx;

d)    /(x) = cos x;

Anleitung zu c und d:

. na . (n + l)tt sin—sin -—

sinar + sin2a + ... + sinna =----—

. a sin—

2

.na    (n +1 )a

sm—cos --—

cos a + cos 2a +... + cos na

_2 ________2

. a sin — 2

Diesen Zusammenhang wollen wir nun exakt mit den Mitteln der DifFerentialrechnung nachweisen. Zu diesem Zweck nehmen